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第 一 章 集合与常用逻辑用语
第一节　集合的概念与运算
考向预测·
考情分析：集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，题型以选择题为主．
学科素养：通过集合间的基本关系和基本运算考查数学抽象及数学运算的核心素养．
必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．元素与集合
(1)集合中元素的特性：________、________、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于A，记作________，若b不属于A，记作________．
(3)集合的表示方法：__________、__________、图示法．
(4)常见数集及其符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ____ ____ ____ ____ ____
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
自然语言 符号语言 Venn图
集合间的基本关系 子集 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素(若x∈A，则x∈B) ________
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 ________
集合 相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ________
空集 空集是________集合的子集 ____A
空集是________集合的真子集 B且B≠
3．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A＝{x|x∈A且x∈B
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
二、必明3个常用结论
1．两个常用等价关系
A＝A B A，A＝A A B.
2．集合的运算性质
(1)A＝A，A＝ .
(2)A＝A，A＝A.
(3)A∩( UA)＝，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
3．子集个数
若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(　　)
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　)
(3)方程＋(y＋2 019)2＝0的解集为{2 018，－2 019}.(　　)
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A恒成立．(　　)
(6)若A＝A则B＝C.(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P12A组T5改编]若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A.a∈P B．{a}∈P
C.{a} P D．a P
3．[必修1·P12A组T10改编]设全集为R，集合A＝{x|0(三)易错易混
4．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝(　　)
A.1 B．0或1或3
C.0或3 D．1或3
5．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M＝N，则实数a的值是(　　)
A.－1 B．1
C.－1或1 D．0或1或－1
6．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A＝A，则实数m的取值范围是________．
(四)走进高考
7．[2021·全国甲卷理]设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M＝(　　)
A.{x|0＜x≤} B．{x|≤x＜4}
C.{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}
关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　集合的基本概念　[基础性]
1．[2022·重庆一诊]已知集合A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}，B＝{x2|x∈A}，则B中元素个数为(　　)
A．4　 　　B．5　　 　C．6　 　　D．7
2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　)
A．－1 A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34 A
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A． B． C．0 D．0或
4．[2022·江苏天一中学模拟]设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2·(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，则a－b＝(　　)
A．0 B．2 C．－2 D．1
5．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
反思感悟
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特性(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
[提醒]　含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．(如题5)
考点二　集合间的基本关系　[基础性、综合性]
[例1]　(1)[2022·大同市高三测试]已知集合A满足{0，1} A{0，1，2，3}，则集合A的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
一题多变
1．(变条件)在本例(2)中，若“B A”变为“BA”，则函数m的取值范围为________．
2．(变条件)在本例(2)中，若“B A”变为“A B”，则实数m的取值范围为________．
反思感悟　(1)判断两集合关系的3种常用方法
(2)根据两集合的关系求参数的方法
[提醒]　题目中若有条件B A，则应分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论．
【对点训练】
1．[2021·黄冈中学、华师附中联考]已知集合M＝{x|x2－5x－6≤0}，N＝{y|y＝，x≥－1}，则(　　)
A．M N B．N M
C．M＝N D．M ( RN)
2．[2022·河北张家口阶段模拟]已知集合A＝{x|x2＋2ax－3a2＝0}，B＝{x|x2－3x>0}，若A B，则实数a的取值范围为(　　)
A．{0}
B．{－1，3}
C．(－∞，0)
D．(－∞，－1)
3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值范围是________.
考点三　集合的基本运算　[基础性、综合性]
角度1　集合的运算
[例2]　(1)[2021·全国乙卷理]已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S＝(　　)
A． 　　B．S
C．T 　　D．Z
(2)[2022·合肥市高三检测]若集合A＝{x|x(x－2)>0}，B＝{x|x－1>0}，则A＝(　　)
A．{x|x>1或x<0}
B．{x|1C．{x|x>2}
D．{x|x>1}
(3)[2022·山西省六校高三测试]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4<0，x∈Z}，集合B＝{x|x2－2x－3＝0}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．{0，1，3} 　　 B．{－2，0，1，2，3}
C．{0，－1，－3} 　 D．{－1，0，1，3}
反思感悟　集合基本运算的求解策略
角度2　利用集合的运算求参数
[例3]　(1)已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为(　　)
A．－1或0 B．0或1
C．－1或2 D．1或2
(2)[2022·贵阳市第一学期考试]设A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a≤0}，且A＝{x|－1≤x≤1}，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
一题多变
(变条件，变问题)在本例(2)中，若“A＝{x|－1≤x≤1}”变成“A＝{x|x≤2}”，则实数a的取值范围为________．
反思感悟
　根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
【对点训练】
1．[2022·湖北武汉质检]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，则 RA＝(　　)
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>2} D．{x|x≤－1或x≥2}
2．[2021·宁夏石嘴山模拟]已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A．{－1} B．{0}
C．{－1，0} D．{－1，0，1}
3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A＝{x|x>1}，则(　　)
A．m≥1 B．1≤m<3
C．1微专题 追踪集合中的新定义　交汇创新
以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．
[例]　(1)[2022·河南新乡模拟]定义集合M N＝{x|x∈M且x－1∈N}，已知集合A＝{x|x2＋3x－10<0}，B＝{x|－7A．{x|－5B．{x|－7C．{x|－5D．{x|－5(2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A＝________．
解析：(1)由x2＋3x－10＝(x－2)(x＋5)<0，解得－5(2)由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去；当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A＝{0，6}．
答案：(1)C　(2){0，6}
名师点评
解决集合中新定义问题的两个关键点
(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．
(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
[变式训练1]　[2022·东北三校第二次考试]定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的所有元素之和为(　　)
A．16 B．18
C．14 D．8
[变式训练2]　设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M＝{1，3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为________．
第一章　集合与常用逻辑用语
第一节　集合的概念与运算
积累必备知识
一、
1．(1)确定性　互异性　(2)a∈A　b A
(3)列举法　描述法　(4)N　N*(或N＋)　Z　Q　R
2．A B或B A　AB或BA　A＝B　任何　 　任何非空
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
2．解析：因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a P.
答案：D
3．解析：因为集合B＝{x|x≥1}，所以 RB＝{x|x<1}，所以A∩( RB)＝{x|0答案：{x|04．解析：由B A，得m＝3或m＝，解m＝得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1，所以m＝0或m＝3.
答案：C
5．解析：由M＝N，得N M，当N＝ 时，a＝0；当N≠ 时，＝a，解得a＝±1，故a的值为±1，0.
答案：D
6．解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A＝A，所以B A，所以m≥3.
答案：[3，＋∞)
7．解析：M＝.
答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}＝{x∈Z|－4答案：A
2．解析：当k＝0时，x＝－1，－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－ Z.所以－11 A，所以B错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误．
答案：C
3．解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝.所以a的值为0或.
答案：D
4．解析：由题意得P＝Q＝所以当且仅当a＝－1，b＝1时，P＝Q成立，故a－b＝－2.
答案：C
5．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
考点二
例1　解析：(1)由题意可知A可能为{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}，则满足条件的集合A的个数为3.
(2)∵B A，
∴①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3].
答案：(1)C　(2)(－∞，3]
一题多变
1．解析：∵BA，∴①B＝ ，成立，此时m<2；
②若B≠ ，则或
解得2≤m≤3.
由①②可得m的取值范围为(－∞，3].
答案：(－∞，3]
2．解析：若A B，则即显然无解，所以m的取值范围为 .
答案：
对点训练
1．解析：由x2－5x－6≤0得－1≤x≤6，即M＝[－1，6]；由y＝，x≥－1得0答案：B
2．解析：由不等式x2－3x>0，解得x<0或x>3，即B＝(－∞，0)
由x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)＝0，
解得x＝a或x＝－3a，
当a＝0时，可得集合A＝{0}，
此时不满足A B；
当a≠0时，可得集合A＝{a，－3a}，
若a>0，要使得A B，则满足解得a>3；
若a<0，要使得A B，则满足解得a<－1.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1)
答案：D
3．解析：∵B A，
①当B＝ 时，2m－1>m＋1，解得m>2，
②当B≠ 时，
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
考点三
例2　解析：(1)在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以T＝T.
(2)(通解)　因为A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以A＝{x|x>2}．
(优解)　因为 A，所以 (A故排除A，B，D.
(3)由题意知A＝{－1，0，1}，B＝{－1，3}，则A＝{－1}，A＝{－1，0，1，3}，于是阴影部分表示的集合为{0，1，3}．
答案：(1)C　(2)C　(3)A
例3　解析：(1)因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A＝{－1，0，1，2}，所以m∈(A由集合中元素的互异性可知，m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.
(2)方法一　因为B＝{x|2x－a≤0}＝，A＝{x|－1≤x≤1}，所以＝1，
解得a＝2.
方法二　将各项选项中的值代入集合B中，只有选项B满足题意．
答案：(1)D　(2)B
一题多变
解析：因为B＝{x|2x－a≤0}＝{x|x≤}．A＝{x|x≤2}，所以－1≤≤2，解得－2≤a≤4.
答案：[－2，4]
对点训练
1．解析：方法一　因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|(x＋1)·(x－2)<0}＝{x|－1方法二　显然0∈A，所以0 RA，排除A，B项；又2 A，所以2∈ RA，排除C项．
答案：D
2．解析：阴影部分对应的集合为A∩( RB)，因为B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，所以 RB＝{x|－1答案：B
3．解析：由x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)<0，得1m}且A＝{x|x>1}，所以1≤m<3.
答案：B
微专题 　追踪集合中的新定义
变式训练1
解析：因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，所以A*B＝{1，2，3，4，6}，
所以A*B的所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16.
答案：A
变式训练2
解析：符合条件的理想配集有①M＝{1，3}，N＝{1，3}；②M＝{1，3}，N＝{1，2，3}；③M＝{1，2，3}，N＝{1，3}．共3个．
答案：3

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