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人教版八年级下册数学动点问题期末压轴题训练
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，，．
(1)求直线的解析式：
(2)若点P是直线上的动点，当时，求点P的坐标：
(3)若点Ｍ是线段的中点，点，求的最小值．
2．如图，矩形ABCD中，CD=4，∠CAD=30°，一动点P从A点出发沿对角线AC方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿CD方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），过点P作PE⊥AD于点E连接EQ，PQ．
(1)求证：PE=CQ；
(2)四边形PEQC能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由
(3)当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由；
(4)若动点Q从C点出发沿CD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当t=____时，PQ+EQ有最小值．
3．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数y=x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点
(1)求得b
(2)连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，求点M的坐标
(3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标；
4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）
(1)求直线BC的解析式；
(2)点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
(3)已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
5．已知，如图，在长方形中，，延长到点，使，连接．
(1)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，求当为何值时，和全等？
(2)若动点从点出发，以每秒个单位的速度仅沿着向终点运动，连接设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；否则，说明理由．
6．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．
(1)求证：AM=MF；
(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；
(3)当CF=4时，求CM的长．
7．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A ＜∠ABC， 点D是边AB上的一个动点，且不与A、B两点重合，过点D作DE⊥AC于点E，点F是射线ED上的点，且DF＝CB，连接BF、CD，得到四边形BCDF．
(1)求证：四边形BCDF是平行四边形；
(2)若AB＝8，∠A＝30°，设AD，四边形BCDF的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点D，使四边形BCDF为菱形？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B．过点B的直线y=-x+b与x轴交于点C．已知A（-4，0）、C（3，0），点D为x轴上一动点，将△ABD沿BD折叠得到△EBD，直线BE与x轴交于点F．
(1)求直线AB、BC的函数解析式；
(2)若点D在线段AO上，且△DEF与△BFC的面积相等，求线段BD的长；
(3)在点D的运动过程中，△DEF能否成为直角三角形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
9．如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处．
(1)求证：四边形OECH是平行四边形；
(2)当点B运动到使得点F，G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；
(3)当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，直接写出点B的坐标．
10．如图，直线y=kx+6与x轴分别交于E，F，点E坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．
(1)求k的值；
(2)当点P在第二象限内运动过程中，试写出三角形OPA的面积s与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为，并说明理由
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知两点，且a、b满足；若四边形ABCD为平行四边形，且，点在y轴上．
(1)如图①，动点P从C点出发，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间t为何值时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一；
(2)如图②，当P从O点出发，沿y轴向上运动，连接PD、PA，则、、存在的数量关系是______（排除点P在点O和点C两点的特殊情况）．
12．在四边形ABCD中，，，，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为t s．
(1)若点P和点Q同时运动了6秒，PQ与CD有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
13．如图1，在长方形ABCD中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为6cm/s，点Q的速度变为bcm/s．图2是点P出发x秒后，△APD的面积（）与x（s）的函数关系图像；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积（）与x（s）的函数关系图像．
(1)动点P在线段___上运动时，的面积保持不变；动点Q到达点A时，x的值为___；
(2)求a，b的值；
(3)设点P离开点A所走的路程为（cm），点Q离开点D所走的路程为（cm），当时，分别求出，与x的函数关系式；
(4)当两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围．
14． 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为．
(1)填空：点C的坐标为 ；平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为 ；
(2)动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半？
(3)当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
15．已知四边形ABCD是正方形，点E为射线AC上一动点（点E不与A，C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，过点D，F分别作DE，EF的垂线，两垂线交于点G，连接CG．
(1)如图，当点E在对角线AC上时，依题意补全图形，并证明：四边形DEFG是正方形；
(2)在（1）的条件下，猜想：CE，CG和AC的数量关系，并加以证明；
(3)当点E在对角线AC的延长线上时，直接用等式表示CE，CG和AC的数量关系．
16．如图，在中，，，AB＝8cm，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为．
(1)当为何值时，是等边三角形？
(2)当为何值时，是直角三角形？
(3)过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形．
17．如图，直线l1经过A（-1，0），B（0，1）两点，已知D（4，1），点P是线段BD上一动点（可与点B、D重合）；直线l2：（k为常数）经过点P，交l1于点C．
(1)求直线l1的函数表达式；
(2)当时，求点C的坐标；
(3)在点P的移动过程中，直接写出k的取值范围．
18．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线经过点B与点．
(1)求A、B点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在x轴上有一动点，过点M做x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，若EF＝OB，求t的值．
19．一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（a，0），点B（0，b）．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段OB于点D，交直线BC于点E．其中实数a、b满足b2+8b+16＝0．
(1)求直线AB解析式；
(2)如图1，当BE＝DE时，求E点坐标；
(3)如图2，当BD＝DE时，F为直线AC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线AD于点G，点H为直线AB上的动点，当△FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标．
20．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：∠MBN＝30°，点A为射线BM上一点，且AB＝4，点C为射线BN上动点，连接AC，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD，连接BD．当AC⊥BN时，求BD的长．
小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE，连接CE，能得到一对全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，从而将问题解决（如图1）．
请回答：
(1)在图1中，小明得到的全等三角形是△　 　≌△　 　；BD的长为 　 　．
(2)动点C在射线BN上运动，当运动到AC时，求BD的长；
(3)动点C在射线BN上运动，求△ABD周长最小值．
答案
1．
(1)
解：设直线的解析式为，
∵点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，
∴，，
∴ ，解得，
∴直线的解析式为；
(2)
设的坐标为
∵，
则，
∵，，
∴，
解得或12，
所以点的坐标是或；
(3)
如图，由已知可得点在直线上，
令，则
∴直线经过点
令，则
∴直线与轴的交点
∴
∴为等腰直角三角形
∴
作点关于直线的对称点，连结
则，，
∴，
∴，
，
当点、、三点共线时，，此时的值最小，
∵点是的中点，，，
∴，
过点作，垂足为，由，
∴，，
∴，
∴的最小值是．
2．
(1)
证明：四边形ABDC是矩形，
DC=BA=4， BC//AD，∠D=90°，
∠BCA=∠CAD=30°，
AC=2DC=8，∠ACD=60°，
由题意可得： AP=2t， CQ=t，
PE⊥AD，∠CAD=30°，
PE=AP=t，
PE=CQ ；
(2)
解：四边形PEQC能够成为菱形，理由如下：
PE⊥AD，
∠PEA=90°=∠D，
PE//CD，
又PE=CQ，
四边形PEQC是平行四边形，
当PE=PC时，平行四边形PEQC是菱形，
t=8-2t，
当t=时，四边形PEQC能够成为菱形；
(3)
解：当∠EPQ=90°时，
PE // CQ，
∠PQC=∠EPQ=90°，
PQ// AD， ．
∠CPQ=∠CAD=30°，
PC=2CQ，
8- 2t=2t，
t=2，
当∠PQE=90°时，
四边形PEQC是平行四边形，
EQ // PC，
∠QPC=∠EQP=90°，
∠PQC=30°，
CQ=2PC，
t=2 ( 8-2t)，
，
当∠PEQ=90°时，此时点Q与点D重合，点P与点C重合，故不合题意，
综上所述：当t=2或时，△PQE为直角三角形．
(4)
解：如图1，过点P作于点F，
由题意可知，AC=8，AP=2t，CQ=2t，则PC=8-2t，（），
CF=， ，，
QF=CQ-CF=3t-4，
，
，
当t=2时，同时有最小值，
当t=2时，PQ+EQ有最小值．
故答案是：2．
3．
(1)
∵四边形OABC是矩形，
∴轴，轴，
∵一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，
∴OD=BE=b，
∵点B的坐标为（6，8），
∴AB=8，点E的横坐标为6，
∴AE=AB-BE=8-b，
∴点E（6，8-b），
将点E代入得：，
解得：，
故答案为：2；
(2)
由（1）知：一次函数的解析式为：，OD=2，AE=6，
∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，
∴，
∵，
∴，
设点M的横坐标为m，
则，
即，
解得：，
将代入，
得：
∴M；
(3)
如图所示，若以AE为对角线，得到菱形AMEN，则MN垂直平分AE，M和N关于AE轴对称，
∵AE=6，
∴点M、N的纵坐标均是，
将代入
得：，
解得：，
∴点M，
∴，
∴
∴点N；
如图所示，若以EM为对角线，得到菱形AMNE，则MN=AE=6，线段ME与线段AN的中点重合，过点M作MG⊥x轴于点G，
设点M的横坐标为a，则纵坐标为，
∴AG=6-a，，AM=AE=6，
∴，即
解得：（不能构成菱形，舍去）或，
∴点，
∵菱形AMNE，
∴，
∴点，
综上所述，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为或．
4．
(1)
解：∵直线y＝2x＋6与x轴，y轴分别交于点A，C，
∴点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y=-x+6；
(2)
解：∵A（-3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB=9，OC=6，
∴，
设G（m，-m+6），（0＜m＜6），
当S△ABG：S△ACG=1：2，即时，
∴，
∴m=4，
∴G（4，2）；
当S△ABG：S△ACG=2：1，即时，
∴，
∴m=2，
∴G（2，4）；
综上所述，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
(3)
解：∵A（-3，0），C（0，6），D为AC的中点，
∴点D的坐标为
当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F，交x轴于H，
∴∠F=∠CED=90°，
∵△CDP是等腰直角三角形，
∴DP=CD，∠CDB=90°，
∴∠PDF+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°，
∴△PDF≌△CDE（AAS），
∴DF=CE，PF=DE，
∵点D的坐标为，点C的坐标为（0，6），
∴，OE=3，CE=DF=6-3=3，
∴，
∴，
同理可得，
∴点P的坐标为或
当点C为直角顶点时，如图，过点D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y轴于M，
同①可得△PCM≌△CDN（AAS），
∴DN=CM，PM=CN，
∵点D的坐标为，点C的坐标为（0，6），
∴，
∴，
∴，
同理可得，
综上所述，点P的坐标为或或或．
5．
(1)
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=6，
若与全等，
或，
当时，则（秒）
当时，则（秒）
求当为秒或秒时，和全等．
(2)
四边形是矩形，
，，，
∴，
在中，，
若为等腰三角形，
则或或，
当时，
∵，
∴，
，
，
，
（秒），
当时，
，
，
（秒），
当时，
，
，
在中，．
，
，
，
，
（秒）
综上所述：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
6．
(1)
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝MF；
(2)
∵点E是边BC的中点，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，，
∴AB∥CD，，
∴∠F＝∠BAF，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，
在中，，
∴，解得，
∴的长为；
(3)
当时，设，应分两种情况：
第一种情况，点在线段上，如图所示，则，
∴在中，，
∴，解得，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示，则，
∴在中，，
∴，解得，
∴的长为
综上可知，当CF=4时，CM的长为或 21
7．
(1)
证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AC，
∴FE∥BC，
∵DF＝CB，
∴四边形BCDF是平行四边形；
(2)
∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠A＝30°，
∴BC＝4，
∴由勾股定理可得：，
∵∠AED＝90°，AD＝，
∴DE＝，AE＝
∴，
∴，
∵点D不与A、B两点重合，
∴自变量x的取值范围为：0＜＜8；
(3)
存在，
若四边形BCDF为菱形，
∴BC＝DC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD＝BC＝DC，
∵BC＝4，AB＝8，
∴BD＝AD＝4，
∴＝4，
∴．
8．
(1)
将C（3，0）代入直线BC解析式y=－x+b得，解得，
即直线BC的解析式为，
令，则，，
设直线AB的解析式为，
将A（－4，0）、代入得
，解得，
∴直线AB的解析式为；
(2)
，
，
即，
由折叠可得，
，
，
，
，
，
，
，，
，
(3)
分类讨论：
①当时，此时点F在线段BE上，且点F与点O重合，如图所示：
过点D作DG⊥AB，垂足为点G，如上图所示，
由折叠可知，即BD为∠ABE的角平分线，
，
由（2）可得，AB=5，OB=3，
设，则，
，
即，解得，
；
②当时，有两种情况：
Ⅰ）当点F在线段BE上时，如图所示：
∵，∴，
由折叠可得，
，
∴△OBD为等腰直角三角形，
，；
Ⅱ）当点F在直线EB的延长线上时，如图所示：
由折叠可得，
∴△OBD为等腰直角三角形，
，；
③当时，此时点F在EB的延长线上，且点F与O点重合，如图所示：
∵折叠，∴，，
设，则，
由折叠可得，则，
即，
，
解得，
∴，
综上，在点D的运动过程中，△DEF能成为直角三角形，此时点D的坐标为 ．
9．
(1)
证明：如图1，
∵四边形OBCA为矩形，
∴OB//CA，BC//OA，
∴∠BOC=∠OCA，
又∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，
∴∠EOC=∠OCH，
∴OE//CH，
又∵BC//OA，
∴四边形OECH是平行四边形；
(2)
解：四边形OECH是菱形．理由如下：
如图2，
∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，
∵点F，G重合，
∴EH⊥OC，
又∵四边形OECH是平行四边形，
∴平行四边形OECH是菱形，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
又∵∠EOC=∠BOE，
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，
∴OB=OC（这里可以由折叠得到）
又∵点A的坐标是（5，0），
∴OA=5，
∴BC=5，
在Rt△OBC中，
可得OB=
∴点B的坐标是（0，）；
(3)
解：当点F在点O，G之间时，如图3，
∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴OF=OB，CG=CA，
而OB=CA，
∴OF=CG，
∵点F，G将对角线OC三等分，
∴AC=OF=FG=GC，
设AC=m，则OC=3m，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC2+OA2=OC2，
∴m2+52=（3m）2，解得m=，
∴OB=AC=，
∴点B的坐标是（0，）；
当点G在O，F之间时，如图4，
同理可得OF=CG=AC，
设OG=n，则AC=GC=2n，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC2+OA2=OC2，
∴（2n）2+52=（3n）2，解得n=，
∴AC=OB=2，
∴点B的坐标是（0，2）．
故B的坐标是（0，）或（0，2）．
10．
(1)
解：将代入直线解析式，
可得： ，
解得： ；
(2)
由（1）可知直线解析式为： ，P（x，y）是第二象限内直线上的一个动点，
，且 ，，
，
，
，
∴三角形OPA的面积s与x的函数关系式：；
(3)
三角形OPA的面积==，
即：，
则可得：，
，
当 时，即： ，解得： ，
当 时，即： ，解得：，
或，
∴当点P坐标为： 或时，三角形OPA的面积为．
11．
(1)
解：，
，
，
，
，
，
点，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一，
，
解得或3．
当时间t为1或3时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一．
(2)
解：如图②，当点P在线段OC上时，，理由如下：
过P作，
，
，
，
，
，
；
如图③，当点P在CD的上面时，，理由如下：
过P作，
，
，
，
，
，
．
12．
(1)
，理由如下，
根据题意得：AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∵AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，
∴DP＝AD AP＝24 t（cm），BQ＝26 3t（cm），
当时，DP＝18，CQ=18
四边形是平行四边形
(2)
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝26 3t，
解得：t＝6.5，
∴当t＝6.5时，四边形ABQP是矩形；
(3)
存在，t值使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半．
四边形的面积
四边形PQBA的面积为
四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，
解得
13．
(1)
解：在长方形ABCD中，CD=AB=12cm，AD=BC=10cm
当P在BC上时，△APD的面积=是定值
由图3可知，Q从D到A共计用时28秒
故答案为：BC；28；
(2)
解：由图2可知，P到B所用时间为秒
∴a+6（7-a）=12
解得a=6
∵2×6=12=CD
∴此时Q恰好到达C
∴Q从C到A所用时间为28-6=22秒
∴22b=10+12
解得b=1
综上可知：a=6，b=1；
(3)
解：当x>6时，
y1=1×6+6（x-6）=6x-30
y2=2×6+（x-6）=x+6
(4)
解：当x>6时，y1=6x-30，y2=x+6
当两个动点所走过的路程比为时，得
（6x-30）：（x+6）=1∶2或（x+6）：（6x-30）=1∶2
解得x=6(舍去)或x=10.5
当0y1：y2=1：2
∴0综上可知：当或时，两动点的路程比为1：2．
14．
(1)
解：∵点A的坐标为（14，0），
∴OA=14，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=OA=14，
∵点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∵平行四边形OABC的对称中心即为AC的中点，
∴平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为即，
故答案为：，；
(2)
解：如图所示，过点B作BF⊥x轴于F，过点Q作QE⊥x轴于E，
∵点B的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
设平行四边形OABC中AB边上的高为h，
∴，
∴
取AB中点H，
∴，
∴△HAF是等边三角形，
∴∠HAF=60°，
∴∠AHE=30°，
由题意得，，则，，
∴，
∵△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半，
∴，
∴，
解得或，
∴当t为0或4时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半；
(3)
解：如图1所示，当t=0时，此时点P与原点重合，点Q与A点重合，
∴点P的坐标为（0，0），点Q的坐标为（14，0），
设点M的坐标为（m、n），
当PC与PQ是以M、P、Q、C为顶点的四边形的边时，即此时点M与点B重合，
∴点M的坐标为；
当PC为边，PQ为对角线时，
，
∴，
∴点M的坐标为（10，-4），
同理可求得OA为边，OC为对角线时，点M的坐标为；
当t=4时，
∴AQ=8=AB，OP=4，
∴点P的坐标为（4，0），点Q的坐标为，
如图2所示，同理可以求得符合题意的M的坐标为（18，0）或或，
综上所述，在平面直角坐标系中找到一点M的坐标为或（10，-4）或或（18，0）或或，使得以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形
15．
(1)
过点E作EM⊥BC，垂足为M，作EN⊥CD，垂足N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，且∠ECN＝45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，NE=NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM=EN，
∵EF⊥DE，DG⊥DE，FG⊥EF，
∴四边形DEFG为矩形，
∵∠DEN+∠NEF=90°，∠MEF+∠NEF=90 ，
∴∠DEN=∠MEF，
又∵∠DNE=∠FME=90 ，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM，
∴ED=EF，
∴四边形DEFG是正方形；
(2)
CE+CG=AC，
证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDC+CDG=90 ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90 ，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC；
(3)
CG=AC+CE，
如图：
∵四边形ABCD为正方形，四边形DEFG为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90 ，ED=GD,且∠GDE=90 ，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE=∠GDC，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG=AC+CE；
16．
(1)
解：由题意知：AP=2t，AF=8-t，
在中，，
∴，．
当AF=AP时，即时，是等边三角形，
∴当时，是等边三角形；
(2)
解：当时，，
，，解得；
当时，，
，，解得，
∴当或时，是直角三角形；
(3)
证明：，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
17．
(1)
解：设l1的表达式是y=kx+b，将A，B坐标代入，得
，
解得：，
∴l1的表达式是y=x+1；
(2)
解：当时，l2的表达式是：，
即l2的表达式是：，
联立l1、 l2，得，
解得：，
∴点C的坐标为（）；
(3)
解：∵点P是线段BD上一动点（可与点B、D重合），
把D（4，1）代入直线：，得
4k+2-2k=1，
解得：k=-，
把B（0，1）代入直线：，得
2-2k=1，
解得：k=，
∴在点P的移动过程中：．
18．
(1)
解：令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=-3，
∴点A（-3，0），B（0，2）；
(2)
解：把点B（0，2），代入，得：
，解得：，
∴直线的表达式为y=-x+2；
(3)
解：∵点，
∴点，
∴，
∵点B（0，2），
∴OB=2，
∵EF＝OB，
∴，解得：．
19．
(1)
，
，
，
（，），（，）
直线的解析式为
则
解得：
直线的解析式为
(2)
如图，过点作轴于点，设直线的解析式为
解得：
直线经过点（，）
直线的解析式为
设点（，），直线的解析式为
则
解得：
直线的解析式为
（，）
，
点是的中点，且点与点的纵坐标相等
解得：或（舍去）
（，）
(3)
如图，过点作轴交于点，则点（，）
轴
在和中
（，），（，）
解得：或（舍去）
（，）
直线的解析式为
由题意可知：为等腰直角三角形，点在直线上，设点（，）
当，时
轴
轴
点的纵坐标与点的纵坐标相同，且点在直线上
解得：
（，）
点在直线：上
（，）
解得：
（，）
当，时，如图
设（，），则（，），（，）
，
解得：
（，）
当，时．如图，作于点，则
（，）
，，的纵坐标均为
设（，），（，）
（，）
解得：
为直线上一点，且位于点右侧
不符合题意，舍去
综上，点（，）或（，）
20．
(1)
解：∵△ACD和△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝4，∠MBN＝30°，
∴AC＝2，
∴BC＝，
∴BD＝CE＝，
故答案为：ABD，ACE，；
(2)
解：如下图，作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，连接CE，
∵AB＝4，∠MAN＝30°，
∴AH＝2，BH＝，
∵AC＝，
∴HC＝ ，
∴BC＝BH＋HC＝＋＝，
∴CE＝，
由（1）可知BD＝CE，
∴此时BD的长为；
(3)
解：如图，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，
∵EC'＝FC'＝BD，
∴此时BD＋AC'有最小值即为AF，
∴此时△ABD周长＝AD＋BD+AB＝AF＋AB最小，
作AG⊥BE于G，
∴AG∥BN，
∴∠BAG＝30°，
∴BG＝AB＝2，AG＝，
∴GF＝BG＋BF＝2＋4＝6，
由勾股定理得AF＝，
∴此时△ABD周长为：＋4．

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