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第五节　椭　圆
教学目标：
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝，且e∈(0,1)
c2＝a2－b2
(1)设P为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则
①b≤|OP|②a－c<|PF1|(2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长的弦为长轴．
(3)过原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴．
(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
(5)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)；
④S△PF1F2＝b2·tan .
(6)椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆．
(7)轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置．依据这些条件确定的椭圆方程可能有2个．
1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是(　 )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：B
2．(北师大版选择性必修第一册P53·T2改编)椭圆＋＝1的离心率是(　 )
A. B. C. D.
答案：B
3．(人教B版选择性必修第一册P134·T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6,0)，且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是________．
答案：＋＝1
4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
答案：
5．(人教A版选择性必修第一册P109·T3改编)椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为______，△AF1F2的周长为________．
答案：20　16
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一) 　椭圆的标准方程　
[题点全训]
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　 )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　 )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B　由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
3．(多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是(　 )
A．若1B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则t<1
解析：选BC　当t＝2时，曲线C表示圆，故A错误，C正确；当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则t－1>3－t>0，解得23，故D错误．
4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为__________．
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由解得m＝，n＝.
所以椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
[一“点”就过]
确定椭圆方程的“定位”与“定量”
定位 在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式
定量 确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解
基础点(二)　椭圆的简单几何性质　
[题点全训]
1．椭圆＋y2＝1的离心率是(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　依题意可知椭圆中a＝，b＝1，故c＝＝1，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D.
2．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　 )
A．2 B．3 C．4 D．9
解析：选B　由4＝ (m>0) m＝3，故选B.
3．已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　 )
A．8 B．7 C．6 D．5
解析：选A　由条件得解得6＜m＜10.∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.
[一“点”就过]
研究椭圆几何性质的步骤
(1)将所给方程正确化成椭圆的标准形式．
(2)根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．
(3)准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　椭圆的定义及应用　
[典例]　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　 )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
(2)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　 )
A. B. C. D.
[解析]　(1)点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝，故选D.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
2．焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|，|PF2|；通过整体代入可求其面积等. 　　
[针对训练]
1．(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则(　 )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝2
C．点P到x轴的距离为
D．·＝2
解析：选BCD　由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C选项正确；·＝||·||·cos∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确．
2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：椭圆方程可化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
答案：6＋　6－
重难点(二)　求椭圆的离心率或范围　
[典例]　(1)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　 )
A.，1 B.
C．0， D.
(2)(2021·邯郸三模)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，当△F2AB为正三角形时，该椭圆的离心率为___________．
[解析]　(1)易知B(0，b)．设P(x，y)(－b≤y≤b)，则x2＝a2－，则|PB|2＝x2＋(b－y)2＝a2－＋b2＋y2－2by＝y2－2by＋a2＋b2.当a2≤2b2时，≤－b，所以y＝－b时，|PB|2取得最大值4b2，符合题意，此时e＝ ＝ ≤ ＝；当a2>2b2时，－b<<0，所以y＝时，|PB|2取得最大值＋a2＋b2，不符合题意．综上可知，0(2)不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，根据椭圆定义，|AF1|＝2a－|AF2|，|BF1|＝2a－|BF2|，△F2AB为正三角形，|AF2|＝|BF2|，所以|AF1|＝|BF1|，即F1为线段AB的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴．设|F1F2|＝2c，则|AF1|＝2ctan 30°＝，|AF2|＝＝.因为|AF1|＋|AF2|＝2a，即2c＝2a，所以e＝＝.
[答案]　(1)C　(2)
[方法技巧]
求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝＝＝1－2求出e2，再开方．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒]　在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　　
[针对训练]
1．直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该椭圆的离心率为(　 )
A.－1 B. C．2－2 D.－1
解析：选A　记椭圆的右焦点为F′，由题意得F(－，0)，C(0,1)，则F′(，0)．由＝2，可得A，则|AF|＝3.连接AF′，则|AF′|＝，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋，所以a＝，又c＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.故选A.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　 )
A.，1 B.，1
C.，1 D．0，
解析：选C　取AP的中点Q，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.因为点P在直线x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤.又0重难点(三)　与椭圆有关的最值或范围问题　
[典例]　设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　 )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
[解析]　当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.
[答案]　A
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解.
(2)利用函数，尤其是二次函数求解．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．
(4)利用一元二次方程的判别式求解．　　
[针对训练]
1．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　 )
A. B. C．5 D．2
解析：选C　设P(x0，y0)，则由题意得x＝4(1－y)，所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5.故选C.
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因为F(－1,0)，A(2,0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，则当x0＝－2时，·取得最大值4.
答案：4
不会巧用点差法(垂径定理)解决中点弦问题
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[典例]　(2022·太原期末)已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为________________．
[解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－＝－，即kAB＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
[答案]　x＋2y－4＝0
设直线与椭圆＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(x0，y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量．我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理．利用kAB＝＝－·＝－·，转化为中点(x0，y0)与直线AB的斜率之间的关系．　　
[针对训练]
椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　 )
A.　　　　　　　　 B．
C. D.
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
两式相减得ax－ax＝－(by－by)，
即＝－1，∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视焦点的位置)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　 )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
解析：选C　直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
2．(忽视参数的限制条件)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为(　 )
A．(5,7) B．(5,6)　C．(6,7)　D．(5,6)∪(6,7)
解析：选D　由题意可知解得5＜k＜7且k≠6.
3．(忽视定义中2a>|F1F2|)平面内一点M到两定点F1(－6,0)，F2(6,0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝12，但|F1F2|＝12，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案：线段F1F2
二、融会贯通应用创新题
4．(浸润家国情怀)中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　 )
A．8 B．2 C．4 D．4
解析：选C　由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，易知长轴长2a＝8，短轴长2b＝4，所以a＝4，b＝2，所以c＝＝2，因此焦距2c＝4.故选C.
5．(体现数学应用)(多选)嫦娥五号月球探测器于2020年11月24日搭载长征五号遥五运载火箭在文昌航天发射场发射.11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆下述结论正确的是(　 )
A．焦距长约为300公里
B．长轴长约为3 976公里
C．两焦点坐标约为(±150,0)
D．离心率约为
解析：选ABD　设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738，
a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，c＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e＝＝＝，所以A、B、D项正确．因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．
6．(创新解题思维·活用性质)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，O为坐标原点，则△OCD的面积的最小值为(　 )
A. B. C. D．2
解析：选B　由题意，得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，将点代入椭圆方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即椭圆的方程为＋y2＝1.设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xC＝，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>0，y2>0，＋y＝1，所以S△OCD＝··＝＝＝＋≥2＝，即S△OCD≥ ，当且仅当＝y＝，即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.
7．(跨学科综合命题)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为＋＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝________.
解析：由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2，所以＝，由|PF1|＝，|PF1|＋|PF2|＝4得到|PF2|＝，故|F1M|∶|F2M|＝3∶5.
答案：3∶5
8．(强化开放思维)写出一个与椭圆C：＋＝1有公共焦点的椭圆方程__________．
解析：由题可知椭圆方程的形式应为＋＝1(m＞－3，且m≠0)，可取m＝5(答案不唯一)．
答案：＋＝1(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　 )
A．4 B．3 C．2 D．5
解析：选A　连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
2．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　 )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋x2＝1 D.＋＝1
解析：选D　由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.故选D.
3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　 )
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：选C　由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.
4．(多选)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　 )
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
解析：选BC　依题意可知c＝＝，则C的焦距为2，e＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥＞，所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为 － ＝.故选B、C.
5．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　 )
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
解析：选AD　由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以A正确；依题意知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B错误；|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝1，所以C错误；以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D正确．故选A、D.
6．(2021·深圳二模)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则C的方程可以为__________________．
解析：因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1，a＞b＞0，因为离心率为，所以＝，所以＝＝，则＝，故C的方程可以为＋＝1.
答案：＋＝1(答案不唯一)
7．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3, )．
答案：(3，)
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：若存在点P满足条件，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e＜1.
答案：
9.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1，解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
10．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c|y|＝16　①，x2＋y2＝c2　②，＋＝1　③.由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
二、重点难点培优训练
1．(2021·郑州三模)已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　 )
A．1 B. C. D.
解析：选B　设点P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知Q(x0，－y0)，不妨令y0＞0，而点A(－a,0)，B(a,0)，则k1＝，k2＝，显然有－a＜x0＜a，则|k1|＋|k2|＝＋＝，因为椭圆的离心率为，即e2＝＝＝1－＝ a＝b，＋＝1 x＝2b2－2y，则|k1|＋|k2|＝＝，因为0＜y0≤b，所以|k1|＋|k2|＝≥＝，即|k1|＋|k2|的最小值为.故选B.
2．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　 )
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋
解析：选ACD　由题意可知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以A正确；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以b＞1,2b＞2，所以B错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以＋＜1，即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，化简可得a4－3a2＋1＞0，解得a2＞或a2＜(舍去)，则椭圆C的离心率e＝＜＝＝，所以C正确；由＝可得，F1为PQ的中点，而P(1,1)，F1(－1,0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|＝＋＝＋＝2a，所以D正确．故选A、C、D.
3．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　 )
A．离心率e＝
B．||的最大值为3
C．△PF1F2面积的最大值为2
D．|＋|的最小值为2
解析：选AD　因为椭圆C：＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝＝，e＝＝，故A正确；不妨令F1(－，0)，F2(，0)，设P(x，y)，所以＝(－x，－y)，所以||2＝(x－)2＋y2＝(x－)2＋1－＝－2x＋4＝2，因为－2≤x≤2，所以当x＝－2时，(||2)max＝7＋4，即||max＝2＋，故B错误；因为S△PF1F2＝|y|·2c＝|y|×2＝|y|，－1≤y≤1，所以当y＝±1，即P在短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，(S△PF1F2)max＝×1＝，故C错误；|＋|＝2||＝2＝2，因为－2≤x≤2，所以1≤＋1≤4，所以2≤|＋|≤4，故D正确．故选A、D.
4．已知椭圆C的两个顶点分别为 A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－.所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．直线BN的方程为y＝(x－2)．联立解得点E的纵坐标yE＝－.由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

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