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初中数学人教版九年级下学期 第二十九章 29.1 投影
一、单选题
1．（2019九上·未央期末）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：矩形木框再阳光的照射下形成的投影是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合
故A不可能，不会是梯形
故答案为：C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析即可。
2．（2019九上·辽阳期末）在同一天的四个不同时刻，某学校旗杆的影子如图所示，按时间先后顺序排列的是（　　）
A．①②③④ B．②③④① C．③④①② D．④③①②
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：西为②，西北为③，东北为④，东为①，
∴将它们按时间先后顺序排列为②③④①.
故答案为：B.
【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长.
3．（2019·广州模拟）小明的身高为1.8米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（　　）
A．3.2米 B．4.8米 C．5.4米 D．5.6米
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为， ＝ ，
解得，x＝5.4．
故答案为：C．
【分析】由在太阳光下，同一时刻物体的高度与它的影长成比例列式即可。
4．（2019·武汉模拟）如图，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】根据题意：水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图应是D．
故答案为：D．
【分析】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
5．下列图形是平行投影的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解，通过作图可知A、C、D中影子的顶端和木杆的顶端连线不平行，只有选项B中影子的顶端和木杆的顶端连线平行．
故答案为：B．
【分析】连接影子的顶端和木杆的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影，根据定义即可一一判断。
二、填空题
6．（2019九上·昌平期中）甲、乙两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与其影长之比的关系是　 　
【答案】相等
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；故同一时刻他们的身高与其影长成比例，即同一时刻他们的身高与影长的比相等．
故答案为：相等．
【分析】根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，即可得出答案．
7．（2019九上·辽阳期末）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为　 　.
【答案】12m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由图可知：
设旗杆的高度为x米，
解得x=12
【分析】根据题意，小东移动竹竿，旗杆、竹竿和影子及经过旗杆和竹竿顶端的光线构成两个直角三角形，且两三角形相似
8．（2019九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），则点A′的坐标为　 　．
【答案】（5，6）
【知识点】点的坐标；中心投影
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），
∴位似比为1：2，故点A′的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【分析】本道题考察的是位似图形的位似比。因为三角形A'B'C'是由三角形ABC以点O为位似中心放大的图，且位似比是1：2，根据点A的坐标进行扩大处理就可以了。
9．（2019·北京模拟）一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24 cm，则A1B1长为　 　 cm.
【答案】8
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，BC=12cm，AC=8cm，
∴AB=4 cm，
∵△A1B1C1是△ABC的中心投影，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∴A1B1：AB=B1C1：BC=2：1，即A1B1=8 cm．
故答案为：8
【分析】根据勾股定理即可求得AB的长度。由题意得△A1B1C1是△ABC的中心投影，所以得△ABC∽△A1B1C1。根据相似三角形的性质，对应边成比例即可求出A1B1的长度。
10．（2018九上·和平期末）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图所示).现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是　 　.
【答案】2∶5
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴AB：A′B′=OA：OA′=20：50=2：5，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=AB：A′B′=2：5.
故答案为：2:5.
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
11．（2018·百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是　 　（用“=、＞或＜”连起来）
【答案】S1=S＜S2
【知识点】平行投影
【解析】【解答】∵立体图形是长方体，∴底面ABCD∥底面EFGH．
∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD，∴S1=S．
∵EM＞EF，EH=EH，∴S＜S2，∴S1=S＜S2．
故答案为：S1=S＜S2．
【分析】根据长方体的性质：底面ABCD∥底面EFGH，故它们两的平行投影是重合的，即S1=S，虽然 EMNH的投影都是矩形ABCD ，但不是平行投影故该投影的面积应该小于实际矩形的面积，即S＜S2，从而得出答案S1=S＜S2．
三、解答题
12．已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
【答案】解：如图所示，过A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝AB·cos45°＝10× =5 (厘米)，
∴A1B1＝AH＝5 (厘米)，
∵A1D1＝AD＝10(厘米)，
∴SA1B1C1D1=（平方厘米）
【知识点】锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【分析】 如图所示，过A作AH⊥BB1于H， 首先很容易得出 △ABH是等腰直角三角形， 根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 AH＝AB·cos45°即可算出AH的长，根据矩形的性质得出 A1B1＝AH ，根据平行投影的性质得出 A1D1＝AD ，然后滚局矩形面积的计算方法即可算出答案。
四、综合题
13．（2019九上·昌平期中）如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
【答案】（1）解：因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；
（2）解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；
（3）解：设球在地面上阴影的半径为x米，
则 = ，
解得：x2= ，
则S阴影= π=0.36π平方米．
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；（2）根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；（3）先根据相似求出阴影的半径，再求面积．
14．（2019·莲湖模拟）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB.
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
【答案】（1）解：如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即 ，
∴AP= AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴ ，即 = ，
∴BQ= AB，
而AP+PQ+BQ=AB，
∴ AB+12+ AB=AB，
∴AB=18.
答：两路灯的距离为18m；
（2）解：如图2，
他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴ ，即 = ，解得BN=3.6.
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP= AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ= AB，则 AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得 = ，然后利用比例性质求出BN即可.
15．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直．
（1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形；
（2）计算投影MNPQ的面积．
【答案】（1）正方体在平面H上的正投影图形是矩形
（2）∵正方体边长为acm，∴BD= = （cm），∴投影MNPQ的面积为 = （cm2）．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；简单几何体的三视图；平行投影
【解析】【分析】（1）根据 正方体的摆放角度判断出其六个面在平面H上的正投影图形是矩形 ；
（2）首先利用勾股定理算出BD的长，该长就是矩形MNPQ的长MQ，其投影矩形的宽就是正方体的高，然后滚局矩形的面积计算方法即可算出答案。
1 / 1初中数学人教版九年级下学期 第二十九章 29.1 投影
一、单选题
1．（2019九上·未央期末）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019九上·辽阳期末）在同一天的四个不同时刻，某学校旗杆的影子如图所示，按时间先后顺序排列的是（　　）
A．①②③④ B．②③④① C．③④①② D．④③①②
3．（2019·广州模拟）小明的身高为1.8米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（　　）
A．3.2米 B．4.8米 C．5.4米 D．5.6米
4．（2019·武汉模拟）如图，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（　　）
A． B． C． D．
5．下列图形是平行投影的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2019九上·昌平期中）甲、乙两人在太阳光下行走，同一时刻他们的身高与其影长之比的关系是　 　
7．（2019九上·辽阳期末）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为　 　.
8．（2019九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），则点A′的坐标为　 　．
9．（2019·北京模拟）一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24 cm，则A1B1长为　 　 cm.
10．（2018九上·和平期末）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图所示).现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是　 　.
11．（2018·百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是　 　（用“=、＞或＜”连起来）
三、解答题
12．已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
四、综合题
13．（2019九上·昌平期中）如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
14．（2019·莲湖模拟）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB.
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
15．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直．
（1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形；
（2）计算投影MNPQ的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：矩形木框再阳光的照射下形成的投影是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合
故A不可能，不会是梯形
故答案为：C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析即可。
2．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：西为②，西北为③，东北为④，东为①，
∴将它们按时间先后顺序排列为②③④①.
故答案为：B.
【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长.
3．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为， ＝ ，
解得，x＝5.4．
故答案为：C．
【分析】由在太阳光下，同一时刻物体的高度与它的影长成比例列式即可。
4．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】根据题意：水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图应是D．
故答案为：D．
【分析】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
5．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解，通过作图可知A、C、D中影子的顶端和木杆的顶端连线不平行，只有选项B中影子的顶端和木杆的顶端连线平行．
故答案为：B．
【分析】连接影子的顶端和木杆的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影，根据定义即可一一判断。
6．【答案】相等
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；故同一时刻他们的身高与其影长成比例，即同一时刻他们的身高与影长的比相等．
故答案为：相等．
【分析】根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，即可得出答案．
7．【答案】12m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由图可知：
设旗杆的高度为x米，
解得x=12
【分析】根据题意，小东移动竹竿，旗杆、竹竿和影子及经过旗杆和竹竿顶端的光线构成两个直角三角形，且两三角形相似
8．【答案】（5，6）
【知识点】点的坐标；中心投影
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），
∴位似比为1：2，故点A′的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【分析】本道题考察的是位似图形的位似比。因为三角形A'B'C'是由三角形ABC以点O为位似中心放大的图，且位似比是1：2，根据点A的坐标进行扩大处理就可以了。
9．【答案】8
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，BC=12cm，AC=8cm，
∴AB=4 cm，
∵△A1B1C1是△ABC的中心投影，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∴A1B1：AB=B1C1：BC=2：1，即A1B1=8 cm．
故答案为：8
【分析】根据勾股定理即可求得AB的长度。由题意得△A1B1C1是△ABC的中心投影，所以得△ABC∽△A1B1C1。根据相似三角形的性质，对应边成比例即可求出A1B1的长度。
10．【答案】2∶5
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴AB：A′B′=OA：OA′=20：50=2：5，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=AB：A′B′=2：5.
故答案为：2:5.
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
11．【答案】S1=S＜S2
【知识点】平行投影
【解析】【解答】∵立体图形是长方体，∴底面ABCD∥底面EFGH．
∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD，∴S1=S．
∵EM＞EF，EH=EH，∴S＜S2，∴S1=S＜S2．
故答案为：S1=S＜S2．
【分析】根据长方体的性质：底面ABCD∥底面EFGH，故它们两的平行投影是重合的，即S1=S，虽然 EMNH的投影都是矩形ABCD ，但不是平行投影故该投影的面积应该小于实际矩形的面积，即S＜S2，从而得出答案S1=S＜S2．
12．【答案】解：如图所示，过A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝AB·cos45°＝10× =5 (厘米)，
∴A1B1＝AH＝5 (厘米)，
∵A1D1＝AD＝10(厘米)，
∴SA1B1C1D1=（平方厘米）
【知识点】锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【分析】 如图所示，过A作AH⊥BB1于H， 首先很容易得出 △ABH是等腰直角三角形， 根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 AH＝AB·cos45°即可算出AH的长，根据矩形的性质得出 A1B1＝AH ，根据平行投影的性质得出 A1D1＝AD ，然后滚局矩形面积的计算方法即可算出答案。
13．【答案】（1）解：因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；
（2）解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；
（3）解：设球在地面上阴影的半径为x米，
则 = ，
解得：x2= ，
则S阴影= π=0.36π平方米．
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；（2）根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；（3）先根据相似求出阴影的半径，再求面积．
14．【答案】（1）解：如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即 ，
∴AP= AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴ ，即 = ，
∴BQ= AB，
而AP+PQ+BQ=AB，
∴ AB+12+ AB=AB，
∴AB=18.
答：两路灯的距离为18m；
（2）解：如图2，
他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴ ，即 = ，解得BN=3.6.
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP= AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ= AB，则 AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得 = ，然后利用比例性质求出BN即可.
15．【答案】（1）正方体在平面H上的正投影图形是矩形
（2）∵正方体边长为acm，∴BD= = （cm），∴投影MNPQ的面积为 = （cm2）．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；简单几何体的三视图；平行投影
【解析】【分析】（1）根据 正方体的摆放角度判断出其六个面在平面H上的正投影图形是矩形 ；
（2）首先利用勾股定理算出BD的长，该长就是矩形MNPQ的长MQ，其投影矩形的宽就是正方体的高，然后滚局矩形的面积计算方法即可算出答案。
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