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初中数学浙教版八年级上册第一章 三角形的初步知识 单元检测（提高篇）
一、单选题
1．（2019八上·瑞安期中）下列命题为假命题的是（　　）.
A．三条边分别对应相等的两个三角形全等
B．三角形的一个外角大于与它相邻的内角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点
2．（2019八上·杭州期中）能说明命题“对于任何实数a，|a|>-a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A．a=-2 B．a= C．a=1 D．a=
3．（2018八上·芜湖期末）如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2020·绍兴模拟）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（　　）
A．7 B．8 C．14 D．15
5．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019八上·天台期中）如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点 G作EF ∥ BC交AB于E，交AC 于F，过点G作 GD⊥AC 于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A ；③点G到 △ABC 各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则 =mn. 其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2019八上·秀洲月考）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC=110°，AB=6，AC=5，MN=2，结论①AP=MP；②BC=9；③∠MAN=35°；④AM=AN.其中不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2019八上·霸州期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，以此类推，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D，则∠BDC的度数是　 　．
10．（2020·石城模拟）△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时(0°<α<180°)，得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为　 　。
11．（2019八上·秀洲月考）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则 ︰ ︰ 等于　 　
12．（2019八上·遵义期末）如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是　 　；
三、综合题
13．（2019七下·普陀期中）按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D　 　，那么点B到直线AC的距离是线段　 　的长.
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM　 　.那么线段CM是△ABC的　 　 .（保留作图痕迹）
14．如图，是一个4×4的方格，
（1）求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．
（2）求∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16．
15．（2020七下·无锡期中）生活常识：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2.
（1）现象解释：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.已知：∠1=55°，求∠4的度数.
（2）尝试探究：如图3，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，若∠MON=46°，求∠CEB的度数.
（3）深入思考：如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，α与β之间满足的等量关系是　 　.（直接写出结果）
16．（2019八上·湖州期中）
（1）如图①，AD是△ABC的中线.△ABD与△ACD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）若三角形的面积记为S，例如：△ABC的面积记为S△ABC.如图②，已知S△ABC＝1.△ABC的中线AD、CE相交于点O，求四边形BDOE的面积.
小华利用(1)的结论，解决了上述问题，解法如下：
连接BO，设S△BEO＝x，S△BDO＝y，由(1)结论可得：S△BCE＝S△BAD＝ S△ABC＝ ，S△BCO＝2S△BDO＝2y，S△BAO＝2S△BEO＝2x.则有 即 所以x＋y＝ .即四边形BDOE面积为 .
请仿照上面的方法，解决下列问题：
Ⅰ.如图③，已知S△ABC＝1.D、E是BC边上的三等分点，F、G是AB边上的三等分点，AD、CF交于点O，求四边形BDOF的面积.　 　
Ⅱ.如图④，已知S△ABC＝1.D、E、F是BC边上的四等分点，G、H、I是AB边上的四等分点，AD、CG交于点O，则四边形BDOG的面积为　 　.
17．（2020七下·无锡月考）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
（1）尝试探究：如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
（2）初步应用：如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2－∠C＝　 　.
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　.
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系.
18．（2018八上·武汉月考）如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
19．（2020八上·河池期末）如图(1) ， ，BD⊥AB， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动，它们运动的时间为 .
（1）若点 的速度与点 的速度相等，当 时，求证： ；
（2）在(1)的条件下，判断此时 和 的位置关系，并证明；
（3）将图(1)中的“ ， ”，改为“ ”，得到图(2)，其他条件不变.设点 的运动速度为 ，请问是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的 和 的值；若不存在，请说明理由.
20．（2019八上·慈溪月考）为培育学生“敢进取”精神，特设计此题：
如图1，在 中， ，AC=BC， ， ，垂足分别为D，E.
（1）若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长.
（2）如图2，在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到 ABC的外部，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论：　 　.（不需证明）
（3）如图3，若将原题中的条件改为：“在 ABC中，AC=BC，D,C,E三点在同一条直线上，并且有 ，其中 为任意钝角”，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】根据“边边边”可判定三角形全等，故A为真命题；
三角形的一个外角与它相邻的内角是互补关系，无法判断大小关系，故B为假命题；
角平分线上的点到角两边的距离相等，是角平分线的性质，故C为真命题；
等边三角形是特殊的等腰三角形，根据三线合一可知三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点，故D为真命题
故选B.
【分析】A. 可根据全等三角形的判定进行判断；
B. 根据三角形外角和相邻内角的关系可作判断；
C．根据角平分线的性质判断；
D．等边三角形是特殊的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可判断.
2．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、∵=2=-(-2)，∴|a|>-a，错误，符合题意；
B、=>-， 正确，不符合题意；
C、=1>-1， 正确，不符合题意；
D、=-，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】当a>0时，|a|>-a，当a≤0时，|a|=-a，据此逐项分析即可判断.
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长
∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O
∴ ，
∵OD=DG
∴
∴
∴
∴
∵第三条中线的长也是整数
∴第三条中线长的最大值为14
故答案为：C．
【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为；
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，
∴x+y+z=
∵y+z＞x
∴可得，
所以，
故选Ａ．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论。
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选D．
【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ① ∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵∠EBG=CBG，∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG，同理FC=FG，EF=EG+FG=BE+CF，正确；
②∵BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBG=∠ABC，∠BCG=∠ACB，∠BGC=180°-∠CBG-∠BCG=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+ ∠A ，正确；
③如图，过G作GN⊥AB，GM⊥BC，
∵BG是∠ABC的平分线，∴GN=GM，∵CG是∠ACB的平分线，∴GM=GD，∴GM=GN=GD，即
点G到 △ABC 各边的距离相等，正确；
④如图，连接AG，
S△AEF=S△AEG+S△AFG=AE×GN+AF×GD=（AE+AF）×GD=mn，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
【分析】利用角的平分线和过平分线的一点作角的一边的平行线可得等腰三角形，推出EF等于BE和CF之和；根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理把∠BGC用∠ABC和∠ACB表示，从而可把∠BGC用含∠A的关系式表示；因为G是三角形两角平分线的交点，根据角平分线性质定理可得点G到三角形的三边距离相等；用分割法求三角形面积，可得△AEF的面积是mn.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： CE是∠ACB的平分线且AM⊥CE
∴∠ACP=∠MCP，∠APC=∠MPC=90°，
在 MCP和 APC中
∴ MCP APC
同理可证 ABQ BNQ
∴MP=AP（故①正确），MC=AC，BN=AB
∴BC=BN+CN-MN=AB+AC-MN=6+5-2=9（故②正确）
根据题意有
=
=75°
∴ ,故③正确
根据上述可知 ∴AM≠AN，故④错误
故答案为：D.
【分析】很容易利用ASA判断出 MCP APC，同理可证 ABQ BNQ，根据全等三角形的性质得出MP=AP（故①正确），MC=AC，BN=AB，进而根据线段的和差及等量代换得出BC=BN+CN-MN=AB+AC-MN=6+5-2=9；根据三角形的外角定理得出，进而根据角的和差及三角形的内角和定理得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，进而根据等式的性质、角平分线的定义及三角形的外角定理得出∠BAM+∠NAC=75°，最后根据角的和差即可得出；根据题中条件找不出 AM=AN ，综上所述就可得出答案.
9．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1＝ ∠ABC，∠ACD1＝ ∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2＝ ∠ABD1＝ ∠ABC，∠ACD2＝ ∠ACD1＝ ∠ACB，
同理可得∠ABD＝ ∠ABC，∠ACD＝ ∠ACB，
∴∠ABD+∠ACD＝160°× ＝20°，
∴∠BCD+∠CBD＝140°
∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝40°
故答案为40°．
【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（ ）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
10．【答案】40°或70°或100°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在直角三角形ACB中，∵∠ACB=90°，AO=OB
∴OC=OA=OB
∴∠OAC=∠ACO=20°，∠COB=40°，∠AOC=140°
∴①当AC=AP时，，由OA=OA，AC=AP，OC=OP
∴△AOC≌△AOP，∠AOC=∠AOP=140°，∠α=∠POB=40°
②当PC=PA时，由①，同理可以证明△OPA≌△OPC
∴∠POA=∠POC=（360°-∠AOC）=110°
∴∠α=∠POB=∠POC-∠COB=70°
③当CA=CP时，同理可知，△COA≌△COB
∴∠COP=∠AOC=140°
∴∠α=∠POB=∠POC-∠COB=100°
【分析】分三种情形讨论，当AC=AP时，当PC=PA时，当CA=CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可得到答案。
11．【答案】6：8：3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G，
∵ 点P是三条角平分线的交点，
∴PE=PG=PF；
∴S△APB：S△BPC：S△CPA=AB：BC：AC=30：40：15=6：8：3.
故答案为：6：8：3.
【分析】根据点P是三条角平分线的交点，添加辅助线过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PE=PF=PG，再利用三角形的面积公式可证得S△APB：S△BPC：S△CPA=AB：BC：AC，然后代入化简可得结果。
12．【答案】11
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
13．【答案】（1）；BD
（2）；边AB的中线
【知识点】垂线；三角形的角平分线、中线和高；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线，
线段CM是△ABC的边AB的中线，
故答案为：边AB的中线．
【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答．
14．【答案】（1）解：观察图形可知：∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×6+45°×4=720°．
（2）解：∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16
=（∠1+∠3+…+∠15）﹣（∠2+∠4+…+∠16）
=（∠1+∠7）+（∠3+∠5）+（∠9+∠11）+（∠13+∠15）﹣（∠2+∠6）﹣（∠8+∠12）﹣∠4﹣∠10﹣∠14﹣∠16
=90°×4﹣90°×2﹣45°×4
=0．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由网格图的特征用边角边可得
∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，则∠1与∠7的余角相等，即∠1+∠7=90°、 同理可得其余的角两两互余，所以
∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和 =8X
90° 即可求解。
15．【答案】（1）解：如图2，∵∠1=∠2，∠1=55°
∴∠2=55°
∵OM⊥ON
∴∠3=90°－∠2=90°－55°=35°
∵∠4=∠3
∴∠4=35°
（2）解：如图3，∵∠MON=46°
∴∠2+∠3=180°－∠MON=180°－46°=134°
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠ECB+∠EBC=360°－2（∠2+∠3）=360°－134°×2=92°
∴∠BEC=180°－∠ECB－∠EBC=180°－92°=88°
（3）β＝2α
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3）如图4，β＝2α，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180° 2∠2，∠BCD＝180° 2∠3，
∴∠BED＝∠ABC ∠BCD＝（180° 2∠2） （180° 2∠3）＝2（∠3 ∠2）＝β，
∵∠BOC＝∠3 ∠2＝α，
∴β＝2α.
【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2＋∠3＝90°，即可求解；（2）根据三角形内角和定理求得∠2＋∠3＝134°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用平角的定义得出∠1＋∠2＋∠EBC＋∠3＋∠4＋∠BCE＝360°，即可得出∠EBC＋BCE＝360° （2×134°）＝92°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC＝180° 92°＝88°；（3）利用平角的定义得出∠ABC＝180° 2∠2，∠BCD＝180° 2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC ∠BCD＝（180° 2∠2） （180° 2∠3）＝2（∠3 ∠2）＝β，而∠BOC＝∠3 ∠2＝α，即可证得β＝2α.
16．【答案】（1）解：S△ABD=S△ACD.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
又∵△ABD与△ACD高相等，
∴S△ABD=S△ACD
（2）解：①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y， S△BCF=S△ABD= S△ABC= S△BCO=3S△BDO=3y， S△BAO=3S△BFO=3x. 则有： ，即 所以x+y= ，即四边形BDOF的面积为 ；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）Ⅱ.如图，连接BO，设S△BDO=x，S△BGO=y，
S△BCG=S△ABD= S△ABC= ，
S△BCO=4S△BDO=4x，
S△BAO=4S△BGO=4y.
则有： ，即
所以x+y= ，即四边形BDOG的面积为 ，
【分析】（1） S△ABD=S△ACD ，理由如下：根据三角形中线的定义得出BD=CD，从而根据等底同高的三角形的面积相等得出 S△ABD=S△ACD ；
（2） 连接BO，设S△BEO＝x，S△BDO＝y， 由(1)结论可得：S△BCE＝S△BAD＝ S△ABC＝ ，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；
（3） ①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y， 则S△BCF=S△ABD= S△ABC= S△BCO=3S△BDO=3y，S△BAO=3S△BFO=3x，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；②如图4，连接BO，设S△BDO=x，S△BGO=y，故S△BCG=S△ABD= S△ABC= ，即S△BCO=4S△BDO=4x，S△BAO=4S△BGO=4y，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可.
17．【答案】（1）=
（2）45°
（3）∠P=90°－ ∠A
（4）解：根据四边形的内角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D
∵∠EBC=180°－∠ABC，∠FCB=180°－∠DCB
∴∠EBC＋∠FCB
=180°－∠ABC＋180°－∠DCB
=360°－（∠ABC＋∠DCB）
=360°－（360°－∠A－∠D）
=∠A＋∠D
∵BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，
∴∠CBP= ∠EBC，∠BCP= ∠FCB
∴∠CBP＋∠BCP
= ∠EBC＋ ∠FCB
= （∠EBC＋∠FCB）
= （∠A＋∠D）
∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°
∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）
=180°－ （∠A＋∠D）
=180°－ ∠A－ ∠D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角
∴∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC
∴∠DBC+∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC=∠A＋（∠ACB＋∠A＋∠ABC）=∠A+180°
故答案为：=；
（ 2 ）由（1）的结论可知：∠1＋∠2=∠C＋180°
∵∠1＝135°
∴∠2－∠C＝180°－∠1=45°
故答案为：45°
（ 3 ）由（1）的结论可知：∠DBC+∠ECB=∠A+180°
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠CBP= ∠DBC，∠BCP= ∠ECB
∴∠CBP＋∠BCP
= ∠DBC＋ ∠ECB
= （∠DBC＋∠ECB）
= （∠A+180°）
= ∠A＋90°
∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°
∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）
=180°－（ ∠A＋90°）
=90°－ ∠A
故答案为：∠P=90°－ ∠A
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC，然后求和并根据三角形的内角和定理即可得出结论；（2）根据（1）的结论即可求出∠2－∠C；（3）根据（1）的结论可得∠DBC+∠ECB=∠A+180°，然后根据角平分线的定义计算出∠CBP＋∠BCP，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；（4）根据四边形的内角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D，然后根据平角的定义可推出∠EBC＋∠FCB=∠A＋∠D，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得出结论.
18．【答案】（1）解：如图所示，△OBQ≌△OCQ；
如图1，∵∠ACB=90°，∠B=60°.
∴∠BAC=30°.
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC= ∠BAC=15°，∠ECA= ∠ACB=45°.
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.
（2）解：FE=FD.
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中
∵
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°.
∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC.
在△FDC和△FGC中
∵
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG.
∴FE=FD
（3）解：如图，
（ 2 ）中的结论FE=FD仍然成立.
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.
又由（1）知∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= =60°.
∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°.
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH.
∴FE=FD
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图在图1中作出图形即可；利用三角形内角和定理，在△ABC中，可求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义，可求出∠DAC和∠ECA的度数，然后利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求解。
（2）在AC上截取AG=AE，连接FG，利用已知条件易证△EAF≌△GAF，利用全等三角形的性质，可证得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，再证明∠DFC=∠GFC，利用ASA证明△FDC≌△FGC，利用全等三角形的对应边相等，可知FD=FG，然后通过等量代换可证得结论。
（3）利用（2）中的两三角形全等，可推出FE=FH，∠EFA=∠HFA，再求出∠AFC的度数及∠EFA，∠HFA的度数，利用全等三角形的性质，易证FD=FH，从而可推出FE=FD。
19．【答案】（1）解： 与 全等，
理由如下：当 时， ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
∴ ；
（2）解： ，
证明：∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
即 ；
（3）解： ， ，
①若
则 ， ，
∴ ，
解得： ，则 ；
②若 ，
则 ， ，
则 ，解得， ，
∴ ，解得， ，
故当 ， 或 ， 时， 与 全等.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)当t=1时求得 ，再利用SAS即可证明 ；(2)根据 ，推出 ，即可证明 ；(3)分 及 两种情况判断即可.
20．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
，
∵DC=CE-DE，DE=1.7cm，
∴BE=0.8cm
（2）AD+BE=DE，（不需证明）
（3）（2）中的猜想还成立，
证明：∵ ， ， ，
∴
在 和 中，
，
，
∴ ， ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE
【分析】（1）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，从而可求出DC的长，即可得到BE的长。
（2）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE＝CE＋DE，即可证得结论。
（3）利用同样的方法，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE=EC+CD，即可得到DE，AD，BE之间的数量关系。
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初中数学浙教版八年级上册第一章 三角形的初步知识 单元检测（提高篇）
一、单选题
1．下列命题为假命题的是（　　）.
A．三条边分别对应相等的两个三角形全等
B．三角形的一个外角大于与它相邻的内角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点
2．（2019八上·杭州期中）能说明命题“对于任何实数a，|a|>-a”是假命题的一个反例可以是(　　)
A．a=-2 B．a= C．a=1 D．a=
3．（2018八上·芜湖期末）如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2020·绍兴模拟）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（　　）
A．7 B．8 C．14 D．15
5．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2019八上·天台期中）如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点 G作EF ∥ BC交AB于E，交AC 于F，过点G作 GD⊥AC 于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A ；③点G到 △ABC 各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则 =mn. 其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2019八上·秀洲月考）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC=110°，AB=6，AC=5，MN=2，结论①AP=MP；②BC=9；③∠MAN=35°；④AM=AN.其中不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，以此类推，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D，则∠BDC的度数是　 　．
10．（2020·石城模拟）△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时(0°<α<180°)，得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为　 　。
11．（2019八上·秀洲月考）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则 ︰ ︰ 等于　 　
12．（2019八上·遵义期末）如图，在∠AOB 的边
OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点，
若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是　 　；
三、综合题
13．（2019七下·普陀期中）按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D　 　，那么点B到直线AC的距离是线段　 　的长.
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM　 　.那么线段CM是△ABC的　 　 .（保留作图痕迹）
14．如图，是一个4×4的方格，
（1）求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．
（2）求∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16．
15．（2020七下·无锡期中）生活常识：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2.
（1）现象解释：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.已知：∠1=55°，求∠4的度数.
（2）尝试探究：如图3，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，若∠MON=46°，求∠CEB的度数.
（3）深入思考：如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，α与β之间满足的等量关系是　 　.（直接写出结果）
16．（2019八上·湖州期中）
（1）如图①，AD是△ABC的中线.△ABD与△ACD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）若三角形的面积记为S，例如：△ABC的面积记为S△ABC.如图②，已知S△ABC＝1.△ABC的中线AD、CE相交于点O，求四边形BDOE的面积.
小华利用(1)的结论，解决了上述问题，解法如下：
连接BO，设S△BEO＝x，S△BDO＝y，由(1)结论可得：S△BCE＝S△BAD＝ S△ABC＝ ，S△BCO＝2S△BDO＝2y，S△BAO＝2S△BEO＝2x.则有 即 所以x＋y＝ .即四边形BDOE面积为 .
请仿照上面的方法，解决下列问题：
Ⅰ.如图③，已知S△ABC＝1.D、E是BC边上的三等分点，F、G是AB边上的三等分点，AD、CF交于点O，求四边形BDOF的面积.　 　
Ⅱ.如图④，已知S△ABC＝1.D、E、F是BC边上的四等分点，G、H、I是AB边上的四等分点，AD、CG交于点O，则四边形BDOG的面积为　 　.
17．（2020七下·无锡月考）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
（1）尝试探究：如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
（2）初步应用：如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2－∠C＝　 　.
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　.
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系.
18．（2018八上·武汉月考）如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
19．（2020八上·河池期末）如图(1) ， ，BD⊥AB， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动，它们运动的时间为 .
（1）若点 的速度与点 的速度相等，当 时，求证： ；
（2）在(1)的条件下，判断此时 和 的位置关系，并证明；
（3）将图(1)中的“ ， ”，改为“ ”，得到图(2)，其他条件不变.设点 的运动速度为 ，请问是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的 和 的值；若不存在，请说明理由.
20．（2019八上·慈溪月考）为培育学生“敢进取”精神，特设计此题：
如图1，在 中， ，AC=BC， ， ，垂足分别为D，E.
（1）若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长.
（2）如图2，在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到 ABC的外部，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论：　 　.（不需证明）
（3）如图3，若将原题中的条件改为：“在 ABC中，AC=BC，D,C,E三点在同一条直线上，并且有 ，其中 为任意钝角”，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】真命题与假命题
【解析】【解答】根据“边边边”可判定三角形全等，故A为真命题；
三角形的一个外角与它相邻的内角是互补关系，无法判断大小关系，故B为假命题；
角平分线上的点到角两边的距离相等，是角平分线的性质，故C为真命题；
等边三角形是特殊的等腰三角形，根据三线合一可知三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点，故D为真命题
故选B.
【分析】A. 可根据全等三角形的判定进行判断；
B. 根据三角形外角和相邻内角的关系可作判断；
C．根据角平分线的性质判断；
D．等边三角形是特殊的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可判断.
2．【答案】A
【考点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、∵=2=-(-2)，∴|a|>-a，错误，符合题意；
B、=>-, 正确，不符合题意；
C、=1>-1, 正确，不符合题意；
D、=-，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】当a>0时，|a|>-a，当a≤0时，|a|=-a，据此逐项分析即可判断.
3．【答案】D
【考点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
4．【答案】C
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长
∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O
∴ ，
∵OD=DG
∴
∴
∴
∴
∵第三条中线的长也是整数
∴第三条中线长的最大值为14
故答案为：C．
【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．
5．【答案】A
【考点】三角形三边关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为；
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，
∴x+y+z=
∵y+z＞x
∴可得，
所以，
故选Ａ．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论。
6．【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选D．
【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
7．【答案】C
【考点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ① ∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵∠EBG=CBG，∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG，同理FC=FG，EF=EG+FG=BE+CF，正确；
②∵BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBG=∠ABC，∠BCG=∠ACB，∠BGC=180°-∠CBG-∠BCG=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+ ∠A ，正确；
③如图，过G作GN⊥AB，GM⊥BC，
∵BG是∠ABC的平分线，∴GN=GM，∵CG是∠ACB的平分线，∴GM=GD，∴GM=GN=GD，即
点G到 △ABC 各边的距离相等，正确；
④如图，连接AG，
S△AEF=S△AEG+S△AFG=AE×GN+AF×GD=（AE+AF）×GD=mn，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
【分析】利用角的平分线和过平分线的一点作角的一边的平行线可得等腰三角形，推出EF等于BE和CF之和；根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理把∠BGC用∠ABC和∠ACB表示，从而可把∠BGC用含∠A的关系式表示；因为G是三角形两角平分线的交点，根据角平分线性质定理可得点G到三角形的三边距离相等；用分割法求三角形面积，可得△AEF的面积是mn.
8．【答案】D
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： CE是∠ACB的平分线且AM⊥CE
∴∠ACP=∠MCP，∠APC=∠MPC=90°，
在 MCP和 APC中
∴ MCP APC
同理可证 ABQ BNQ
∴MP=AP（故①正确），MC=AC，BN=AB
∴BC=BN+CN-MN=AB+AC-MN=6+5-2=9（故②正确）
根据题意有
=
=75°
∴ ,故③正确
根据上述可知 ∴AM≠AN，故④错误
故答案为：D.
【分析】很容易利用ASA判断出 MCP APC，同理可证 ABQ BNQ，根据全等三角形的性质得出MP=AP（故①正确），MC=AC，BN=AB，进而根据线段的和差及等量代换得出BC=BN+CN-MN=AB+AC-MN=6+5-2=9；根据三角形的外角定理得出，进而根据角的和差及三角形的内角和定理得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，进而根据等式的性质、角平分线的定义及三角形的外角定理得出∠BAM+∠NAC=75°，最后根据角的和差即可得出；根据题中条件找不出 AM=AN ，综上所述就可得出答案.
9．【答案】40°
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1＝ ∠ABC，∠ACD1＝ ∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2＝ ∠ABD1＝ ∠ABC，∠ACD2＝ ∠ACD1＝ ∠ACB，
同理可得∠ABD＝ ∠ABC，∠ACD＝ ∠ACB，
∴∠ABD+∠ACD＝160°× ＝20°，
∴∠BCD+∠CBD＝140°
∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝40°
故答案为40°．
【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（ ）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
10．【答案】40°或70°或100°
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在直角三角形ACB中，∵∠ACB=90°，AO=OB
∴OC=OA=OB
∴∠OAC=∠ACO=20°，∠COB=40°，∠AOC=140°
∴①当AC=AP时，，由OA=OA，AC=AP，OC=OP
∴△AOC≌△AOP，∠AOC=∠AOP=140°，∠α=∠POB=40°
②当PC=PA时，由①，同理可以证明△OPA≌△OPC
∴∠POA=∠POC=（360°-∠AOC）=110°
∴∠α=∠POB=∠POC-∠COB=70°
③当CA=CP时，同理可知，△COA≌△COB
∴∠COP=∠AOC=140°
∴∠α=∠POB=∠POC-∠COB=100°
【分析】分三种情形讨论，当AC=AP时，当PC=PA时，当CA=CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可得到答案。
11．【答案】6：8：3
【考点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G，
∵ 点P是三条角平分线的交点，
∴PE=PG=PF；
∴S△APB：S△BPC：S△CPA=AB：BC：AC=30：40：15=6：8：3.
故答案为：6：8：3.
【分析】根据点P是三条角平分线的交点，添加辅助线过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PE=PF=PG，再利用三角形的面积公式可证得S△APB：S△BPC：S△CPA=AB：BC：AC，然后代入化简可得结果。
12．【答案】11
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
13．【答案】（1）；BD
（2）；边AB的中线
【考点】垂线；三角形的角平分线、中线和高；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线，
线段CM是△ABC的边AB的中线，
故答案为：边AB的中线．
【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答．
14．【答案】（1）解：观察图形可知：∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×6+45°×4=720°．
（2）解：∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16
=（∠1+∠3+…+∠15）﹣（∠2+∠4+…+∠16）
=（∠1+∠7）+（∠3+∠5）+（∠9+∠11）+（∠13+∠15）﹣（∠2+∠6）﹣（∠8+∠12）﹣∠4﹣∠10﹣∠14﹣∠16
=90°×4﹣90°×2﹣45°×4
=0．
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由网格图的特征用边角边可得
∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，则∠1与∠7的余角相等，即∠1+∠7=90°、 同理可得其余的角两两互余，所以
∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和 =8X
90° 即可求解。
15．【答案】（1）解：如图2，∵∠1=∠2，∠1=55°
∴∠2=55°
∵OM⊥ON
∴∠3=90°－∠2=90°－55°=35°
∵∠4=∠3
∴∠4=35°
（2）解：如图3，∵∠MON=46°
∴∠2+∠3=180°－∠MON=180°－46°=134°
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠ECB+∠EBC=360°－2（∠2+∠3）=360°－134°×2=92°
∴∠BEC=180°－∠ECB－∠EBC=180°－92°=88°
（3）β＝2α
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3）如图4，β＝2α，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180° 2∠2，∠BCD＝180° 2∠3，
∴∠BED＝∠ABC ∠BCD＝（180° 2∠2） （180° 2∠3）＝2（∠3 ∠2）＝β，
∵∠BOC＝∠3 ∠2＝α，
∴β＝2α.
【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2＋∠3＝90°，即可求解；（2）根据三角形内角和定理求得∠2＋∠3＝134°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用平角的定义得出∠1＋∠2＋∠EBC＋∠3＋∠4＋∠BCE＝360°，即可得出∠EBC＋BCE＝360° （2×134°）＝92°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC＝180° 92°＝88°；（3）利用平角的定义得出∠ABC＝180° 2∠2，∠BCD＝180° 2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC ∠BCD＝（180° 2∠2） （180° 2∠3）＝2（∠3 ∠2）＝β，而∠BOC＝∠3 ∠2＝α，即可证得β＝2α.
16．【答案】（1）解：S△ABD=S△ACD.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
又∵△ABD与△ACD高相等，
∴S△ABD=S△ACD
（2）解：①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y， S△BCF=S△ABD= S△ABC= S△BCO=3S△BDO=3y， S△BAO=3S△BFO=3x. 则有： ，即 所以x+y= ，即四边形BDOF的面积为 ；
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）Ⅱ.如图，连接BO，设S△BDO=x，S△BGO=y，
S△BCG=S△ABD= S△ABC= ，
S△BCO=4S△BDO=4x，
S△BAO=4S△BGO=4y.
则有： ，即
所以x+y= ，即四边形BDOG的面积为 ，
【分析】（1） S△ABD=S△ACD ，理由如下：根据三角形中线的定义得出BD=CD，从而根据等底同高的三角形的面积相等得出 S△ABD=S△ACD ；
（2） 连接BO，设S△BEO＝x，S△BDO＝y， 由(1)结论可得：S△BCE＝S△BAD＝ S△ABC＝ ，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；
（3） ①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y， 则S△BCF=S△ABD= S△ABC= S△BCO=3S△BDO=3y，S△BAO=3S△BFO=3x，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；②如图4，连接BO，设S△BDO=x，S△BGO=y，故S△BCG=S△ABD= S△ABC= ，即S△BCO=4S△BDO=4x，S△BAO=4S△BGO=4y，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可.
17．【答案】（1）=
（2）45°
（3）∠P=90°－ ∠A
（4）解：根据四边形的内角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D
∵∠EBC=180°－∠ABC，∠FCB=180°－∠DCB
∴∠EBC＋∠FCB
=180°－∠ABC＋180°－∠DCB
=360°－（∠ABC＋∠DCB）
=360°－（360°－∠A－∠D）
=∠A＋∠D
∵BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，
∴∠CBP= ∠EBC，∠BCP= ∠FCB
∴∠CBP＋∠BCP
= ∠EBC＋ ∠FCB
= （∠EBC＋∠FCB）
= （∠A＋∠D）
∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°
∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）
=180°－ （∠A＋∠D）
=180°－ ∠A－ ∠D
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角
∴∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC
∴∠DBC+∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC=∠A＋（∠ACB＋∠A＋∠ABC）=∠A+180°
故答案为：=；
（ 2 ）由（1）的结论可知：∠1＋∠2=∠C＋180°
∵∠1＝135°
∴∠2－∠C＝180°－∠1=45°
故答案为：45°
（ 3 ）由（1）的结论可知：∠DBC+∠ECB=∠A+180°
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠CBP= ∠DBC，∠BCP= ∠ECB
∴∠CBP＋∠BCP
= ∠DBC＋ ∠ECB
= （∠DBC＋∠ECB）
= （∠A+180°）
= ∠A＋90°
∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°
∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）
=180°－（ ∠A＋90°）
=90°－ ∠A
故答案为：∠P=90°－ ∠A
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC，然后求和并根据三角形的内角和定理即可得出结论；（2）根据（1）的结论即可求出∠2－∠C；（3）根据（1）的结论可得∠DBC+∠ECB=∠A+180°，然后根据角平分线的定义计算出∠CBP＋∠BCP，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；（4）根据四边形的内角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D，然后根据平角的定义可推出∠EBC＋∠FCB=∠A＋∠D，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得出结论.
18．【答案】（1）解：如图所示，△OBQ≌△OCQ；
如图1，∵∠ACB=90°，∠B=60°.
∴∠BAC=30°.
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC= ∠BAC=15°，∠ECA= ∠ACB=45°.
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.
（2）解：FE=FD.
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中
∵
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°.
∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC.
在△FDC和△FGC中
∵
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG.
∴FE=FD
（3）解：如图，
（ 2 ）中的结论FE=FD仍然成立.
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.
又由（1）知∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= =60°.
∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°.
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH.
∴FE=FD
【考点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图在图1中作出图形即可；利用三角形内角和定理，在△ABC中，可求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义，可求出∠DAC和∠ECA的度数，然后利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求解。
（2）在AC上截取AG=AE，连接FG，利用已知条件易证△EAF≌△GAF，利用全等三角形的性质，可证得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，再证明∠DFC=∠GFC，利用ASA证明△FDC≌△FGC，利用全等三角形的对应边相等，可知FD=FG，然后通过等量代换可证得结论。
（3）利用（2）中的两三角形全等，可推出FE=FH，∠EFA=∠HFA，再求出∠AFC的度数及∠EFA，∠HFA的度数，利用全等三角形的性质，易证FD=FH，从而可推出FE=FD。
19．【答案】（1）解： 与 全等，
理由如下：当 时， ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
∴ ；
（2）解： ，
证明：∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
即 ；
（3）解： ， ，
①若
则 ， ，
∴ ，
解得： ，则 ；
②若 ，
则 ， ，
则 ，解得， ，
∴ ，解得， ，
故当 ， 或 ， 时， 与 全等.
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)当t=1时求得 ，再利用SAS即可证明 ；(2)根据 ，推出 ，即可证明 ；(3)分 及 两种情况判断即可.
20．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
，
∵DC=CE-DE，DE=1.7cm，
∴BE=0.8cm
（2）AD+BE=DE，（不需证明）
（3）（2）中的猜想还成立，
证明：∵ ， ， ，
∴
在 和 中，
，
，
∴ ， ，
∴
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE
【分析】（1）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，从而可求出DC的长，即可得到BE的长。
（2）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE＝CE＋DE，即可证得结论。
（3）利用同样的方法，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE=EC+CD，即可得到DE，AD，BE之间的数量关系。
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一、单选题
1．（2019八上·瑞安期中）下列命题为假命题的是（　　）.
A．三条边分别对应相等的两个三角形全等
B．三角形的一个外角大于与它相邻的内角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】根据“边边边”可判定三角形全等，故A为真命题；
三角形的一个外角与它相邻的内角是互补关系，无法判断大小关系，故B为假命题；
角平分线上的点到角两边的距离相等，是角平分线的性质，故C为真命题；
等边三角形是特殊的等腰三角形，根据三线合一可知三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点，故D为真命题
故选B.
【分析】A. 可根据全等三角形的判定进行判断；
B. 根据三角形外角和相邻内角的关系可作判断；
C．根据角平分线的性质判断；
D．等边三角形是特殊的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可判断.
2．（2019八上·杭州期中）能说明命题“对于任何实数a，|a|>-a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A．a=-2 B．a= C．a=1 D．a=
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、∵=2=-(-2)，∴|a|>-a，错误，符合题意；
B、=>-， 正确，不符合题意；
C、=1>-1， 正确，不符合题意；
D、=-，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】当a>0时，|a|>-a，当a≤0时，|a|=-a，据此逐项分析即可判断.
3．（2018八上·芜湖期末）如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
4．（2020·绍兴模拟）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（　　）
A．7 B．8 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长
∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O
∴ ，
∵OD=DG
∴
∴
∴
∴
∵第三条中线的长也是整数
∴第三条中线长的最大值为14
故答案为：C．
【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．
5．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为；
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，
∴x+y+z=
∵y+z＞x
∴可得，
所以，
故选Ａ．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论。
6．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选D．
【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
7．（2019八上·天台期中）如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点 G作EF ∥ BC交AB于E，交AC 于F，过点G作 GD⊥AC 于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A ；③点G到 △ABC 各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则 =mn. 其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ① ∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵∠EBG=CBG，∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG，同理FC=FG，EF=EG+FG=BE+CF，正确；
②∵BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBG=∠ABC，∠BCG=∠ACB，∠BGC=180°-∠CBG-∠BCG=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+ ∠A ，正确；
③如图，过G作GN⊥AB，GM⊥BC，
∵BG是∠ABC的平分线，∴GN=GM，∵CG是∠ACB的平分线，∴GM=GD，∴GM=GN=GD，即
点G到 △ABC 各边的距离相等，正确；
④如图，连接AG，
S△AEF=S△AEG+S△AFG=AE×GN+AF×GD=（AE+AF）×GD=mn，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
【分析】利用角的平分线和过平分线的一点作角的一边的平行线可得等腰三角形，推出EF等于BE和CF之和；根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理把∠BGC用∠ABC和∠ACB表示，从而可把∠BGC用含∠A的关系式表示；因为G是三角形两角平分线的交点，根据角平分线性质定理可得点G到三角形的三边距离相等；用分割法求三角形面积，可得△AEF的面积是mn.
8．（2019八上·秀洲月考）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC=110°，AB=6，AC=5，MN=2，结论①AP=MP；②BC=9；③∠MAN=35°；④AM=AN.其中不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： CE是∠ACB的平分线且AM⊥CE
∴∠ACP=∠MCP，∠APC=∠MPC=90°，
在 MCP和 APC中
∴ MCP APC
同理可证 ABQ BNQ
∴MP=AP（故①正确），MC=AC，BN=AB
∴BC=BN+CN-MN=AB+AC-MN=6+5-2=9（故②正确）
根据题意有
=
=75°
∴ ,故③正确
根据上述可知 ∴AM≠AN，故④错误
故答案为：D.
【分析】很容易利用ASA判断出 MCP APC，同理可证 ABQ BNQ，根据全等三角形的性质得出MP=AP（故①正确），MC=AC，BN=AB，进而根据线段的和差及等量代换得出BC=BN+CN-MN=AB+AC-MN=6+5-2=9；根据三角形的外角定理得出，进而根据角的和差及三角形的内角和定理得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，进而根据等式的性质、角平分线的定义及三角形的外角定理得出∠BAM+∠NAC=75°，最后根据角的和差即可得出；根据题中条件找不出 AM=AN ，综上所述就可得出答案.
二、填空题
9．（2019八上·霸州期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，以此类推，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D，则∠BDC的度数是　 　．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1＝ ∠ABC，∠ACD1＝ ∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2＝ ∠ABD1＝ ∠ABC，∠ACD2＝ ∠ACD1＝ ∠ACB，
同理可得∠ABD＝ ∠ABC，∠ACD＝ ∠ACB，
∴∠ABD+∠ACD＝160°× ＝20°，
∴∠BCD+∠CBD＝140°
∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝40°
故答案为40°．
【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（ ）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
10．（2020·石城模拟）△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时(0°<α<180°)，得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为　 　。
【答案】40°或70°或100°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在直角三角形ACB中，∵∠ACB=90°，AO=OB
∴OC=OA=OB
∴∠OAC=∠ACO=20°，∠COB=40°，∠AOC=140°
∴①当AC=AP时，，由OA=OA，AC=AP，OC=OP
∴△AOC≌△AOP，∠AOC=∠AOP=140°，∠α=∠POB=40°
②当PC=PA时，由①，同理可以证明△OPA≌△OPC
∴∠POA=∠POC=（360°-∠AOC）=110°
∴∠α=∠POB=∠POC-∠COB=70°
③当CA=CP时，同理可知，△COA≌△COB
∴∠COP=∠AOC=140°
∴∠α=∠POB=∠POC-∠COB=100°
【分析】分三种情形讨论，当AC=AP时，当PC=PA时，当CA=CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可得到答案。
11．（2019八上·秀洲月考）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则 ︰ ︰ 等于　 　
【答案】6：8：3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G，
∵ 点P是三条角平分线的交点，
∴PE=PG=PF；
∴S△APB：S△BPC：S△CPA=AB：BC：AC=30：40：15=6：8：3.
故答案为：6：8：3.
【分析】根据点P是三条角平分线的交点，添加辅助线过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PE=PF=PG，再利用三角形的面积公式可证得S△APB：S△BPC：S△CPA=AB：BC：AC，然后代入化简可得结果。
12．（2019八上·遵义期末）如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是　 　；
【答案】11
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
三、综合题
13．（2019七下·普陀期中）按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D　 　，那么点B到直线AC的距离是线段　 　的长.
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM　 　.那么线段CM是△ABC的　 　 .（保留作图痕迹）
【答案】（1）；BD
（2）；边AB的中线
【知识点】垂线；三角形的角平分线、中线和高；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线，
线段CM是△ABC的边AB的中线，
故答案为：边AB的中线．
【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答．
14．如图，是一个4×4的方格，
（1）求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．
（2）求∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16．
【答案】（1）解：观察图形可知：∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×6+45°×4=720°．
（2）解：∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16
=（∠1+∠3+…+∠15）﹣（∠2+∠4+…+∠16）
=（∠1+∠7）+（∠3+∠5）+（∠9+∠11）+（∠13+∠15）﹣（∠2+∠6）﹣（∠8+∠12）﹣∠4﹣∠10﹣∠14﹣∠16
=90°×4﹣90°×2﹣45°×4
=0．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由网格图的特征用边角边可得
∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，则∠1与∠7的余角相等，即∠1+∠7=90°、 同理可得其余的角两两互余，所以
∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和 =8X
90° 即可求解。
15．（2020七下·无锡期中）生活常识：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2.
（1）现象解释：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.已知：∠1=55°，求∠4的度数.
（2）尝试探究：如图3，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，若∠MON=46°，求∠CEB的度数.
（3）深入思考：如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，α与β之间满足的等量关系是　 　.（直接写出结果）
【答案】（1）解：如图2，∵∠1=∠2，∠1=55°
∴∠2=55°
∵OM⊥ON
∴∠3=90°－∠2=90°－55°=35°
∵∠4=∠3
∴∠4=35°
（2）解：如图3，∵∠MON=46°
∴∠2+∠3=180°－∠MON=180°－46°=134°
∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠ECB+∠EBC=360°－2（∠2+∠3）=360°－134°×2=92°
∴∠BEC=180°－∠ECB－∠EBC=180°－92°=88°
（3）β＝2α
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3）如图4，β＝2α，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180° 2∠2，∠BCD＝180° 2∠3，
∴∠BED＝∠ABC ∠BCD＝（180° 2∠2） （180° 2∠3）＝2（∠3 ∠2）＝β，
∵∠BOC＝∠3 ∠2＝α，
∴β＝2α.
【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2＋∠3＝90°，即可求解；（2）根据三角形内角和定理求得∠2＋∠3＝134°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用平角的定义得出∠1＋∠2＋∠EBC＋∠3＋∠4＋∠BCE＝360°，即可得出∠EBC＋BCE＝360° （2×134°）＝92°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC＝180° 92°＝88°；（3）利用平角的定义得出∠ABC＝180° 2∠2，∠BCD＝180° 2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC ∠BCD＝（180° 2∠2） （180° 2∠3）＝2（∠3 ∠2）＝β，而∠BOC＝∠3 ∠2＝α，即可证得β＝2α.
16．（2019八上·湖州期中）
（1）如图①，AD是△ABC的中线.△ABD与△ACD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）若三角形的面积记为S，例如：△ABC的面积记为S△ABC.如图②，已知S△ABC＝1.△ABC的中线AD、CE相交于点O，求四边形BDOE的面积.
小华利用(1)的结论，解决了上述问题，解法如下：
连接BO，设S△BEO＝x，S△BDO＝y，由(1)结论可得：S△BCE＝S△BAD＝ S△ABC＝ ，S△BCO＝2S△BDO＝2y，S△BAO＝2S△BEO＝2x.则有 即 所以x＋y＝ .即四边形BDOE面积为 .
请仿照上面的方法，解决下列问题：
Ⅰ.如图③，已知S△ABC＝1.D、E是BC边上的三等分点，F、G是AB边上的三等分点，AD、CF交于点O，求四边形BDOF的面积.　 　
Ⅱ.如图④，已知S△ABC＝1.D、E、F是BC边上的四等分点，G、H、I是AB边上的四等分点，AD、CG交于点O，则四边形BDOG的面积为　 　.
【答案】（1）解：S△ABD=S△ACD.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
又∵△ABD与△ACD高相等，
∴S△ABD=S△ACD
（2）解：①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y， S△BCF=S△ABD= S△ABC= S△BCO=3S△BDO=3y， S△BAO=3S△BFO=3x. 则有： ，即 所以x+y= ，即四边形BDOF的面积为 ；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）Ⅱ.如图，连接BO，设S△BDO=x，S△BGO=y，
S△BCG=S△ABD= S△ABC= ，
S△BCO=4S△BDO=4x，
S△BAO=4S△BGO=4y.
则有： ，即
所以x+y= ，即四边形BDOG的面积为 ，
【分析】（1） S△ABD=S△ACD ，理由如下：根据三角形中线的定义得出BD=CD，从而根据等底同高的三角形的面积相等得出 S△ABD=S△ACD ；
（2） 连接BO，设S△BEO＝x，S△BDO＝y， 由(1)结论可得：S△BCE＝S△BAD＝ S△ABC＝ ，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；
（3） ①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y， 则S△BCF=S△ABD= S△ABC= S△BCO=3S△BDO=3y，S△BAO=3S△BFO=3x，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；②如图4，连接BO，设S△BDO=x，S△BGO=y，故S△BCG=S△ABD= S△ABC= ，即S△BCO=4S△BDO=4x，S△BAO=4S△BGO=4y，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可.
17．（2020七下·无锡月考）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
（1）尝试探究：如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
（2）初步应用：如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2－∠C＝　 　.
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　.
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系.
【答案】（1）=
（2）45°
（3）∠P=90°－ ∠A
（4）解：根据四边形的内角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D
∵∠EBC=180°－∠ABC，∠FCB=180°－∠DCB
∴∠EBC＋∠FCB
=180°－∠ABC＋180°－∠DCB
=360°－（∠ABC＋∠DCB）
=360°－（360°－∠A－∠D）
=∠A＋∠D
∵BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，
∴∠CBP= ∠EBC，∠BCP= ∠FCB
∴∠CBP＋∠BCP
= ∠EBC＋ ∠FCB
= （∠EBC＋∠FCB）
= （∠A＋∠D）
∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°
∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）
=180°－ （∠A＋∠D）
=180°－ ∠A－ ∠D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角
∴∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC
∴∠DBC+∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC=∠A＋（∠ACB＋∠A＋∠ABC）=∠A+180°
故答案为：=；
（ 2 ）由（1）的结论可知：∠1＋∠2=∠C＋180°
∵∠1＝135°
∴∠2－∠C＝180°－∠1=45°
故答案为：45°
（ 3 ）由（1）的结论可知：∠DBC+∠ECB=∠A+180°
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠CBP= ∠DBC，∠BCP= ∠ECB
∴∠CBP＋∠BCP
= ∠DBC＋ ∠ECB
= （∠DBC＋∠ECB）
= （∠A+180°）
= ∠A＋90°
∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°
∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）
=180°－（ ∠A＋90°）
=90°－ ∠A
故答案为：∠P=90°－ ∠A
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC，然后求和并根据三角形的内角和定理即可得出结论；（2）根据（1）的结论即可求出∠2－∠C；（3）根据（1）的结论可得∠DBC+∠ECB=∠A+180°，然后根据角平分线的定义计算出∠CBP＋∠BCP，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；（4）根据四边形的内角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D，然后根据平角的定义可推出∠EBC＋∠FCB=∠A＋∠D，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得出结论.
18．（2018八上·武汉月考）如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）解：如图所示，△OBQ≌△OCQ；
如图1，∵∠ACB=90°，∠B=60°.
∴∠BAC=30°.
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC= ∠BAC=15°，∠ECA= ∠ACB=45°.
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.
（2）解：FE=FD.
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中
∵
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°.
∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC.
在△FDC和△FGC中
∵
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG.
∴FE=FD
（3）解：如图，
（ 2 ）中的结论FE=FD仍然成立.
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.
又由（1）知∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= =60°.
∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°.
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH.
∴FE=FD
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图在图1中作出图形即可；利用三角形内角和定理，在△ABC中，可求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义，可求出∠DAC和∠ECA的度数，然后利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求解。
（2）在AC上截取AG=AE，连接FG，利用已知条件易证△EAF≌△GAF，利用全等三角形的性质，可证得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°，再证明∠DFC=∠GFC，利用ASA证明△FDC≌△FGC，利用全等三角形的对应边相等，可知FD=FG，然后通过等量代换可证得结论。
（3）利用（2）中的两三角形全等，可推出FE=FH，∠EFA=∠HFA，再求出∠AFC的度数及∠EFA，∠HFA的度数，利用全等三角形的性质，易证FD=FH，从而可推出FE=FD。
19．（2020八上·河池期末）如图(1) ， ，BD⊥AB， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动，它们运动的时间为 .
（1）若点 的速度与点 的速度相等，当 时，求证： ；
（2）在(1)的条件下，判断此时 和 的位置关系，并证明；
（3）将图(1)中的“ ， ”，改为“ ”，得到图(2)，其他条件不变.设点 的运动速度为 ，请问是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的 和 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 与 全等，
理由如下：当 时， ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
∴ ；
（2）解： ，
证明：∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
即 ；
（3）解： ， ，
①若
则 ， ，
∴ ，
解得： ，则 ；
②若 ，
则 ， ，
则 ，解得， ，
∴ ，解得， ，
故当 ， 或 ， 时， 与 全等.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)当t=1时求得 ，再利用SAS即可证明 ；(2)根据 ，推出 ，即可证明 ；(3)分 及 两种情况判断即可.
20．（2019八上·慈溪月考）为培育学生“敢进取”精神，特设计此题：
如图1，在 中， ，AC=BC， ， ，垂足分别为D，E.
（1）若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长.
（2）如图2，在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到 ABC的外部，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论：　 　.（不需证明）
（3）如图3，若将原题中的条件改为：“在 ABC中，AC=BC，D,C,E三点在同一条直线上，并且有 ，其中 为任意钝角”，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
，
∵DC=CE-DE，DE=1.7cm，
∴BE=0.8cm
（2）AD+BE=DE，（不需证明）
（3）（2）中的猜想还成立，
证明：∵ ， ， ，
∴
在 和 中，
，
，
∴ ， ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE
【分析】（1）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，从而可求出DC的长，即可得到BE的长。
（2）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠EBC=∠DCA，利用AAS可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE＝CE＋DE，即可证得结论。
（3）利用同样的方法，可证得BE=CD，CE=AD，然后根据DE=EC+CD，即可得到DE，AD，BE之间的数量关系。
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