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第六节　双曲线
教学目标：
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
c2＝a2＋b2
(1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
(5)若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
(6)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
1．(人教A版选择性必修第一册P120·例1改编)已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　 )
A.－＝1 B.－＝1(x≥4)
C.－＝1 D.－＝1(x≥3)
解析：选D　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
2．(苏教版选择性必修第一册P99·T8改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D.
3．(北师大版选择性必修第一册P66·T3改编)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
解析：在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.
答案：(3,0)　
4．若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________________．
解析：依题意有或解得－33.所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,2)∪(3，＋∞)
5．(人教A版选择性必修第一册P127·T6改编)经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为______________．
解析：设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　双曲线的标准方程　
[题点全训]
1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　 )
A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0)
C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)
解析：选B　由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
2．已知双曲线C的离心率e＝2，其中一个焦点的坐标为(0,2)，则双曲线C的标准方程是(　 )
A．x2－＝1 B．x2－＝1
C．y2－＝1 D．y2－＝1
解析：选D　由题意得双曲线的焦点在y轴上，且c＝2，离心率e＝＝2，则a＝1，所以b2＝c2－a2＝3，则双曲线C的标准方程为y2－＝1，故选D.
3．经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　 )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D　设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，又双曲线过点M(2，2)，所以λ＝－6.即双曲线方程为－＝1，故选D.
4．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　 )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D　由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D.
[一“点”就过]
双曲线标准方程的两种求法
定义法 根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程
待定系数法 先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可
基础点(二)　双曲线的简单几何性质　
[题点全训]
1．直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为(　 )
A.　　 B．　　　C.　　　D.
解析：选A　由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.
2．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　 )
A. B. C. D.
解析：选A　双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝.故选A.
3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________．
解析：∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
4．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝± x，又知C的一条渐近线方程为y＝－x，则＝，解得m＝3.故C的方程为－y2＝1.所以C的焦距为4.
答案：4
[一“点”就过]
研究双曲线几何性质的步骤
(1)将所给方程正确化成双曲线的标准形式．
(2)根据方程判断出双曲线的焦点在哪个坐标轴上．
(3)准确求出a，b，进而求出双曲线的其他有关问题．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　双曲线的定义及应用　
[典例]　(1)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　 )
A. B．3 C. D．2
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________________．
[解析]　(1)双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16－2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝3.故选B.
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
[答案]　(1)B　(2)x2－＝1(x≤－1)
[方法技巧]
(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．　　
[针对训练]
1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　 )
A．3 B．16＋ C．12＋ D．24
解析：选B　由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝　①，|BF2|－|BF1|＝　②，
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，则△ABF2的周长为16＋，故选B.
2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
答案：9
重难点(二)　双曲线的几何性质的应用　
考法1　求双曲线的方程
[例1]　(2020·天津高考)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　 )
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
[解析]　由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
[答案]　D
[方法技巧]
求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程．　　
考法2　求离心率的值或范围
[例2]　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　 )
A. B. C. D.
(2)(2021·滨州二模)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　 )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
[解析]　(1)由题意，得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，所以＝，所以双曲线C的离心率为.故选A.
(2)在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝＜2，又e＞1，所以1＜e＜2.故选A.
[答案]　(1)A　(2)A
[方法技巧]
求双曲线离心率的方法
(1)求出a，b，c的值，根据e2＝＝＝1＋直接求e；
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等．　　
考法3　与双曲线有关的范围(最值)问题
[例3]　(2022·湘东六校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是(　 )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，)) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，))
[解析]　不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F(－c,0)，B(0，b)，直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P1，P2在圆O上．由题意可知解得1＜2＜，即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是.
[答案]　A
[方法技巧]　解与双曲线有关范围问题的方法
几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解
代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解
[针对训练]
1．若双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为(　 )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，＋∞))
解析：选C　∵双曲线渐近线为bx±ay＝0与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即＞1，
∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2>9a2，
∴e＝＞.故选C.
2．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　 )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
解析：选B　若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
3．(2021·莆田三模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为___________．
解析：因为|F1F2|＝4|OP|，所以|OP|＝，所以|NF2|＝2|OP|＝c，又|MF2|－|MF1|＝|NF2|＝2a，所以c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，则＝.故C的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视双曲线上的点到焦点距离的范围)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　 )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对
解析：选B　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，解得|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.
2．(忽视双曲线定义的条件)已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　 )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
解析：选D　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．
3．(弄错双曲线上点的位置)P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解析：由题知a＝4，b＝9，c＝＝，由于|PF1|＝9答案：17
4．(忽视双曲线焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.
答案：2或
二、融会贯通应用创新题
5.(体现数学应用)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a＞0，b＞0)下支的一部分，且此双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　 )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选B　因为－＝1(a＞0，b＞0)，所以渐近线方程为y＝±x，又因为e＝＝ ＝2，解得＝，即＝，所以渐近线方程为y＝±x.故选B.
6．(体现数学应用)(多选)已知A，B两监测点间距离为800 m，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2 s，若声速为340 m/s，则下列说法正确的是(　 )
A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上
C．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为 m
D．若B监测点的声强是A监测点的4倍，则爆炸点到B监测点的距离为680 m
解析：选BD　依题意，设爆炸点为C，则|CA|－|CB|＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；由B监测点的声强是A监测点的4倍，则＝4，即|CA|＝2|CB|，结合|CA|－|CB|＝680，可得|CB|＝680，所以C选项错误，D选项正确．故选B、D.
7．(借助数学文化)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为(　 )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(0,5) D．(5，＋∞)
解析：选C　已知方程可以变形为m＝，即＝，∴＝，其表示双曲线上一点(x，y)到定点(0，－1)与定直线x－2y＋3＝0的距离之比为常数e＝ ，又由e＞1，可得0＜m＜5，故选C.
8．(强化开放思维)写出一个离心率为，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为__________________．
解析：由题意可得e＝＝＝＝＝，可得＝2，又因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x＝±x，所以双曲线的焦点在x轴上，因此，满足条件的双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．若双曲线mx2＋ny2＝1(m>0)的离心率为，则＝(　 )
A. B．－ C．4 D．－4
解析：选D　因为mx2＋ny2＝1(m>0)可化为－＝1(m>0)，又e＝ ＝，所以＝＝4，即＝－4.故选D.
2．(2021·邯郸三模)已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝(　 )
A．1 B．1或9 C．3或9 D．9
解析：选D　由题意知＝2，所以a＝2，所以c＝＝2，所以|PF1|＝5＜2＋2＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝9.故选D.
3．(2021·唐山三模)设已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为(　 )
A．3 B．6 C．9 D．18
解析：选C　在双曲线C：x2－＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±2x，因为|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线x＝上，则P点纵坐标y0满足|y0|＝3，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝9.故选C.
4．(2021·南通三模)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为(　 )
A. B. C. D．7
解析：选C　设|AF1|＝m，则|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝2a，又|F1F2|＝2c，∴2a＝2c，e＝＝.故选C.
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　 )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
解析：选ACD　∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，故B错误；∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，故C正确；∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为ny2＝1 y＝± ，该方程表示两条直线，故D正确．综上可知，正确的选项为A、C、D.
6．双曲线－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．
解析：双曲线－y2＝1的焦距为2＝2，渐近线方程为－y2＝0，即y＝±x.
答案：2　y＝±x
7．已知双曲线C过点(2，－1)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．
解析：由题意设所求双曲线方程为－＝k，因为双曲线过点(2，－1)，所以－＝k，k＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1.
答案：－＝1
8．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.
∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，
∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案：2
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：设＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0.
(3)因为△F1MF2的底边长F1F2＝4.由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．
解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)证明：因为点M在双曲线上，所以－＝1.所以m2＝，又双曲线－x2＝1的焦点为F1(0，－)，F2(0，)，所以MF1―→·MF2―→＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．
二、重点难点培优训练
1．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　 )
A. B. C．2 D.
解析：选A　设F的坐标为(c,0)，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2＋2＝a2，故＝，即e＝.
2．(多选)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则下列说法正确的是(　 )
A．|F2P|＝b
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为y＝±x
D．点P在直线x＝a上
解析：选ABD　由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则|F2P|＝＝＝b，故A正确；因为|OP|＝＝＝a，所以|PF1|＝|OP|＝a，cos∠F1OP＝cos(180°－∠F2OP)＝－cos∠F2OP＝－＝－，在三角形OPF1中，根据余弦定理可知cos∠F1OP＝＝＝－，解得3a2＝c2，即离心率e＝或e＝－(舍去)，故B正确；因为e＝ ＝，解得＝，所以渐近线的方程为y＝±x，故C错误；因为点P在直线y＝x上，可设P(x，x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，解得x＝a，故D正确．
3．设F1，F2分别为离心率为e＝的双曲线C：－＝1的左、右焦点，A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA2NA1的面积为4，则b＝________.
解析：由e＝＝，得＝2，故一条渐近线方程为y＝2x, 以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得y＝±，由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA1为平行四边形，不妨设yM＝，则四边形MA2NA1的面积S＝2a×＝4，得ac＝，又＝，得a＝1，c＝，故b＝2.
答案：2
4．(2022·湖北七市联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(3，0)，点N的坐标为(0,2)，点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
解析：设双曲线C的左焦点为F′，连接MF′，F′N(图略)，则|MF|－|MF′|＝2a，即|MF|＝|MF′|＋2a，故|MF|＋|MN|＝|MF′|＋|MN|＋2a≥|F′N|＋2a，当且仅当N，M，F′三点共线时等号成立．由F(3，0)，F′(－3，0)，N(0,2)可得|F′N|＝|FN|＝＝7，故△MNF的周长为|MN|＋|MF|＋|NF|≥|F′N|＋2a＋|NF|＝14＋2a.依题意，△MNF周长的最小值14＋2a≥20，解得a≥3，所以双曲线C的离心率e＝≤＝.又e＞1，可得1＜e≤.
答案：(1，]
5．(2021年1月新高考八省联考卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解：(1)当|BF|＝|AF|且BF⊥AF时，有c＋a＝＝，所以a＝c－a，解得e＝2.
(2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1，易知渐近线方程为y＝±x，所以∠BAF∈，∠BFA∈，设B(x，y)(x＞0，y＞0)，则kAB＝，kBF＝.设∠BAF＝θ，则tan θ＝，tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA.因为2∠BAF∈，所以∠BFA＝2∠BAF.

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