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将拆项进行到底
拆项：把多项式中的某一项拆成两项或多项的代数和
夯实基础，稳扎稳打
拆常数项 1．已知，求代数式的值
2.已知，求3a+2b的值.
3．已知， 求(x-y-z)2022 的值
4.已知，求a+b+c的值．
拆二次项 1．若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
2.已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
3．已知，求a、b、c的数量关系
4.已知，，，
求代数式的值
拆一次项 分解因式
1. x3-4x+3 2. x3-9x+8
连续递推，豁然开朗
1．例：，，．
则这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是 -1．
求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．
2.当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
3．对于任何实数、，求多项式的最小值
4.如果多项式，求的最小值
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1.已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
2．已知满足，求的值
3.求代数式2x2+4xy+5y2-4x+2y-5的最小值.
参考答案： 夯实基础，稳扎稳打 拆常数项
解析：∵x2+y2+4x-6y+13=0, x2+y2+4x-6y+4+9=0,（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0,
∴，∴，∴，
2.解：∵a2+4b2-6a+12b+18=0,a2+4b2-6a+12b+9+9=0,(a2-6a+9)+(4b2+12b+9)=0
∴，，
3.解：因为：
所以
所以
所以 ，解得 所以
4.解：，∴，
∴，∴，
∴，∴，a+b+c=3+4+5=12.
拆二次项
1.解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
2.解：∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y= 1，∴2x+y=2×1+( 1)=1；
3.解：，，
，，
，，，得且且，∴
4.解：
=，
将，，
代入上式得：，
拆一次项
分解因式 1.解：原式=x3-x-3x+3=(x3-x)-(3x-3)=x(x+1)(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x2+x-3)
2.解：原式=x3-x-8x+8=(x3-x)-(8x-8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)
连续递推，豁然开朗
1.解：
则这个代数式-x2+14x+10的最大值是，这时相应的的值是．
2.解：∵a2+b2-4a+6b+18=（a-2）2+（b+3）2+5，
∴当a=2，b=-3时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值5；
3.解：，
（m-3）2≥0，（n-5）2≥0，（m-3）2+（n-5）2+2≥2，
多项式的最小值是2，
4.解：
∵，，
∴，∴的最小值为，
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1.解:∵a b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c2 6c+13=0，得
b2+4b+c2 6c+13=0，∴(b2+4b+4)+(c2 6c+9)=0，∴(b+2)2+(c 3)2=0，
∴b+2=0，c 3=0，解得，b= 2，c=3，∴a=b+4= 2+4=2，∴a+b+c=2 2+3=3．
2解：∵，三个式子相加，
∴，∴
∴，∴，，，
∴，，，，
3. 解：原式=（x2+4xy+4y2）+（x2-4x+4）+（y2+2y+1）-10
=（x+2y）2 +（x-2）2 +（y+1）2-10 ∵（x+2y）2≥0，（x-2）2 ≥0，（y+1）2≥ 0，
且当x=2,y=-1时，这三个完全平方式都等于0，∴ 原式最小值为-10将添项进行到底
添项：在多项式中添上两个仅符号相反的项
夯实基础，稳扎稳打
添常数项：二次项系数为1，先加上一次项系数一半的平方，使其配成完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变.
分解因式：
（1） （2） x2﹣40x+351
（3）c2﹣6c+8 （4）x2+2ax﹣3a2
添中间项（2·首·尾）：首2+2·首·尾+尾2　=（首+尾）2
分解因式
（1） （2）x4+x2y2+y4
a4-3a2+9
连续递推，豁然开朗
(1)分解因式：
x2-120x+3456 2.
a2﹣6ab+5b2 4. a4+64b4
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．
（4）如果，求的值．
（5） 求证：不论x、y取什么值，3x2 - 8xy+9y2 - 4x+6y+13的值总是正数
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求的值
参考答案：
夯实基础，稳扎稳打
1.解：
2.解：x2﹣40x+351＝x2﹣40x+400﹣49＝（x﹣20）2﹣49
＝（x﹣20+7）（x﹣20﹣7）＝（x﹣13）（x﹣27）；
3.解：c2﹣6c+8=c2﹣6c+32﹣32+8=（c﹣3）2﹣1=（c﹣3﹣1）（c﹣3+1）
=（c﹣4）（c﹣2）
4.解：原式=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）
添中间项　
解：x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)
2.解：x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4-2x2y2+x2y2=（x4+2x2y2+y4）-x2y2
=（x2+y2）2-x2y2=（x2+y2+xy）（x2+y2-xy）
3.解：a4-3a2+9=a4+6a2+9-6a2-3a2=（a4+6a2+9）-9a2=（a2+3）2-9a2=（a2+3+3a）（a2+3-3a）
连续递推，豁然开朗
（1）分解因式：
解：x2-120x+3456 =x2-120x+602-602+3456
=（x﹣60）2﹣144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）
2.解：
3.解原式＝a2﹣6ab+9b2﹣9b2+5b2＝（a﹣3b）2﹣4b2＝（a﹣5b）（a﹣b）
4.解：a4+64b4 =a4+16a2b2+64b4-16a2b2=(a2+8b2）2-16a2b2=(a2+8b2+4ab）(a2+8b2-4ab）
（2）.解：∵a2+b2﹣4a+6b+18=（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a=2，b=﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）解：
则这个代数式的最大值是，这时相应的的值是．
4.解：∵
∴，
∴，∴，，，∴
5.解：3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=（x2-4x+4）+（y2+6y+9）+2x2-8xy+8y2
=（x-2）2+（y+3）2+2（x-2y）2≥0，
∵当（x-2）2≥0，（y+3）2≥0时，2（x-2y）2≠0，这三个完全平方不可能同时为零，∴原式的值总是正数.
思维拓展，更上一层
1.解
原式

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