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第二章 几何图形的初步认识
2.7 第2课时 互余、互补及其性质
角的比较
度量法
叠合法
角的平分线
角的运算
角的和差关系
角的比较与运算
知识回顾
复习
O
A
B
要测量两堵墙所成的角AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量
建筑工人的难题
你能帮他解决这个问题吗？
情景导入
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角。
1
2
几何语言：
∵∠1＋∠2＝900
∴∠1与∠2互余
反过来，如果∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90°
几何语言：
∴∠1＋∠2＝900
∵∠1与∠2互余
获取新知
一起探究
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
练一练
画出∠COB的余角
C
O
B
A
D
画一画
（2）量一量: 用量角器量一下这两角的度数；
根据图形:
（1）猜一猜: ∠1 与∠2相等吗？
∠1与∠COB互余，
∠ 2与∠COB互余
C
O
B
A
D
（3）议一议：把结论归纳一下：
（4）试一试：你还能用什么方法来说明这个结论？
相等
同角的余角相等。
1
2
获取新知
解： ∠1与∠2相等，理由如下：
∵ ∠1+ ∠BOC = 90 °
∠2+ ∠BOC = 90°
∴ ∠1 = 90 °－ ∠BOC
∠2 = 90 ° － ∠BOC
∴ ∠1 = ∠2
如图，∠1与∠COB互余，
∠ 2与∠COB互余
则∠1与∠2相等吗？
A
O
B
D
C
1
2
同角的
余角相等
如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
1
2
3
4
解： ∠2与∠4相等，理由如下：
∵ ∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90°
∴ ∠2 = 90°─∠1， ∠4 = 90°─∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
等角的余角相等
获取新知
两个角的和等于180°（平角），
就说这两个角互为补角，简称互补。
如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角。
1
2
几何语言：
∵∠1＋∠2＝1800
∴∠1与∠2互补
思考：如何画一个已知∠BOC的补角？
B
O
C
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
如图，∠1与∠BOC 的补角，
∠2是∠BOC 的补角。
那么∠1与∠2相等吗
解： ∠1与∠2相等，理由如下：
∵ ∠1+ ∠BOC = 180 °
∠2+ ∠BOC = 180 °
∴ ∠1=180 °－ ∠BOC
∠2= 180 ° －∠BOC
∴ ∠1 = ∠2
A
O
B
D
C
1
2
同角的补角相等
一起探究
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，
如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
解： ∠2与∠4相等，理由如下：
∵ ∠1﹢∠2 = 180°，∠3﹢∠4 = 180°
∴ ∠2 = 180°─∠1， ∠4 = 180°─∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
等角的补角相等
1
2
4
3
例1 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线上，
所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
O
A
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
例题讲解
例题讲解
例2 如图①，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，
F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．
导引：已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角
(或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角
的补角，便可确定与∠2相等的角．
解：如图②，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，
所以∠3＝∠2.
因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，
所以∠4＝∠2.
因为∠2＋∠5＝180°，
∠6＋∠5＝180°，
所以∠2＝∠6.
所以图中与∠2相等的角
有∠3，∠4，∠6.
随堂演练
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
2.下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
D
3. 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是(　　)
A．同角的余角相等
B．等角的余角相等
C．同角的补角相等
D．等角的补角相等
C
4.如图，若∠AOB，∠COD都与∠BOC互余，则图中互补的角共有(　　)
A．1对　　　 B．2对
C．3对 D．4对
B
5. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
62°
28°
6. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？
解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；
∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角．
7.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是______________，∠COD的余角是_______________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解：OE平分∠BOC
理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
8.如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠AOB＝40°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°，
所以∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角，
所以∠AOB＝∠COD.
因为∠AOB＝40°，所以∠COD＝40°.
课堂小结
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质

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