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2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）
一、解答题
1．（2019·江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} 满足： ，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足： ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．
2．（2019·上海）已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
3．（2019·浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4.a4=S3，数列{bn}满足：
对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
4．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
5．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
6．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
7．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
8．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
9．（2019·北京）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0，若p（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。
10．（2019·全国Ⅰ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=-a5
（1）若a3=4，求{an}的通项公式。
（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范围。
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.
（2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n .
②由①知，bk=k， . 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以 ，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有 ．
设f（x）= ，则 ．
令 ，得x=e.列表如下：
x e (e，+∞)
+ 0 –
f（x） 极大值
因为 ，所以 ．
取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ，
经检验知 也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用 与 的关系式结合已知条件得出数列 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列 的通项公式。②由①知，bk=k， .因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为ck≤bk≤ck+1，所以 ，其中k=1，2，3，…，m，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。
2．【答案】（1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
当 ，
集合 ．
（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，
如图 ， ，
此时 ，
综上， 或者 ．
（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．
②当 时， ， ， ，或者 ，
等差数列 的公差 ，故 ， ，又
当 时满足条件，此时 ．
③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．
当 时， 满足题意．
④当 时， ， ，
所以 或者 ， ，故 ．
当 时， ，满足题意．
⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意．
综上， ．
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 时的集合S.
(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用 是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值．
3．【答案】（1）设数列 的公差为d，由题意得
，
解得 ．
从而 ．
由 成等比数列得
．
解得 ．
所以 ．
（2） ．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设 时不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
即当 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.
4．【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
5．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 .
所以， 的通项公式为 的通项公式为 .
（Ⅱ）（i） .
所以，数列 的通项公式为 .
（ii）
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ） 的通项公式为 的通项公式为 ， 得出数列 的通项公式；
（ⅱ）将 代值并化简即可求值。
6．【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
7．【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
8．【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
9．【答案】 解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；
（II）设数列 的长度为q的一个递增数列为 且 ；
设数列 的长度为p的一个递增数列为 且 ；
因为p ;
（III） （用数学归纳法证明即可）.
【知识点】数列的应用
【解析】 【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；
（II）构造数列证明即可；
（III）根据题意写出通项公式即可.
10．【答案】（1） 解：设 的公差为d．
由 得 ．
由a3=4得 ．
于是 ．
因此 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，故 .由 知 ，故 等价于 ，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是 ．
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
( 2 )由（1）得 ，故 .
由 知 ，故 等价于 ，再利用一元二次不等式求解集的方法结合n自身的取值范围，从而求出n的取值范围。
1 / 12019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）
一、解答题
1．（2019·江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} 满足： ，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足： ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．
【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.
（2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n .
②由①知，bk=k， . 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以 ，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有 ．
设f（x）= ，则 ．
令 ，得x=e.列表如下：
x e (e，+∞)
+ 0 –
f（x） 极大值
因为 ，所以 ．
取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ，
经检验知 也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用 与 的关系式结合已知条件得出数列 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列 的通项公式。②由①知，bk=k， .因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为ck≤bk≤ck+1，所以 ，其中k=1，2，3，…，m，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。
2．（2019·上海）已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
【答案】（1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
当 ，
集合 ．
（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，
如图 ， ，
此时 ，
综上， 或者 ．
（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．
②当 时， ， ， ，或者 ，
等差数列 的公差 ，故 ， ，又
当 时满足条件，此时 ．
③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．
当 时， 满足题意．
④当 时， ， ，
所以 或者 ， ，故 ．
当 时， ，满足题意．
⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意．
综上， ．
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 时的集合S.
(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用 是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值．
3．（2019·浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4.a4=S3，数列{bn}满足：
对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）记Cn= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+Cn＜2 ，n∈N*
【答案】（1）设数列 的公差为d，由题意得
，
解得 ．
从而 ．
由 成等比数列得
．
解得 ．
所以 ．
（2） ．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设 时不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
即当 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 对任意 成立．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.
4．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
5．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 .
所以， 的通项公式为 的通项公式为 .
（Ⅱ）（i） .
所以，数列 的通项公式为 .
（ii）
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；
（Ⅱ）由（ⅰ） 的通项公式为 的通项公式为 ， 得出数列 的通项公式；
（ⅱ）将 代值并化简即可求值。
6．（2019·全国Ⅱ卷文）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
7．（2019·北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
【答案】解：（I）根据三者成等比数列，
可知 ，
故 ，
解得d=2，
故 ；
（Ⅱ）由（I）知 ，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，
故n=5或6时， 取最小值-30.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.
8．（2019·全国Ⅱ卷理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， .
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）解：由题设得 ，即 ． 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列． 由题设得 ， 即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】 【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 ．即可得出 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列 、 的通项公式相减，即可得出两个数列{an}和{bn}的通项公式。
9．（2019·北京）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0，若p（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。
【答案】 解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；
（II）设数列 的长度为q的一个递增数列为 且 ；
设数列 的长度为p的一个递增数列为 且 ；
因为p ;
（III） （用数学归纳法证明即可）.
【知识点】数列的应用
【解析】 【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；
（II）构造数列证明即可；
（III）根据题意写出通项公式即可.
10．（2019·全国Ⅰ卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=-a5
（1）若a3=4，求{an}的通项公式。
（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范围。
【答案】（1） 解：设 的公差为d．
由 得 ．
由a3=4得 ．
于是 ．
因此 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，故 .由 知 ，故 等价于 ，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是 ．
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。
( 2 )由（1）得 ，故 .
由 知 ，故 等价于 ，再利用一元二次不等式求解集的方法结合n自身的取值范围，从而求出n的取值范围。
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