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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
教学目标：
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
1．直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何观点 d＞r d＝r d＜r
2.圆与圆的位置关系
设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
数量的关系 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
公切线条数 4 3 2 1 0
1．牢记3个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
3．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝.
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝.
4．求过一定点的圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系．
(1)若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；
(2)若点在圆外，切线应有两条；
(3)若点在圆内，切线为零条．
1．(人教A版选择性必修第一册P93·T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　 )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案：B
2．(苏教版选择性必修第一册P60·例3改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　 )
A. B．2 C. D．2
解析：选D　直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，所以所求弦长为2×＝2.
3．(人教A版选择性必修第一册P98·T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
答案：内切
4．(北师大版选择性必修第一册P33·例7改编)圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为__________．
答案：x－y＋2＝0
5．(人教A版选择性必修第一册P98·T8改编)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为______________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　直线与圆的位置关系的判断　
[题点全训]
1．(2021·青岛二模)在平面直角坐标系中，直线l为双曲线x2－y2＝1的一条渐近线，则(　 )
A．直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相交
B．直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相切
C．直线l与圆(x－2)2＋y2＝2相离
D．直线l与圆(x－2)2＋y2＝2相切
解析：选D　显然，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设直线l：x－y＝0，则圆心(2,0)到l的距离d＝＝＞1，所以，直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相离，与圆(x－2)2＋y2＝2相切．
2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　 )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解析：选B　易知a2＋b2＞1，故d＝＜1，故直线与圆相交，故选B.
3．(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析：选ABD　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，A正确；选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2|r|，∴直线l与圆C相离，B正确；选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝<|r|，∴直线l与圆C相交，C错误；选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，D正确．故选A、B、D.
[一“点”就过]
判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)代数法：
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr 相离．
基础点(二)　圆与圆的位置关系　
[题点全训]
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　 )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：选B　两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－22．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　 )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：选B　由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
3．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为(　 )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为
D．若动点E在圆O上，动点F在圆M上，则|EF|的最大值为＋3
解析：选AD　因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，故C错误；圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确．
4．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6，则圆D的半径为________．
解析：由得2x－6y＝4－R2，因为公共弦长为6，所以直线2x－6y＝4－R2经过圆C的圆心(0,4)，即2×0－6×4＝4－R2，则R2＝28，所以圆D的半径为2.
答案：2
[一“点”就过]
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　圆的弦长问题　
[典例]　(1)(2021·北京高考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　 )
A．±2 B．± C．± D．±
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　 )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
[解析]　(1)由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2 ，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C.
(2)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
[答案]　(1)C　(2)B
[方法技巧]　求直线被圆截得的弦长的常用方法
几何法 直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝2＋d2
代数法 联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝ |y1－y2|＝ ·(k≠0)
[针对训练]
1．(2022·淄博一模)圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为(　 )
A．2 B．2 C．4 D．2
解析：选A　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，圆的方程x2＋y2＋2x－8＝0可化为(x＋1)2＋y2＝32，故圆心为(－1,0)，半径r＝3.因为(0＋1)2＋12＝2＜32，所以点(0,1)在圆x2＋y2＋2x－8＝0内，(0,1)和(－1,0)的距离为＝，根据圆的几何性质可知，圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为2 ＝2.故选A.
2．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，若点A，B在圆C上，满足|AB|＝2，且AB的中点M在直线2x＋y＋k＝0上，则实数k的取值范围是(　 )
A．[－2，2 ] B．[－5,5]
C．(－，) D．[－，]
解析：选D　圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，易知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2，连接CM，因为|AB|＝2，所以|CM|＝＝1，因此点M在以C(－1,2)为圆心、1为半径的圆上．又点M在直线2x＋y＋k＝0上，故直线2x＋y＋k＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1有公共点，于是≤1，解得－≤k≤.故选D.
3．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1，
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
重难点(二)　圆的切线问题　
[典例]　已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解]　(1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1.所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
[方法技巧]　圆的切线方程的求法
几何法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k
代数法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k
[针对训练]
1．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　 )
A．1 B．2 C. D．3
解析：选C　如图，切线长|PM|＝，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即＝2 时，|PM|最小为，故选C.
2．(2021·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　 )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
解析：选ACD　由题意知直线AB：＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5,5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝.因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5,5)到点B的距离为＝，则|PB|＝＝3；当切点在点P′的位置时，∠PBA最大，同理可得|PB|＝3.所以C、D项正确．故选A、C、D.
不会利用特征直角三角形
如图，从圆外一点P向圆C引两条切线，切点分别为M，N，则称Rt△PMC，Rt△PNC为特征Rt△.以四边形PMCN为背景，长度、面积、向量的数量积、过两切点的弦的方程、弦长以及有关的最值等均可以利用特征Rt△的特点求解．
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[典例]　已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　 )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
[解析]　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，点M到直线l的距离为d＝＝＞2，所以直线l与圆相离．由圆的知识可知，A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4××|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝，当直线PM⊥l时，|PM|min＝，|PA|min＝1，此时|PM|·|AB|最小．易知直线PM的方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.由解得所以以PM为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，两圆的方程相减可得2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．
[答案]　D
特征直角三角形中的长度，如切线长转化为点到圆心的距离来表示．所以涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长度的计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化．　　
[针对训练]
1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx＋6上存在点P，过点P作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＋y1y2＝－2，则实数k的取值范围为____________________．
解析：由x1x2＋y1y2＝－2得，x1x2＋y1y2＝·＝||||cos∠AOB＝4cos∠AOB＝－2，则∠AOB＝120°.在Rt△PAO中，∠APO＝30°，则PO＝4，即直线l上存在点P满足PO＝4.又因为点到直线上点的距离以垂线段最短，故只需点O到直线l的距离不大于4，即≤4，解得k≤－或k≥.所以k的取值范围为∪.
答案：∪
2．过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，则·的最小值为________．
解析：设∠APC＝θ，则sin θ＝，cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－，故·＝||||cos 2θ＝(PC2－1)·＝PC2＋－3，又点C(t，t－2)在直线x－y－2＝0上，故PC≥2，即PC2≥8，所以·≥8＋－3＝，故·的最小值为.
答案：
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视直线过定点)直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　 )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
解析：选A　圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0,2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A.
2．(忽视切线斜率不存在)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　 )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
解析：选C　当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
3．(忽视两圆相切有两种情况)若半径为r，圆心为(0,1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于________．
解析：依题意，＝r＋1或＝|r－1|，解得r＝ －1或r＝ ＋1.
答案：－1或＋1
4．(忽视割线斜率不存在)若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为________________________．
解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝4，代入圆的方程解得y＝±3，故该直线被圆截得的弦长为6，符合题意．当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝，则2＝6，解得k＝－，所以直线方程为15x＋8y－68＝0.综上所述，所求直线方程为x＝4或15x＋8y－68＝0.
答案：x＝4或15x＋8y－68＝0
二、融会贯通应用创新题
5．(创新命题方式)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是(　 )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上情况都有可能
解析：选C　由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝ >2，所以c2>a2＋b2，在△ABC中，cos C＝<0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．
6．(结合新定义问题)(多选)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0与圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b＞0)的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值可以是(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选BCD　由已知得直线l1：ax＋3y＋6＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0平行，∴a×(a＋1)＝3×2，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，两直线方程相同，两直线重合，不符合题意；当a＝－3时，经检验符合题意，∴a＝－3.此时两直线方程分别为x－y－2＝0，x－y＋3＝0.将x2＋y2＋2x＝b2－1(b＞0)配方整理得(x＋1)2＋y2＝b2，∴圆心坐标为(－1,0)，半径为b.当两条平行直线与圆“平行相切”时，b＝＝或b＝＝，当两条平行直线与圆“平行相离”时，b＜且b＜，即b＜，∴当两条平行直线与圆“平行相交”时，b＞且b≠.结合选项知选B、C、D.
7．(强化开放思维)写出一个圆心在直线y＝x上且与x轴相切的圆的标准方程________________________．
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1 (答案不唯一)
8．(渗透“五育”教育)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图(单位：cm)所示，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝，tan β＝，则该零件的截面的周长为__________cm.(结果保留π)
解析：以A为原点，AD为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示．则直线AB的方程为：4x＋3y＝0，直线CD的方程为：3x－4y－105＝0，直线EF的方程为：y＝12，设圆心为O(a，b)，则圆心到直线AB、直线CD、直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝＝＝|12－b|，解得a＝15，b＝0，r＝12，易得|AB|＝＝9，|CD|＝＝16，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋＝84＋6π.
答案：84＋6π
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．若曲线x2＋y2－6x＝0(y>0)与直线y＝k(x＋2)有公共点，则k的取值范围是(　 )
A. B.
C. D.
解析：选C　∵x2＋y2－6x＝0(y>0)可化为(x－3)2＋y2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点)，它与直线y＝k(x＋2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线y＝k(x＋2)的距离d≤3，且k>0，∴≤3，且k>0，解得02．过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(　 )
A. B．2 C. D.
解析：选A　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝＝2，故切线长的最小值为＝.
3．(2021·郑州二模)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为(　 )
A. B．π C．2π D．3π
解析：选B　直线x＋ay－a－1＝0可化为(x－1)＋a(y－1)＝0，所以直线恒过定点M(1,1)，由圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，当MC⊥直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2＝2＝2，此时弦长AB对的圆心角为，所以劣弧长为×2＝π，故选B.
4．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　 )
A．(－3，3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－2，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选A　由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝＜3，解得－3＜a＜3.
5．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　 )
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为2
D．直线与圆可以相切
解析：选AC　由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1,1)，半径r＝2，直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点A(2,1)，因为|CA|＝＝1<2，所以直线与圆必相交，故A正确，B、D错误；由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2＝2，故C正确．故选A、C.
6．(2021·天津高考)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝____________.
解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，因为|BC|＝1，故|AB|＝＝.
答案：
7．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
答案：8
8．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则m＝________，|CD|＝________.
解析：设圆心到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2 3＋d2＝12 d＝3，∴＝3，化简得m＋1＝0，解得m＝－.可得直线l的方程为y＝x＋2，其倾斜角为30°.如图所示，作CE⊥BD于E，则CE∥AB，∴∠ECD＝30°，又知在Rt△CDE中，CE＝2，∴|CD|＝＝＝4.
答案：－　4
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0可化为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2.若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝.又d＝＝，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
10．已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.
(1)若直线l与圆O相切，求k的值；
(2)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
(3)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．
解：(1)∵直线l与圆O相切，∴圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r＝，即d＝＝，解得k＝±1.
(2)∵直线l与圆C相交，∴d＝＜，解得k＞1或k＜－1.又θ＝∠AOB为锐角，∴cos＞，即＞，解得－＜k＜.综上，k的取值范围为(－，－1)∪(1，)．
(3)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0，即x2－tx＋y2－y＝0，又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，两圆的方程作差得lCD：tx＋y－2＝0，即t－2y－2＝0，由得∴直线CD过定点.
二、重点难点培优训练
1．设P为直线3x－4y＋4＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为(　 )
A. B．2 C. D．2
解析：选A　如图，连接AC，BC，PC.易知圆C的圆心坐标为(2,0)，|AC|＝|BC|＝r＝1，CA⊥PA，CB⊥PB.设P(x0，y0)，则3x0－4y0＋4＝0，所以y0＝x0＋1.由勾股定理知|AP|＝＝，所以S四边形APBC＝2SRt△ACP＝|AC||AP|＝|AP|＝＝ ，当x0＝时，所求面积最小为× ＝.
2．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　 )
A．3 B．4 C．2 D．8
解析：选B　如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1O＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2×＝2，所以AB＝2AC＝4.故选B.
3．已知直线l：x＋y－1＝0截圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)所得的弦长为，点M，N在圆O上，且直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为(　 )
A．[2－，2＋ ] B．[2－，2＋ ]
C．[－，＋ ] D．[－，＋ ]
解析：选D　由题意：2＝，解得r＝2，因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，故P(1,1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简可得2＋2＝，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为[－，＋ ]．故选D.
4．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程．
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
解：(1)因为直线x＝1与抛物线C相交于P，Q两点，
且OP⊥OQ，所以P(1,1)，Q(1，－1)，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
又⊙M与l相切，则⊙M的半径r＝1，
即⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
则y＝x1，y＝x2，y＝x3.
由点A1，A2，A3 的坐标及上式可知，
直线A1A2：(y1＋y2)(y－y1)＝x－x1，
即x－(y1＋y2)y＋(y1＋y2)y1－x1＝0.
直线A1A3：(y1＋y3)(y－y1)＝x－x1，
即x－(y1＋y3)y＋(y1＋y3)y1－x1＝0.
因为⊙M与直线A1A2相切，
所以＝1，即＝1.
则(2＋y1y2)2＝1＋(y1＋y2)2，即(x1－1)x2＋2y1y2＋3－x1＝0.
又⊙M与直线A1A3相切，
同理可得(x1－1)x3＋2y1y3＋3－x1＝0.
即(x2，y2)，(x3，y3)是方程(x1－1)x＋2y1y＋3－x1＝0的两个解．
所以直线A2A3：(x1－1)x＋2y1y＋3－x1＝0.
点M到直线A2A3的距离d＝＝＝＝1.
故直线A2A3与⊙M相切．

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