资源简介

高尔顿板问题
一．多选题（共2小题）
1．如图是一块改造的高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，6的球槽内．用表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为0，1，2，，，用表示小球最后落入球槽的号码，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．若放入80个小球，则落入1号球槽的小球个数的期望为5
2．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则　　
A． B．
C． D．
二．解答题（共3小题）
3．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（1）如图，进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；
（2）曾经在街头巷尾的地摊上流行过一种利用高尔顿板改造的赌博游戏．摊主规定：2元可以尝试一次，如果小球落入1号和7号球槽可以得到5元奖金；如果小球落入2号和6号球槽可以得到2元奖金；如果小球落入3号和5号球槽可以得到1元奖金；如果小球落入4球槽没有奖金．如果某天有100人次尝试此游戏，摊主预计可以获取多少收益．
4．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
5．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下．
（Ⅰ）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
（Ⅱ）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元．其中．
（ⅰ）求的分布列：
（ⅱ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
高尔顿板问题
参考答案与试题解析
一．多选题（共2小题）
1．如图是一块改造的高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，6的球槽内．用表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为0，1，2，，，用表示小球最后落入球槽的号码，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．若放入80个小球，则落入1号球槽的小球个数的期望为5
【解答】解：对于选项，小球从通道口落下通过第七层空隙要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，做了6次独立重复试验，
此时小球经过第七层通过的空隙编号，1，2，3，4，5，时，
说明小球经过的6次碰撞中，次向右，次向左，即，正确；
对于选项，小球从通道口落入3号球槽要经过7次碰撞，其中3次向右，4次向左，
根据独立重复试验事件发生的概率公式，
由选项可得，
故，故错误；
对于选项，小球从通道口落入2号球槽要经过7次碰撞，其中2次向右，5次向左，
根据独立重复试验事件发生的概率公式可得，，
同理可得：，故选项正确；
对于选项，
，
又因为80个小球，每个小球落入1号球槽的概率都相同，且互不影响，故，
故落入1号球槽的小球个数的数学期望为，
正确．
故选：．
2．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设，依题意，，
所以，
，
．
故选：．
二．解答题（共3小题）
3．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（1）如图，进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；
（2）曾经在街头巷尾的地摊上流行过一种利用高尔顿板改造的赌博游戏．摊主规定：2元可以尝试一次，如果小球落入1号和7号球槽可以得到5元奖金；如果小球落入2号和6号球槽可以得到2元奖金；如果小球落入3号和5号球槽可以得到1元奖金；如果小球落入4球槽没有奖金．如果某天有100人次尝试此游戏，摊主预计可以获取多少收益．
【解答】解：（1）设这个小球掉入6号球槽为事件，掉入6号球槽，需要向右5次向左1次，
所以，
所以这个小球掉入6号球槽的概率为．
（2）由题意可得，每一次游戏中，的可能取值为0，1，2，5，
，，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 5
一次游戏付出的奖金，
则摊主的收益为，
所以100人次的总收益为100元．
4．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，
所以（A）．所以这个小球掉入5号球槽的概率为．（4分）
（Ⅱ）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，，
，
，
．
0 4 8 12
一次游戏付出的奖金，
则小红的收益为．（8分）
小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．
，
，
，
．
的分布列为：
0 1 4 9
一次游戏付出的奖金，则小明的收益为．
，小明的盈利多．（12分）
5．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下．
（Ⅰ）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
（Ⅱ）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元．其中．
（ⅰ）求的分布列：
（ⅱ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
【解答】解：（1）记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为，
小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，
这个小球 落入第7层第6个空隙处的概率．
（2）由已知得的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，
，
，
，
，
的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
，
的可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
．
，
小明同学能盈利．

展开更多......

收起↑