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第七节　抛物线
教学目标：
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1．抛物线的焦半径与焦点弦
抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
焦半径的长 ＋x0 －x0 ＋y0 －y0
焦点弦的长 p＋(x1＋x2) p－(x1＋x2) p＋(y1＋y2) p－(y1＋y2)
2.抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF|·|y1－y2|；
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
1．(北师大版选择性必修第一册P69·T1改编)若抛物线的焦点坐标为(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　 )
A．y2＝－6x B．y2＝－12x
C．x2＝－6y D．x2＝－12y
答案：D
2．(人教A版选择性必修第一册P135思考改编)(多选)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为(　 )
A．y2＝－x B．x2＝y
C．y2＝x D．x2＝－y
答案：AB
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　 )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案：B
4．(人教A版选择性必修第一册P133·T3改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是_________．
答案：(3，±6)
重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　抛物线的定义及应用　
[典例]　(1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为(　 )
A．2 B．4 C．8 D．8
(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
[解析]　(1)由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为D，则|DF|＝2，又直线AF的斜率为－，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得：|PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为×4×4×sin 60°＝4.故选B.
(2)当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|.|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得 ＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或22.
[答案]　(1)B　(2)42或22
[方法技巧]　利用抛物线的定义可解决的常见问题
轨迹问题 用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线
距离问题 灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径
[提醒]　一定要验证定点是否在定直线上．
[针对训练]
1．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　 )
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
解析：选B　连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为(　 )
A．3 B. C．5 D.
解析：选B　由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|＋|NF|)＝，所以线段MN的中点到y轴的距离为－1＝.
重难点(二)　抛物线的标准方程　
[典例]　(1)(2022·北京朝阳区一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　 )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(2)若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为__________．
[解析]　(1)根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.故选B.
(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2,1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4,4)在抛物线上，点(1,2)不在抛物线上，满足题意；若点(1,2)在抛物线上，则m＝，此时x2＝y，点(－2,1)，(4,4)均不在抛物线上，不满足题意．当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝nx，同理可求得当点(1,2)，(4,4)在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.
[答案]　(1)B　(2)x2＝4y或y2＝4x
[方法技巧]　求抛物线标准方程的方法
定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择
待定系数法 若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论
[针对训练]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　 )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析：选D　因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是通径，则|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或p＝－12(舍)，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.故选D.
2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为____________．
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
重难点(三)　抛物线的几何性质　
[典例]　(1)(2022·百校大联考)已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为－2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|＝，则该抛物线的方程是(　 )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x
(2)(2021·聊城二模)已知△ABC的三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若＝(＋)，则||＋||＋||＝(　 )
A．6 B．8 C．10 D．12
[解析]　(1)根据题设知直线l：y＝－2x＋p，由得4x2－6px＋p2＝0.设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xM＋xN＝＝，又|MN|＝，所以xM＋＋xN＋＝＝，所以p＝1，所以所求抛物线的方程是y2＝2x，故选B.
(2)由x2＝8y得焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由＝(＋)得(－x1,2－y1)＝(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)，则2－y1＝(y2－y1＋y3－y1)，化简得y1＋y2＋y3＝6，所以||＋||＋||＝y1＋2＋y2＋2＋y3＋2＝12，故选D.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
抛物线的性质及应用要点
(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 　　
[针对训练]
1．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　 )
A. B. C．(1,0) D．(2,0)
解析：选B　由x＝2，得y＝±2，由OD⊥OE，得·＝－p＝－1，解得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x，则焦点坐标为.
2．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)，线段FA与抛物线交于点B，且＝2，则||＝________.
解析：
过B向y轴作垂线，垂足为D，如图，则|BD|＝|BF|－，∵＝2，∴＝＝＝，又|OF|＝，|OA|＝2，∴|BD|＝，|AD|＝，∴|OD|＝，故B.把B的坐标代入y2＝2px，得＝，解得p＝(负值舍去)，∴|BF|＝|BD|＋＝＋＝＝.
答案：
不会利用抛物线焦点弦的结论
在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质(见P386)，这些性质常常是高考命题的切入点．
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[典例]　如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　 )
A．5 B．6
C. D.
[解析]　过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E(图略)，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
[答案]　C
(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为一个直角梯形(过焦点的弦的端点和它们在准线上的射影围成的梯形)中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用．
(2)万变不离其宗，解决这类问题的根源仍然是抛物线的定义．　　
[针对训练]
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　 )
A．4 B. C．5 D．6
解析：选B　因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.又原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△OAB＝|AB|·d＝×12×＝.
细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视抛物线的开口方向)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是(　 )
A．x2＝8y或x2＝－8y B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．y2＝8x
解析：选C　依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2．(忽视p的几何意义致误)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　 )
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
3．(忽视焦点的位置致误)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．
解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y
4．(忽视抛物线定义的应用)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
答案：(2,2)
二、融会贯通应用创新题
5．(借助数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3，则抛物线的方程为(　 )
A．y2＝2x B．y2＝3x
C．y2＝4x D．y2＝6x
解析：选B　如图，|AB|＝3，|BC|＝3，则|AC|＝＝6，设直线l与x轴交于点H，由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点，所以|FH|＝|AB|＝，又|FH|＝p，所以p＝，所以抛物线的方程为y2＝3x.故选B.
6．(链接生产生活)苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80 m，距离门顶竖直距离8 m处两塔内侧之间的距离约为16 m，则“东方之门”的高度约为(　 )
A．150 m B．200 m C．250 m D．300 m
解析：选B　以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线在顶点处的切线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点(8，－8)在抛物线x2＝－2py上，所以，82＝－2p×(－8)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.将x＝40代入抛物线的方程可得y＝＝－200.因此，“东方之门”的高度约为200 m．故选B.
7．(体现数学应用)如图1所示，抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于其焦点上的照射器(馈源，通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通信等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为θ.焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线的焦径比等于0.5，那么馈源的方向角θ的正切值为________．
解析：如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则f＝，又＝0.5，所以d＝p，因为A，B两点关于x轴对称，所以A，B的纵坐标分别为，－，则A，B，直线BF的斜率k＝＝，由抛物线的对称性可知直线BF的倾斜角等于，所以tan ＝，所以tan θ＝＝＝－.
答案：－
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为(　 )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B　根据抛物线的定义可得＝，所以p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.
2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　 )
A．2 B．2 C．2 D．4
解析：选C　利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3，∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.故选C.
3．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选A　∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，又e＝2，∴＝2，∴m＝，∴n＝，∴mn＝.
4．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　 )
A．C的准线方程为x＝－4
B．F点的坐标为(0,4)
C．|FN|＝12
D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)
解析：选ACD　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4,0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝＝6，由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16.故选A、C、D.
5．(多选)如图，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有(　 )
A．若AB的斜率为1，则|AB|＝8
B．|AB|min＝
C．若AB的斜率为1，则xM＝2
D．xA·xB＝－4
解析：选ACD　由题意得，焦点F(0,1)，对于A，lAB的方程为y＝x＋1，联立消去x，得y2－6y＋1＝0，所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，故A正确；对于B，|AB|min＝2p＝4，故B不正确；对于C，当AB的斜率为1时，因为y′＝，则切线AM，BM的方程分别为y－x＝(x－xA)，y－x＝(x－xB)，联立解得xM＝，又＝，所以＝1，所以xM＝2，故C正确；对于D，设lAB的方程为y＝kx＋1，联立消去y，得x2－4kx－4＝0，所以xA·xB＝－4，故D正确．
6．若抛物线y＝ax2的焦点F的坐标为(0，－1)，则实数a的值为________．
解析：因为抛物线y＝ax2，所以x2＝y.由焦点F的坐标为(0，－1)，得＝－1，所以a＝－.
答案：－
7．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可得x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
8．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
解析：抛物线C的焦点为F，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－.令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－.
答案：x＝－
9．已知F为抛物线C：x2＝12y的焦点，直线l：y＝kx＋4与C相交于A，B两点．
(1)O为坐标原点，求·；
(2)M为C上一点，F为△ABM的重心(三边中线的交点)，求k.
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l的方程代入C得，x2－12kx－48＝0，所以x1＋x2＝12k，x1x2＝－48，y1y2＝＝16，从而·＝x1x2＋y1y2＝－32.
(2)依题意得F(0,3)，设M(x3，y3)，因为F为△ABM的重心，所以x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝9，从而x3＝－(x1＋x2)＝－12k，y3＝9－(y1＋y2)＝9－＝9－＝1－12k2.因为M(x3，y3)在抛物线C上，所以(－12k)2＝12(1－12k2)，即k2＝.故k＝或k＝－.
10．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22，解得＝－2(舍去)或＝.所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1　①.由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.
二、重点难点培优训练
1．(2021年1月新高考八省联考卷)已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为(　 )
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析：选B　把A(2,2)代入y2＝2px得p＝1，又直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，易得AB方程为y－2＝(x－2)，AC方程为y－2＝－(x－2)，联立AB方程和抛物线方程得B，同理：C，由B，C两点坐标可得直线BC的方程为3x＋6y＋4＝0，所以选B.
2．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是(　 )
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
解析：选BCD　由题意得p＝，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为F.对于A，|PF|＝1＋＝，错误；对于B，kPF＝，所以lPF：y＝，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，所以S△OPQ＝|OF|·|y1－y2|＝×× ＝，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，即4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，所以yM＋1＝，即yM＝－1，则xM＝2，所以点M，同理N，所以kMN＝＝＝－，正确．故选B、C、D.
3．已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
解析：由题意得M(2,0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由＝λ＋μ得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝－＝－＋2＝2＋≥，故λ＋μ的最小值为.
答案：
4.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.由|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2.所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

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