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第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布 学案
一、学习目标
1. 理解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布；
2. 会求服从超几何分布的随机变量的均值，能够利用超几何分布模型解决实际问题.
二、基础梳理
1. 概念：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为___________，.其中，，，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
2. 均值：________.
三、巩固练习
1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
2.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中任意抽取4个，则抽到的正品数比次品数少的概率为( )
A. B. C. D.
3.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( )
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的
C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的
4.一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则等于的是( )
A. B. C. D.
5.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
6.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3名学生代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中女生的人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于( )
A. B.
C. D.
7.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是( )
A.至少有1个深度贫困村 B.有1个或2个深度贫困村
C.有2个或3个深度贫困村 D.恰有2个深度贫困村
8.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们选修不同课程的概率是_______________.
9.箱中装有4个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分之和.
（1）若，求m的值；
（2）当时，求X的分布列.
10.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n个人数超过1000的大集团和8个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，已知一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
（1）求n的值；
（2）若抽取的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；
（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
答案解析
基础梳理
；
巩固练习
1.答案：B
解析：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选B.
2.答案：A
解析：抽到的正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，抽到0个正品4个次品的概率，抽到1个正品3个次品的概率，所以抽到的正品数比次品数少的概率为.故选A.
3.答案：C
解析：对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和有2个坏的三种情况，概率为.故选C.
4.答案：B
解析：由条件，知随机变量X服从参数为，，的超几何分布，其中X的取值范围为，且，，，，.故选B.
5.答案：B
解析：方法一：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4..
故随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以随机变量X的数学期望.故选B.
方法二：已知X服从参数为8，4，5的超几何分布，所以.故选B.
6.答案：C
解析：由题意得，，，
所以.故选C.
7.答案：B
解析：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X服从超几何分布，
故，
所以，
，
，
，
.
故选B.
8.答案：
解析：随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中.依题意所求概率为.
9.答案：（1）由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量，
，即所以.
（2）由题意得，当时，X的可能取值为3，4，5，6.
X的分布列为
X 3 4 5 6
P
10.答案：（1）题意知共有个集团，抽取2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有种，故全是小集团的概率，
整理得，即，解得（舍去）.
（2）若抽取的2个集团全是大集团，则共有种情况；若抽取的2个集团全是小集团，则共有种情况，
故所求概率为.
（3）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
故X的分布列为
P 0 1 2 3 4
X
所以.

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