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第三节　圆的方程
教学目标：
1．圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心：(a，b)，半径：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心：，半径：r＝
2.点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)21．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
3.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1．(北师大版选择性必修第一册P32·T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　 )
A．(2,3)，3 B．(－2,3),
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3),
答案：D
2．(人教A版选择性必修第一册P85·T1改编)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　 )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：C
3．(苏教版选择性必修第一册P56·T3改编)已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是________________________．
答案：x2＋y2－x－3y＝0
4．(人教A版选择性必修第一册P89·T8改编)若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为________________．
答案：(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
5．(人教A版选择性必修第一册P88·T2改编)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1.
答案：(－∞，1)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　求圆的方程　
[题点全训]
1．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　 )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：选C　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.
2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　 )
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选B　由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
3．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________________________________________________________________．
解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
答案：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
4．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为______________________．
解析：根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a＞0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝＝a.又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得12＋2＝5，解得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：(x－2)2＋y2＝5
[一“点”就过]
求圆的方程的两种方法
几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值．②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　与圆有关的轨迹问题　
[典例]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解]　(1)法一：直接法
设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：定义法
设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[方法技巧]　与圆有关的轨迹问题的求法
直接法 直接根据题设给定的条件列出方程求解
定义法 根据圆的定义列方程求解
几何法 利用圆的几何性质，得出方程
代入法(相关点法) 找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解
[针对训练]
已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
重难点(二)　与圆有关的最值问题　
考法1　圆上的点到直线的最值问题
[例1]　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　 )
A．36 B．18 C．6 D．5
[解析]　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为3，则圆心到直线x＋y－14＝0的距离为＝5＞3，结合图象可知圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是dmax－dmin＝2r＝6，故选C.
[答案]　C
设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离．
如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d；
如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝2r；
如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝r＋d.
　　
考法2　斜率型最值问题
[例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
形如μ＝型的最值问题，可转化为过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题＝表示过坐标原点的直线的斜率．　　
考法3　截距型最值问题
[例3]　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x＋y的最大值与最小值．
[解]　易知圆C的圆心为(3,3)，半径为2.设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法有两种：
(1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值．
(2)把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值．　　
考法4　距离型最值问题
[例4]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　原方程化为标准形式为(x－2)2＋y2＝3，则圆心为(2,0)，半径为.如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4.
求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解．　　
[针对训练]
1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　 )
A．2,2－ B．2＋，2－
C.，4－ D.＋1，－1
解析：选B　由题意知|AB|＝＝，lAB：2x－y＋2＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线lAB的距离d＝＝.∴S△PAB的最大值为××＝2＋，最小值为××＝2－.
2．设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．
解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4.由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由题意易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
答案：12
不会构造隐形圆解决问题
有些题设中没有明确给出圆的信息，而是隐含在题目中，再通过分析、转化发现圆(轨迹方程)，从而利用圆的知识解答．
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[典例]　已知点A(－1,0)，B(1,0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的取值范围是________．
[解析]　设M(x，y)，因为·＝3，所以点M的轨迹方程为(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3，即x2＋y2＝4，表示圆．又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点，所以2－1≤≤1＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.
[答案]　[－2,1]
隐形圆问题的常见策略
(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；
(2)动点P 对两定点A，B 张角是90°(kPA · kPB ＝ －1)确定隐形圆；
(3)两定点A，B，动点 P满足·＝λ确定隐形圆；
(4)两定点A，B，动点P 满足PA2＋PB2是定值确定隐形圆；
(5)两定点A，B，动点P 满足PA＝λPB(λ＞0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；
(6)由圆周角的性质确定隐形圆．
[针对训练]
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
解析：因为直线l1过定点A(0,2)，直线l2过定点B(2,0)，|AB|＝2，l1与l2的斜率之积为－1，所以P的轨迹是以AB为直径的圆(不含原点)，其圆心为(1,1)，且到直线x－y－4＝0的距离为2，故点P到直线x－y－4＝0的最大距离为2＋＝3.
答案：3
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视隐含条件致错)若点(1,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围是(　 )
A. B.∪
C. D.
解析：选B　∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜，又2a2＞0，∴a≠0，∴实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
2．(圆心位置考虑不全致错)已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的标准方程为(　 )
A．(x＋3)2＋y2＝25 B．(x－3)2＋y2＝25
C．(x±3)2＋y2＝25 D．(x＋9)2＋y2＝25
解析：选C　如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
3．(不能对距离问题进行转化)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　 )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选A　设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.
4．(忽视方程中变量的取值范围)已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________．
解析：因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.因为y∈[－1,1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值为4.
答案：4
二、融会贯通应用创新题
5．(借助数学文化)(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　 )
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
D．在C上存在点N，使得|NO|2＋|NA|2＝4
解析：选ABD　设点P(x，y)，由A(－2,0)，B(4,0)，＝，得＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A选项正确；曲线C的方程表示圆心为(－4,0)，半径为4的圆，圆心与点(1,1)的距离为＝，则点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为－4，最大值为＋4，而3∈[－4，＋4]，故B选项正确；设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，得＝2，又(x0＋4)2＋y＝16，联立方程消去y0得x0＝2，再代入(x0＋4)2＋y＝16得y0无解，故C选项错误；设N(x0，y0)，由|NO|2＋|NA|2＝4，得x＋y＋(x0＋2)2＋y＝4，又(x0＋4)2＋y＝16，联立方程消去y0得x0＝0，再代入(x0＋4)2＋y＝16得y0＝0，故D选项正确．
6．(创新命题方式)圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　 )
A．2 B. C. D.
解析：选C　由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴＋＝(a＋3b)·＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，故选C.
7．(创新解题思维·参数法)如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P，Q分别从点A，B同时出发，在圆O上按逆时针方向运动，若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中， ·的最大值为________．
解析：连接OQ，OP.设∠BOQ＝α，则∠AOP＝2α，且α∈[0，π]．依题意得Q(cos α，sin α)，P(－cos 2α，－sin 2α)，∴·＝(－cos 2α＋1，－sin 2α)·(cos α＋1，sin α)＝(－cos 2α＋1)(cos α＋1)－sin 2αsin α＝1－cos 2α＝2sin2α≤2，当且仅当α＝时，等号成立．故答案为2.
答案：2
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是(　 )
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1
解析：选A　设圆的圆心为(a,0)，则＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A.
2．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(　 )
A．(－1,1) B．(1，－1) C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：选D　r＝＝，当k＝0时，r最大，即圆的面积最大．所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，则圆心坐标为(0，－1)．
3．(2022·大连模拟)已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为(　 )
A. B. C. D.
解析：选A　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方，由已知可得点P在直线x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，又点Q到直线l的距离d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故选A.
4．已知点P(x，y)为半圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1(y≥1)上一动点，则的最大值为(　 )
A.＋1 B.＋ C. D.＋1
解析：选D　＝＋1，其中表示半圆上的动点P(x，y)与点Q(0,1)连线的斜率．过点Q(0，1)作QB与半圆相切，B为切点，此时斜率最大，则在Rt△CBQ中，|CB|＝|CQ|，所以∠CQB＝30°，则kQB＝tan∠CQB＝，所以的最大值为＋1.
5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　 )
A．圆M的圆心坐标为(1,3)
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点(2,3)在圆M内
解析：选ABD　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，半径为.因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．故选A、B、D.
6．过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________________．
解析：因为圆心在直线y＝0上，所以设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1,4)，B(3,2)两点，所以解得所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.
答案：(x＋1)2＋y2＝20
7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝＝.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0答案：(0,4)
8．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．
解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，又圆心C的坐标是(1,1)，因此最小距离为＝3.
答案：3
9．已知圆C的圆心在直线x＋y＋1＝0上，半径为5，且圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点A(－3,0)且与圆C相切的切线方程．
解：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，由圆心C在直线x＋y＋1＝0上，则有a＋b＋1＝0.又圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)，则解得a＝2，b＝－3.所以圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求直线为l.①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程是x＝－3，与圆C相切，符合题意．
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.由题意知，圆心C(2，－3)到直线l的距离等于半径5，即＝5，解得k＝，故切线方程是y＝(x＋3)，即8x－15y＋24＝0.综上，所求切线方程是x＝－3或8x－15y＋24＝0.
10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，所以|PM|＝，S△POM＝××＝，故△POM的面积为.
二、重点难点培优训练
1．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　 )
A. B．2 C.＋1 D.－1
解析：选C　因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为＝>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a＝＋1，最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离，即b＝＝，所以a－b＝＋1－＝＋1，故选C.
2．(2022·岳阳模拟)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆(x－2)2＋(y－3)2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为(　 )
A．5－ B．5＋ C．3＋2 D．3－2
解析：选B　设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得 ＝2，所以点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.如图，设P，Q所在圆的圆心分别为C1，C2，半径分别为r1，r2，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋＝5＋.故选B.
3．已知圆C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0.当C的面积最大时，实数a的值为______；若此时圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m＞0，n＞0)，则的最大值为________．
解析：圆C的方程可化为[x＋(a－1)]2＋(y－6)2＝－a2－2a＋37.当a＝－1时，－a2－2a＋37＝－(a＋1)2＋38取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大．此时，圆心坐标为(2,6)，且圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m＞0，n＞0)，故点(2,6)在直线l上，所以2m＋6n－6＝0，即m＋3n＝3，又＝，＋＝(m＋3n)＝≥＝，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以＝≤，故的最大值为.
答案：－1　
4．设O为坐标原点，动点M在椭圆E：＋＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|＝2|AP|总成立？若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x1，y1)，N(x1,0)，则＋＝1　①.由＝知即代入①得x2＋y2＝4.即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
(2)假设存在点B(m,0)满足条件，设点P的坐标为(x，y)，由|BP|＝2|AP|，得＝2，即3x2＋3y2＋(2m－8)x＝m2－4.此方程与x2＋y2＝4表示同一方程，故解得m＝4.所以存在点B(4,0)满足条件．

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