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第八章 解析几何
第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程
教学目标：
1．直线的倾斜角
定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°
2．斜率公式
定义式 直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率k＝tan_α，当直线的倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在
坐标式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
3.直线的方向向量与斜率的关系
定义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)
关系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝
4.直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线
斜截式 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
两点式 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线
1．倾斜角与斜率的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
2．谨记以下几个关键点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b.
1．(人教A版选择性必修第一册P58·T7改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　 )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
答案：A
2．(人教A版选择性必修第一册P66·T1改编)过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　 )
A.x－3y＋4＝0 B.x－y＋2＝0
C.x－3y＋2＝0 D.x－y＝0
答案：A
3．(苏教版选择性必修第一册P18·T2改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　 )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：选D　因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
4．(湘教版选择性必修第一册P59·例1改编)已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3)，则AB的斜率为________；BC的倾斜角为________．
答案：　
5．(人教A版选择性必修第一册P67·T1改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________________．
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　直线的倾斜角和斜率　
[题点全训]
1．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　 )
A．－2 B．0 C. D．2
解析：选B　由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝＋(－)＝0.
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　 )
A.∪ B.
C.∪ D.
解析：选B　依题意，直线的斜率k＝－∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.
3．已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________．
解析：如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－ ]∪[1，＋∞)
4．已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，则直线l′的斜率为________．
解析：设直线l，l′的倾斜角分别为α，β，则tan α＝2，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，所以β＝α＋60°，所以直线l′的斜率为k＝tan(α＋60°)＝＝＝－.
答案：－
[一“点”就过]
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：
①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；
②利用正切函数的单调性，借助函数图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．
(2)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，此时直线垂直于x轴．
基础点(二)　直线的方程　
[题点全训]
1．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为(　 )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：选B　因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1,1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0.
2．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为__________________．
解析：设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为__________．
解析：联立解得x＝1，y＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v＝(－3,2)，∴直线的斜率k＝－.则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
答案：2x＋3y－5＝0
4．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝______；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝______.
解析：(1)由直线l在x轴上的截距为－3得，直线过点(－3,0)，代入方程得(m2－2m－3)×(－3)－0＋6－2m＝0，即3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－，经检验可知当m＝3时，直线方程为y＝0，不合题意(舍去)，所以m＝－.
(2)由直线l的斜率为1得，直线方程中x，y的系数互为相反数，且不为0，所以(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝0，解得m＝－2或m＝－1，当m＝－1时，2m2＋m－1＝0，不合题意(舍去)，所以m＝－2.
答案：(1)－　(2)－2
[一“点”就过]
求直线方程的方法
直接法 根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程
待定系数法 先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程
[提醒]　(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点　直线方程的综合问题　
[典例]　过点P(4,1)作直线l，分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[解]　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因为＋＝1≥2＝，所以ab≥16，S△AOB＝ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.
[方法技巧]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　　
[针对训练]
1．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与A(－1，0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是(　 )
A.∪　 B．[－， ]
C.∪ D.
解析：选C　设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，
得·＝3，即y2＝3x2－3.
联立
得x2＋x＋6＝0(m≠0)，
则Δ＝2－24≥0，
即m2≥，解得m≤－或m≥.
∴实数m的取值范围是∪.
2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0解析：直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，故当a＝时，四边形的面积最小．
答案：
不会应用斜率公式的意义解决问题
在涉及与斜率有关的问题时，找不到转化的角度，不能实现数与形的结合．
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[典例]　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
[解]　如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.
易得A(1,1)，B(－1,5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
斜率公式的主要应用形式有比较大小、求解点共线问题、求参数的取值范围、求函数的最值等．由于斜率公式具有把代数问题几何化的功能，因此在解答过程中，首先借助于斜率公式的几何意义画出草图，然后利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况，进而解决问题．如本例在求形如的代数式的最值时，可以将看作动点P(x，y)与定点A(x0，y0)所在直线的斜率，从而实现数与形的转化，将求最值问题转化为求直线的斜率问题．　　
[针对训练]
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围为(　 )
A．{3,4} B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{2,3}
解析：选B　＝＝…＝的几何意义是指曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n可以为2,3,4.
2．若A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
解析：由于A，B，C三点所在的直线不可能垂直于x轴，即斜率存在，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.由斜率公式得，kAB＝＝，kBC＝＝.∵A，B，C三点在同一条直线上，∴kAB＝kBC，即＝，即m2－3m－12＝0，解得m1＝，m2＝.故实数m的值是或.
答案：或
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(混淆倾斜角与斜率的关系)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　 )
A．0 B. C. D．不存在
解析：选C　因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为.
2．(忽略斜率不存在的情况)已知直线l过点(5,10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程为____________．
解析：当斜率不存在时，所求直线的方程为x－5＝0，满足题意；当斜率存在时，设其斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，由点到直线的距离公式得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0
3．(忽视截距为0的情况)经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________________．
解析：设直线l在x轴、y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.若a≠0，设l的方程为＋＝1，因为l过点(4,1)，所以＋＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0
二、融会贯通应用创新题
4．(借助数学文化)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　 )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
解析：选C　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.
5．(浸润家国情怀)神舟十三号两位出舱宇航员身上的红黄配色，在太空组成了国旗的主色.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　 )
A．0° B．1° C．2° D．3°
解析：选C　∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°.过O3作x轴的平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°，故选C.
6．(创新考查角度)若θ是直线l的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝，则l的斜率为(　 )
A．－ B．－或－2
C.或2 D．－2
解析：选D　∵sin θ＋cos θ＝　①，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θ cos θ＝－，∴(sin θ－cos θ)2＝，
易知sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＝　②，
由①②解得
∴tan θ＝－2，即l的斜率为－2.
[课时验收评价]
1．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程是(　 )
A．x＋y＋1＝0 B．y＝－x
C．x＋2＝0 D．y－1＝0
解析：选C　由于直线l过点(－2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.
2．倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为(　 )
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x＋2 D．y＝x－2
解析：选B　斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
3.如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　 )
A．k1C．k1解析：选C　由题图可知k1<0，k2>k3>0，所以k2>k3>k1.
4．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　 )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
解析：选B　设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为＋＝1，又直线过点(5,2)，所以＋＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.
5．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　 )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选D　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan(α＋45°)＝＝－3，又过点M(2,0)，所以所得直线方程为y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　 )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形的面积为··|－b|＝b2，且b≠0，又因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
7．直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　 )
A. B.
C.∪ D.∪
解析：选C　直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)得，该直线倾斜角的取值范围为∪.
8．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线都通过定点(　 )
A. B.
C. D.
解析：选D　直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，令得∴直线恒过定点.故选D.
9．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　 )
A．1 B. C．2 D．3
解析：选D　当x＝0时，y＝a＋3；当y＝0时，x＝.令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因为a＞1，所以a－1＞0，所以t≥5＋2 ＝9，当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．故选D.
10．(多选)若直线l过点A(1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　 )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
解析：选ABC　当直线l经过原点时，直线l的斜率k＝＝2，直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线l不过原点时，设直线l的方程为x－y＝k或x＋y＝k，把点A(1,2)的坐标代入可得1－2＝k或1＋2＝k，得k＝－1或k＝3，故直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选A、B、C.
11．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　 )
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
解析：选CD　由已知得直线l的斜率k＝＝－，设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，所以θ＝120°，故A错误；直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋2－＝0，所以它在x轴上的截距等于1－，故B错误；直线x－3y＋2＝0的斜率为，×(－)＝－1，所以两直线垂直，故C正确；原点到直线l的距离d＝1－>，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，故D正确．故选C、D.
12．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是(　 )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
解析：选CD　直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，－1)，选项A错误；当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，选项C正确；当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝＝，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．
13．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________________．
解析：①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.
答案：5x＋3y＝0或x－y＋8＝0
14．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为___________．
解析：BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
15．直线l过原点且平分 ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________．
解析：直线l过原点且平分 ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3,2)，则直线l的方程为y＝x.
答案：y＝x
16．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
解析：设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α.则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋，其斜率为tan.依题意知：tan＝2，即＝2，∴tan α＝，∴正方形一边所在直线的斜率k＝，则相邻一边所在直线的斜率为－3.
答案：，－3

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