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初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1.3 弧、弦、圆心角
一、基础巩固
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（2）同步练习）如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（　　）
A．150° B．75° C．60° D．15°
2．（2019·西岗模拟）给出下列命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2019九上·龙湖期末）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．（2018九上·温州期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC=BD，
求证：BC=AD．
二、强化提升
5．（2018九上·杭州期中）如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．4
6．（2018九上·湖州期中）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019·黔南模拟）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为　 　度．
8．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
9．（2018九上·宁波期中）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，连结AC，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连结FC．
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长（用含m、n的代数式表示）；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
三、真题演练
10．（2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2019·伊春）如图，在⊙ 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则 的度数为　 　．
12．（2019·南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证PA＝PC.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故答案为：B．
【分析】 根据等弧所对的弦相等得出AB=AC，根据等边对等角得出∠B=∠C；然后滚局三角形的内角和即可算出∠B的度数。
2．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①正确；
垂直于弦的直径平分这条弦，所以②正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确.
故答案为：D.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形， 据此可判断①正确；根据垂径定理可判断②正确；利用弧、弦、圆心角之间的关系可判断③正确.
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OA=OB，∴∠B=∠A=50°，∠AOB=80°，
又∵C是 的中点 ，
∴∠BOC=∠AOC=40°。
故答案为：A。
【分析】由OA=OB，可求得∠AOB的大小，由 C是 的中点可得出弧AC等于弧BC，故∠BOC=∠AOC=40°。
4．【答案】证明：∵AC=BD，∴ ，
∴ ，即 ，
∴BC=AD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弦所对的弧相等得 ，由等量代换得 ，再由等弧所对的弦相等即可得证.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定；正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解、过点O作OE⊥CD，垂足为E，OF⊥AB，垂足为F，连接OD，
∵AB=CD=8，
∴OE=OF，DE=CE=4，
在Rt ODE中，DE=4，OD=5，
∴OE==3；
∵AB⊥CD，OE⊥CD，OF⊥AB，
∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=900，
∴四边形OEPF是矩形，
而OE=OF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=EP=3，
在Rt OPE中，
由勾股定理可得OP=.故选C。
【分析】过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，连接OD，由垂径定理可得OE=OF，DE=CE，在Rt ODE中，用勾股定理可求得OE的长；根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，于是可得OE=EP，在Rt OPE中，用勾股定理可求得OP的长。
6．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D.
【分析】如图连接OB、OD，根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD，故①正确；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，根据的呢过量代换得出BM=DN，然后利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON，故②正确；然后再利用HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，进而根据等式的性质得出PA=PC，故③正确，总上所述即可得出答案。
7．【答案】120．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
故答案为：120．
【分析】根据垂径定理的推论可得AC⊥OB，点A在OB的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可得OA=AB，进而可得△OAB是等边三角形，∠AOB=60°，∠AOC=120°.
8．【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
9．【答案】（1）证明：连接AB，
∵OP⊥BC，
∴BO=CO，
∴AB=AC，
又∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．
（2）解：过点A作AN⊥BD于点N ，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD.
由（1）得∠ACF=∠ADB，
∴∠FDC=∠FCD，
∴CF=DF.
∴BF+CF=BF+DF=n，
又∵AB=AD，AN⊥BD，
∴DN= ，∴在Rt△ABN中，AD2=DN2+AN2=m2+ =m2+ ，
在Rt△ACD中，CD2=AC2+AD2=2AC2=2m2+ ，
∴CD= ．
（3）解： 的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中
，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，
而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，
∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴ = ，
∴ = ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接AB，由垂径定理可得AB=AC，由AC=AD，可得AB=AD，根据“等边对等角”可得∠ABD=∠ADB，由同弧所对的角相等，可知∠ACF=∠ADB，则可证得；（2）由（1）可知∠ACF=∠ADB，且等腰Rt△ACD，则∠FDC=∠FCD，则CF=DF，则BF+CF=BF+DF=n；由AB=AD，作BD边上的高AN，由勾股定理求出AD和CD即可；（3）由等腰Rt△ACD，可构造全等三角形，过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，易证Rt△DHA≌Rt△AOC，从而可得AH=OC=OB，OA=DH，则 = ，即证Rt△DHE中的锐角是否为固定的值.由BQ=OB+OQ=AH+OA=DQ，可证得∠DBQ=45°，从而可得∠HDE=45°.
10．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；点到直线的距离；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故答案为：A．
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断①；两点之间线段最短，据此判断②；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断③；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断④；
11．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】根据圆心角、圆周角与弧长对应关系，可解得∠AOB的度数。
12．【答案】解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 如图，连接 ，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，进而根据等式的性质得出 ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ，根据等角对等边得出结论。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1.3 弧、弦、圆心角
一、基础巩固
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（2）同步练习）如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（　　）
A．150° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故答案为：B．
【分析】 根据等弧所对的弦相等得出AB=AC，根据等边对等角得出∠B=∠C；然后滚局三角形的内角和即可算出∠B的度数。
2．（2019·西岗模拟）给出下列命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①正确；
垂直于弦的直径平分这条弦，所以②正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确.
故答案为：D.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形， 据此可判断①正确；根据垂径定理可判断②正确；利用弧、弦、圆心角之间的关系可判断③正确.
3．（2019九上·龙湖期末）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OA=OB，∴∠B=∠A=50°，∠AOB=80°，
又∵C是 的中点 ，
∴∠BOC=∠AOC=40°。
故答案为：A。
【分析】由OA=OB，可求得∠AOB的大小，由 C是 的中点可得出弧AC等于弧BC，故∠BOC=∠AOC=40°。
4．（2018九上·温州期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC=BD，
求证：BC=AD．
【答案】证明：∵AC=BD，∴ ，
∴ ，即 ，
∴BC=AD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弦所对的弧相等得 ，由等量代换得 ，再由等弧所对的弦相等即可得证.
二、强化提升
5．（2018九上·杭州期中）如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定；正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解、过点O作OE⊥CD，垂足为E，OF⊥AB，垂足为F，连接OD，
∵AB=CD=8，
∴OE=OF，DE=CE=4，
在Rt ODE中，DE=4，OD=5，
∴OE==3；
∵AB⊥CD，OE⊥CD，OF⊥AB，
∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=900，
∴四边形OEPF是矩形，
而OE=OF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=EP=3，
在Rt OPE中，
由勾股定理可得OP=.故选C。
【分析】过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，连接OD，由垂径定理可得OE=OF，DE=CE，在Rt ODE中，用勾股定理可求得OE的长；根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，于是可得OE=EP，在Rt OPE中，用勾股定理可求得OP的长。
6．（2018九上·湖州期中）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D.
【分析】如图连接OB、OD，根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD，故①正确；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，根据的呢过量代换得出BM=DN，然后利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON，故②正确；然后再利用HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，进而根据等式的性质得出PA=PC，故③正确，总上所述即可得出答案。
7．（2019·黔南模拟）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为　 　度．
【答案】120．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
故答案为：120．
【分析】根据垂径定理的推论可得AC⊥OB，点A在OB的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可得OA=AB，进而可得△OAB是等边三角形，∠AOB=60°，∠AOC=120°.
8．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
9．（2018九上·宁波期中）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，连结AC，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连结FC．
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长（用含m、n的代数式表示）；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：连接AB，
∵OP⊥BC，
∴BO=CO，
∴AB=AC，
又∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．
（2）解：过点A作AN⊥BD于点N ，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD.
由（1）得∠ACF=∠ADB，
∴∠FDC=∠FCD，
∴CF=DF.
∴BF+CF=BF+DF=n，
又∵AB=AD，AN⊥BD，
∴DN= ，∴在Rt△ABN中，AD2=DN2+AN2=m2+ =m2+ ，
在Rt△ACD中，CD2=AC2+AD2=2AC2=2m2+ ，
∴CD= ．
（3）解： 的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中
，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，
而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，
∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴ = ，
∴ = ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接AB，由垂径定理可得AB=AC，由AC=AD，可得AB=AD，根据“等边对等角”可得∠ABD=∠ADB，由同弧所对的角相等，可知∠ACF=∠ADB，则可证得；（2）由（1）可知∠ACF=∠ADB，且等腰Rt△ACD，则∠FDC=∠FCD，则CF=DF，则BF+CF=BF+DF=n；由AB=AD，作BD边上的高AN，由勾股定理求出AD和CD即可；（3）由等腰Rt△ACD，可构造全等三角形，过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，易证Rt△DHA≌Rt△AOC，从而可得AH=OC=OB，OA=DH，则 = ，即证Rt△DHE中的锐角是否为固定的值.由BQ=OB+OQ=AH+OA=DQ，可证得∠DBQ=45°，从而可得∠HDE=45°.
三、真题演练
10．（2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；点到直线的距离；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故答案为：A．
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断①；两点之间线段最短，据此判断②；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断③；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断④；
11．（2019·伊春）如图，在⊙ 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则 的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】根据圆心角、圆周角与弧长对应关系，可解得∠AOB的度数。
12．（2019·南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证PA＝PC.
【答案】解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 如图，连接 ，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，进而根据等式的性质得出 ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ，根据等角对等边得出结论。
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