资源简介
第二节 两条直线的位置关系
教学目标:
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 y=k1x+b1,y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(A+B≠0),A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0
平行 k1=k2且b1≠b2 或
重合 k1=k2且b1=b2 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
2.三种距离
三种距离 条件 公式
两点间的距离 A(x1,y1),B(x2,y2) |AB|=
点到直线的距离 P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d d=
两平行线间的距离 直线Ax+By+C1=0到直线Ax+By+C2=0的距离为d d=
1.常用的结论
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y);
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y);
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x);
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y);
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y);
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
2.谨防4个易错点
(1)两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
1.(北师大版选择性必修第一册P19·T2改编)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
答案:A
2.(人教A版选择性必修第一册P67·T8改编)已知直线l过点(0,3),且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
答案:D
3.(人教A版选择性必修第一册P79·T7改编)两条平行直线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0之间的距离为________.
解析:因为l1∥l2,所以由两条平行直线间的距离公式得d==.
答案:
4.(人教B版选择性必修第一册P95·T2改编)已知点B(m,6)到直线3x-y+6=0的距离为3,则实数m的值为________.
答案:±
5.(苏教版选择性必修第一册P29·T3改编)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为________.
解析:由得所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0,即m×1+2×2+5=0,所以m=-9.
答案:-9
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点 两条直线的位置关系
[题点全训]
1.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l1平行,则实数a的值为( )
A.0 B.1 C.6 D.0或6
解析:选C 由直线l的倾斜角为得l的斜率为-1,因为直线l与l1平行,所以l1的斜率为-1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),所以l1的斜率为,故=-1,解得a=6.
2.若直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c=( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
解析:选B 由已知得×=-1,a+4c-2=0,2-5c+b=0,解得a=10,c=-2,b=-12.所以a+b+c=-4.
3.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
解析:选C 由两直线平行,得当k-3=0,即k=3时,两直线的方程分别为y=-1和y=,显然两直线平行.当k-3≠0时,由=≠,可得k=5.综上,k的值是3或5.
4.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________________.
解析:由方程组得即P(0,2).∵l⊥l3,∴直线l的斜率k=-,∴直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.
答案:4x+3y-6=0
[一“点”就过]
1.两直线位置关系的判断方法
已知两直线的斜率存在 ①两直线平行 两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等;②两直线垂直 两直线的斜率之积为-1
已知两直线的斜率不存在 当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合
已知两直线的一般方程 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.此法可避免对斜率是否存在进行讨论
2.由两条直线平行或垂直求参数的值的解题策略
在解这类问题时,一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性,是否需要分情况讨论;“后想”就是在解题后检验答案的正确性,看是否出现增解或漏解.
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一) 两直线的距离问题
[典例] (1)已知点M是直线x+y=2上的一个动点,点P(,-1),则|PM|的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.3
(2)两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为d,则a,d的值分别为( )
A.a=6,d= B.a=-6,d=
C.a=6,d= D.a=-6,d=
[解析] (1)|PM|的最小值即为点P(,-1)到直线x+y=2的距离,由=1,得|PM|的最小值为1,故选B.
(2)由题知2×3=-a,解得a=-6,又-6x+3y-4=0可化为2x-y+=0,∴d==.故选B.
[答案] (1)B (2)B
[方法技巧]
两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;
(2)利用两平行线间的距离公式求解,利用公式前需把两平行线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.
[针对训练]
1.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,2),Q(2,-3),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间距离的取值范围是( )
A.(5,+∞) B.(0,5]
C.(,+∞) D.(0, ]
解析:选D 当PQ与l1,l2垂直时,|PQ|为l1,l2间的距离的最大值,又|PQ|==,∴l1,l2之间距离的取值范围是(0,].故选D.
2.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(4,0),若直线x+my-1=0(m>0)上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则m的最小值是( )
A. B.3 C. D.
解析:选D 设P(1-my,y),由|PA|=2|PB|,得(1-my-1)2+y2=4×[(1-my-4)2+y2],即(m2+1)y2+8my+12=0,∴Δ=64m2-48(m2+1)≥0,解得m≥,故m的最小值为.故选D.
重难点(二) 对称问题
考法1 点关于点对称
[例1] 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.
[解析] 设l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以由截距式得直线l的方程为x+4y-4=0.
[答案] x+4y-4=0
若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解.
考法2 点关于线对称
[例2] 若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=________.
[解析] 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故m+n=.
[答案]
[方法技巧]
点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).
考法3 线关于点对称
[例3] 直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0
C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0
[解析] 由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令可得x=-3,y=1,所以M(-3,1),M不在直线2x+3y-6=0上,设直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),则=,解得c=12或c=-6(舍去),所以所求方程为2x+3y+12=0,故选D.
[答案] D
线关于点对称的两种求解方法
(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程.
(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
考法4 线关于线对称
[例4] 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,则反射光线所在的直线方程为____________________.
[解析] 由得∴反射点M的坐标为(-1,2).又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关于直线l的对称点P′(x0,y0),由PP′⊥l可知,kPP′=-=.而PP′的中点Q的坐标为,Q点在l上,
∴3·-2·+7=0.由
得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.
[答案] 29x-2y+33=0
[方法技巧]
线关于线对称的求解方法
(1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解.
(2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解.
[针对训练]
已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程.
解:(1)设A′(x,y),由已知条件得
解得∴A′.
(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.设对称点M′(a,b),则得M′.设直线m与直线l的交点为N,由得N(4,3).又m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
(3)在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),Q(4,3),则P,Q关于点A(-1,-2)的对称点P′,Q′均在直线l′上,易得P′(-3,-5),Q′(-6,-7),再由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0.
在含参直线方程问题中不会转化为直线系方程求解
在含有参数的直线方程中,不会分离参数,转变为共点的直线系方程.
————————————————————————————————————————
[典例] 当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为( )
A.3 B.0 C.-1 D.1
[解析] mx-y+1-2m=0可化为y=m(x-2)+1,故该直线过定点Q(2,1),当直线PQ和直线mx-y+1-2m=0垂直时,点P到直线mx-y+1-2m=0的距离取得最大值,此时m·kPQ=m·=m·1=-1,解得m=-1.故选C.
[答案] C
共点直线系中定点的求解方法
(1)分离参数,假设直线方程中含有的参数为k,则将直线方程化为f(x,y)+kg(x,y)=0的形式.
(2)解方程组若方程组有解,则可得定点坐标;若方程组无解,则说明直线不过定点.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1.(忽视对参数的讨论)(多选)直线l1:(a2-1)x+ay-1=0,l2:(a-1)x+(a2+a)y+2=0,l1∥l2,则a的值可能是( )
A.-1 B.0 C.1 D.-2
解析:选BCD 由题意知,a(a-1)=(a2-1)(a2+a),整理得a2(a-1)(a+2)=0,解得a=0或a=1或a=-2.
当a=0时,l1:x+1=0,l2:x-2=0,l1∥l2成立;
当a=1时,l1:y-1=0,l2:y+1=0,l1∥l2成立;
当a=-2时,l1:3x-2y-1=0,l2:3x-2y-2=0,
l1∥l2成立.综上所述,a=0或a=1或a=-2.
2.(忽视斜率不存在的情况)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.
解析:由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.
答案:0或1
3.(忽视平行线间系数的对应关系)直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是________.
解析:先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,则两平行线间的距离d==.
答案:
4.(忽视两直线重合的情况)已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,则a的值为________.
解析:令3×1=a(a-2),解得a=-1或a=3.当a=-1时,两条直线的方程都为x-3y-1=0,即两条直线重合,故舍去;当a=3时,两条直线的方程分别为3x+3y+1=0,x+y+3=0,两条直线平行.
∴a的值为3.
答案:3
二、融会贯通应用创新题
5.(创新解题思维·数形结合)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为( )
A.5 B. C. D.2+
解析:选B f(x)=+=+表示平面上点M(x,0)到点A(-5,2)与B(-3,-3)的距离之和,连接AB,与x轴交于M(x,0),则此时点M到点A与点B的距离之和最小,即f(x)min==,故选B.
6.(结合新定义问题)(多选)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”.下列直线中是点M的“相关直线”的是( )
A.y=x+1 B.y=2
C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0
解析:选BC 选项A中,点M到直线y=x+1的距离d==3>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A错误;同理,D错误;选项B中,点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B正确;选项C中,点M到直线4x-3y=0的距离d==4,即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4,故C正确.故选B、C.
7.(借助数学文化)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,即圆内接正多边形的边数无限增加时,其面积可无限逼近圆面积.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的是( )
A.x+(-1)y-=0
B.(1-)x-y+=0
C.x-(+1)y+=0
D.(-1)x-y+=0
解析:选C 作出符合题意的圆内接正八边形ABCDEFGH,如图所示,易知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),则直线AB,BC,CD的方程分别为y=(x-),y=(1-)x+,y=(-1)x+.整理为一般式,即x+(-1)y-=0,(1-)x-y+=0,(-1)x-y+=0,分别对应题中的A、B、D选项.故选C.
8.(创新考查方式)已知实数a,b满足a2-3ln a-b=0,c∈R,则(a-c)2+(b+c)2的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.
解析:选C 设f(x)=x2-3ln x(x>0),则(a-c)2+(b+c)2表示曲线y=f(x)上的点(a,b)到直线y=-x上的点(c,-c)的距离的平方.f′(x)=2x-,令2x-=-1,x>0,解得x=1,所以曲线y=f(x)上一点到直线y=-x的最小距离d==,所以(a-c)2+(b+c)2的最小值为2,故选C.
[课时验收评价]
1.直线x-y-1=0与直线x+y-1=0的交点坐标为( )
A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0)
答案:C
2.(2022·泰安质检)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为( )
A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0
解析:选A 由题意可设所求直线方程为x-2y+m=0,将A(2,3)代入上式得2-2×3+m=0,即m=4,所以所求直线方程为x-2y+4=0.故选A.
3.直线x-2y+2=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0 D.2x+y-4=0
解析:选A 设P(x,y)为所求直线上的点,该点关于直线x=1的对称点为(2-x,y),且该对称点在直线x-2y+2=0上,代入可得x+2y-4=0.故选A.
4.在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c1=0和3x-4y+c2=0,则|c1-c2|=( )
A.2 B.2 C.2 D.4
解析:选B 直线x+2y+1=0与x+2y+3=0间的距离d1==,
直线3x-4y+c1=0与3x-4y+c2=0间的距离d2==.由菱形的性质,知d1=d2,
所以=,所以|c1-c2|=2,故选B.
5.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为( )
A. B. C. D.
解析:选B 因为a=0或a=2时,l1与l2均不平行,所以a≠0且a≠2.因为l1∥l2,所以a(a-2)=3,2a2≠18,解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,所以l1与l2之间的距离d==.故选B.
6.(2022·深圳模拟)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
解析:选B 易知直线y=k(x+1)过定点A(-1,0),设B(0,-1),则当线段AB与直线y=k(x+1)垂直时,距离最大,为|AB|==,故选B.
7.直线l与直线y=1,直线x-y-7=0分别交于P,Q两点,线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率是( )
A. B. C.- D.-
解析:选C 设P(a,1),Q(b,b-7),由线段PQ的中点坐标为(1,-1)可得解得所以P(-2,1),Q(4,-3),所以直线l的斜率k==-,故选C.
8.若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点( )
A. B.
C. D.
解析:选B ∵m+2n-1=0,∴m+2n=1.∵mx+3y+n=0,∴(mx+n)+3y=0,当x=时,mx+n=m+n=,∴3y=-,∴y=-,故直线过定点.故选B.
9.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3 B.2 C.3 D.4
解析:选A ∵l1∥l2,∴AB的中点M的轨迹是平行于l1,l2的直线,且到l1,l2的距离相等,易求得点M所在直线的方程为x+y-6=0.因此,中点M到原点的最小距离为原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.故选A.
10.在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则|AP|等于( )
A.2 B.1 C. D.
解析:选D 以A为原点,AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点的坐标为.设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC的方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在的直线上,所以kP1D=kP2D,即=,解得m=或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去.所以|AP|=m=.
11.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
解析:选AC 对于A,当a=-1时,直线l的斜率k1=1,直线x+y=0的斜率为-1,直线l与直线x+y=0垂直,故A正确;对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则a2+a+1=1,解得a=0或a=-1,故B错误;对于C,无论a取何值,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),故C正确;对于D,当a=0时,直线l:x-y+1=0在x轴上的截距为-1,在y轴上的截距为1,所以当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距不相等,故D错误.故选A、C.
12.若P,Q分别为l1:3x+4y+5=0,l2:ax+8y+c=0上的动点,且l1∥l2,下面说法错误的有( )
A.直线l2的斜率为定值
B.当c=25时,|PQ|的最小值为
C.当|PQ|的最小值为1时,c=20
D.c≠10
解析:选C ∵l1∥l2,∴=≠,∴a=6,c≠10,故A、D正确;∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离,∴当c=25时,d==,故B正确;当|PQ|的最小值为1时,d==1,解得c=20或c=0,故C错误.
13.已知直线l1:mx+y+1=0,l2:mx-y+1=0,m∈R,若l1⊥l2,则m=________.
解析:由l1⊥l2,得m2-1=0 m=±1.
答案:±1
14.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为________.
解析:由平面几何知识得AB平行于直线ax+y+1=0或AB中点(1,3)在直线ax+y+1=0上,当AB平行于直线ax+y+1=0时,因为kAB=-,所以a=;当AB中点(1,3)在直线ax+y+1=0上时,则a+3+1=0,即a=-4.所以a=或-4.
答案:或-4
15.若直线l1:y=kx+1与直线l2关于点(2,3)对称,则直线l2恒过定点________,l1与l2的距离的最大值是________.
解析:∵直线l1:y=kx+1经过定点(0,1),又两直线关于点(2,3)对称,则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称,∴直线l2恒过定点(4,5),∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离,即为=4.
答案:(4,5) 4
16.(2022·湘潭调研)已知点M(1,0),N(2,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为________,|PM|+|PN|的最小值为________.
解析:∵点P在直线2x-y-1=0上,∴可设点P的坐标为(a,2a-1),∴|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a-2)2+(2a-1)2=10a2-14a+7=102+,∴最小值为.设点M′(x,y)和点M关于直线2x-y-1=0对称,则|PM|+|PN|=|PM ′|+|PN|,当M′,P,N三点共线时,|PM′|+|PN|最小,此时|PM|+|PN|=|M′N|,由解得∴|M′N|==,即|PM|+|PN|的最小值为.
答案:
展开更多......
收起↑