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人教版八年级下册数学平行四边形期末压轴题训练
1．如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度是3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，求出t的值，若不存在，说明理由
2．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．
（1）求F点的坐标；
（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；
（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．
3．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，点D从C点出发沿着CA方向以2个单位每秒的速度向终点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1个单位每秒的速度向终点B运动．设点D，E的运动时间为t秒，DF⊥BC于F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）如图2，连接EF，AC＝12．
①是否存在t，使得四边形AEFD为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接DE，当△DEF是直角三角形时，求t的值．
4．已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．
（1）若E为CD的中点，于点O．
①如图1，求证：；
②如图2，连接OC，求的值；
（2）如图3，若，，则的最小值为_________（直接写出结果）．
5．在正方形中，连接，点在线段上，连接交于，过点作交于．
（1）如图①，求证：∠ABE+∠CMF=∠ACD；
（2）如图②，求证：BM=MF；
（3）如图③，连接BF，当AE:AD=1:2，AB=6时，求BF的长．
6．如图，四边形是正方形，点是线段的延长线上一点，点是线段上一点，连接，以点为直角顶点作交的角平分线于，过点作交于，连接，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
7．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，连接DF，且点M是DF的中点，连接MC、MG．
（1）在图1中，MC与MG的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　；
（2）如图2，将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”，其他条件不变，求证：MC＝MG；
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一直线上，连接DF，且点M是DF的中点，连接MC、MG，且∠ABC＝∠BEF＝60°求的值．
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8，延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒(t＞0)．
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在BC延长线上，AE平分∠BAD交CD于点F，点G为EF的中点，连接BG，CG，DG，△ABE的面积为S，△BGD的周长为l．
（1）求证：DF＝BC；
（2）若GF＝GC，试判断△DFG与△BCG是否全等，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若EC＝2，S＝32，求l．
10．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BCx轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（1）如图1，是正方形的对角线，是上一点，，，交于点，，交于点，猜想与的数量关系是__________；
（2）将图1中的按顺时针旋转一定角度到图2的位置，使交于点，交于点，猜想与的的数量关系，并证明；
（3）如图3，将图2的正方形换成菱形，，是上一点，，使交于点，交于点，且，求四边形的面积．
12．如图，四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形，DE与BG交于点H，BG与AE交于点M．
（1）求证：BG＝DE；
（2）求证：DH2＋GH2＝DG2；
（3）将正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2大小关系，并证明你的结论．
13．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE＝BF，连接DE过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是　 　 ，位置关系是　 　 ．
（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请写出判断并予以证明；
（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？如果成立，直接写出结论；如果不成立，说明理由．
14．已知正方形ABCD的边BC上有两点E、F，连接AE、DF相交于点P．
（1）如图1，当PF＝PE时，求证：PA＝PD；
（2）如图2，连接BP，BP延长线交CD于点G，当AP＝AB时，求∠DPG的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BC到M，使CM＝CF，以DC、CM为邻边作矩形DCMN，延长BG交MN于点Q，当PE＝2，QM＝6时，求AB的长．
15．（1）尝试探究：
如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F．
①求证：△CDE≌△CBF；
②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长．
16．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动．点从点出发以的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时．两点同时停止运动．若设运动时间为
（1）直接写出：______，______；（用含的式子表示）
（2）当为何值时，四边形为平行四边形？试说明理由．
（3）若点与点不重合，且，当为何值时，是等腰三角形？
17．如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
18．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接．
（1）如图1，当点在边上时，填空：
①与的数量关系是___________，
②与的位置关系是___________；
（2）如图2，当点在菱形外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在点的移动过程中，连接，，若，，请直接写出四边形的面积值．
19．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
20．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，．
（1）如图1，若，则的度数为 ；
（2）如图2，作平分交于E．
①求的度数；
②猜想，，之间有何数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若，则四边形的面积为 平方单位
答案
1．
解：（1）是等边三角形，
，
，
，
，
，
由题意得：，，则，
，
解得：，
当为时，；
（2）过点作于，过点作于，如图1所示：
，
是等边三角形，
，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
当点在线段上时，与的关系式为：；
（3）存在，理由如下：
①当四边形是平行四边形时，如图2所示：
则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②当四边形是平行四边形时，如图3所示：
则，
同①得：是等边三角形，
，
，
，
，
；
综上所述，当为或时，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
2．
解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3，
∴点E坐标是（，7），
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝，BE＝BC CE＝，
∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处，
∴EF＝CE＝，
∴BF＝，
∴AF＝7 2＝5，
∴点F（4，5）；
（2）如图2中，连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，
当四边形PEFD是矩形时，△PDE≌△FDE≌△CED，
设OD=x，则CD=DF=7-x，FM=7-2-x=5-x，
在中，，解得：x=2，
∴D（0，2），
∵E（，7），DJ＝JE，
∴J（，），
∵PJ＝JF，
∴P（ ，4）；
（3）①当DF为菱形的对角线时，M、N分别在AB与OC上， ND=NF，
设N（0，y），
∴(y-2)2=，解得：，
∴N（0，），FM=DN=-2=,
∴AM=5-=，
∴M（4，）；
②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合， ND=DF=5，
∴MF=5，AM=5+5=10，
∴M（4，10），N（0，7）；
③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合， ND=DF=5，
∴ON=5-2=3，
∴N（0，-3），M（4，0）．
综上所述：M，N的坐标为：（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．
3．
解：（1）如图1，
∵∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t，
又∵AE＝t，
∴AE＝DF．
（2）①存在．
理由如下：如图2①，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AC＝12，
∴AD＝AC﹣DC＝12﹣2t，
若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
∴t＝12﹣2t，
解得：t＝4，
∴当t＝4时，四边形AEFD为菱形．
②如图2②，
（i）若∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠AED中，∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，
即12﹣2t＝2t，
解得：t＝3．
（ii）若∠DEF＝90°时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠AED＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AE，
∴12﹣2t＝t，
解得：t＝．
（iii）若∠DEF＝90°时，此种情况不存在，
综上所述，当t＝3或t＝时，△DEF为直角三角形．
4．
（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴，
在△ADE和△DCF中，，
∴，
∴，
∵E为CD的中点，
∴，
∴，
∴BF=CF．
②如图，过点C分别作于H，
∵∠FCH+∠CFD=90°，∠EDO+∠CFD=90°，
∴∠EDO=∠FCH，
在△CHF和△DOE中，，
∴，
∴，
∵，，
∴AE//CH，
∵点E为CD中点，
∴OE为△CDH的中位线，
∴OD=OH，DH=2OH，
∴CH=OH，
∴△OHC是等腰直角三角形，
∴，
在△ADO和△DHC中，，
∴，
∴，，
∴．
（2）如图，延长DC到P使CD=CP，连接AP，交BC于F，
在△ADE和△ABF中，，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，
∵∠BCD=90°，CD=CP，
∴DF=PF，
∴AE+DF=AF+PF=AP，
∵点A、F、P在一条直线上，
∴AP的长为AE+DF的最小值，
∵，
∴AD=CD=，DP=2AD=，
∴AP==，即AE+DF的最小值为．
故答案为：
5．
（1）证明：如图①中，
在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠ABE，
∵FM⊥BE，
∴∠BMF=90°，
∴∠CMF+∠CMB=90°，
∴∠CMB=90°-∠CMF，
∴∠AME=∠CMB=90°-∠CMF，
在△AME中，∠EAM+∠AME+∠AEM=180°，
∴∠EAM+（90°-∠CMF）+（90°-∠ABE）=180°，
∴∠ABE+∠CMF=∠EAM，
∴∠ABE+∠CMF=∠ACD；
（2）证明：如图②中，作MH∥BC交CD于H，交AB于G．
∵GH∥BC，
∴∠AGH=∠ABC=90°，∠GHD=∠DCB=90°，
∴∠GBC=∠CHG=∠GBC=90°，
∴四边形BGHC是矩形，
∴CH=BG，
∵∠HCM=∠CMH=45°，
∴HM=CH，则MH=BG，
∵∠BMF=90°，
∴∠BMG+∠HMF=90°，∠HMF+∠MFH=90°，
∴∠BMG=∠MFH，
∴△BGM≌△MHF（AAS），
∴BM=FM；
（3）解：如图③中，延长DC到P，使得CP=AE，连接EF，BP．
∵AB=BC，∠BAE=∠BCP=90°，AE=CP，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴BE=BP，∠ABE=∠CBP，
∵∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°，
∴∠CBP+∠EBC=90°，即∠EBP=90°，
∵BM=MF，∠BMF=90°，
∴∠MBF=45°，
∴∠PBF=∠EBF=45°，
∵BF=BF，
∴△BEF≌△BPF（SAS），
∴EF=PF，
∵AE:AD=1:2，
∴AE=DE=AD，
∵BC=AD=CD=AB=6，
∴AE=DE=3，
设CF=m，则DF=6-m，PF=3+m．
∵EF=PF，
∴EF=3+m，
在Rt△DEF中，∵EF2=DE2+DF2，
∴32+(6-m)2=(3+m)2，
解得m=2，即CF=2，
在Rt△BCF中，BF=．
6．
（1）证明：在边上截取线段，使连．
∵四边形是正方形
;
∵BN平分
在中,,
在和中
∴
．
（2）如图，
设与CE的交点为H，
∵四边形是正方形
∴
∵
在和中，
∴．
又，
又．
四边形为平行四边形．
．
（3）解：如图所示，过作垂足为．
由（2）知，
，
又
∴即
平分所以，
∴三角形是等腰直角三角形，
在中，
设，则，即，
．
，，
在中，，
又在中，，，
．
7．
解：（1）MC⊥MG且MC=MG；
理由：如图1，延长GM交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDM=∠GFM，
∵点M是DF的中点，
∴DM=FM，
在△DHM和△FGM中，
，
∴△DHM≌△FGM（ASA），
∴DH=FG，MH=MG，
∴DC-DH=BC-BG，
即HC=GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵MH=MG，
∴MC⊥MG且MC=MG；
故答案为：MC⊥MG，MC=MG；
（2）如图2，延长GM交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDM=∠GFM，
∵点M是DF的中点，
∴DM=FM，
在△DHM和△FGM中，
，
∴△DHM≌△FGM（ASA），
∴MH=MG=HG，
∵∠DCB=90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CM=HG，
∴MG=MC；
（3）如图3，延长GM交DC于点H，
∵点M是DF的中点，
∴DM=FM，
∵四边形ABCD和BEFG是菱形，点A、B、E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠CDM=∠GFM，
在△DHM和△FGM中，
，
∴△DHM≌△FGM（ASA），
∴HM=GM，DH=FG，
∵CD=CB，FG=GB，
∴CD-DH=CB-FG，
即CH=CG，
∴△HCG是等腰三角形，
∴MC⊥MG，∠HCM=∠GCM，
∴∠CMG=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴∠CGM=90°-∠GCM=30°，
∴Rt△CPG中，CG=2MC，由勾股定理得：MC2+MG2=CG2，
∴MC2+MG2=（2MC）2，
∴MC=MG，
∴．
8．
解：（1）∵动点P的运动速度为2单位/秒，
∴BP＝2t，
∴当t＝3时，
BP＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
如图1，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝8﹣4＝4，
∴点P运动到∠ABC的角平分线上时，
BC＋DC＋DF＝8＋4＋4＝16，
∴t＝16÷2＝8，
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）∵BC＋CD＝8＋4＝12
∴当0＜t＜6时，点P在BC上和CD上，
分两种情况讨论：
①当点P在BC上运动时， ，
过点A作AM⊥BE，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝3，
,
此时，S＝S△ABP＝×BP×AM＝×2t×＝t()；
②当点P在CD上运动时，4＜t＜6，如图，
△ABP的面积为定值，且等于平行四边形ABCD面积的一半，
此时，S＝S△ABP＝×BC×AM＝×8×＝(4＜t＜6)；
综上，S＝；
（4）①当点P运动到∠BAD的角平分线上时，
连接AP，过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，
此时PM＝PN，即点P到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB，
又∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝2t＝BA＝4，
解得：t＝2，
②当点P与运动到CD边上时，过点P作PM⊥AD，PN⊥DE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝∠B＝60°，
又∵CD＝CE＝4，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠CDE，即CD平分∠ADE，
∴当4≤t＜6时，点P在∠ADC的角平分线上运动，
此时，点P到四边形ABED相邻两边AD和DE的距离相等．
综上：t＝2或 时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
9．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD= BC AB // DC ，
∴．
∵ AE 平分，
∴，
∴，
∴ DF =DA，
∴ DF =BC．
（2）解：△DFG≌△BCG．
理由：∵点G 为 EF 的中点，GF = GC ，
∴ GE = GF =GC ，
∴，
∴，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC ，
∴，
∴，
∴．
在△DFG 和△BCG 中，
∴△DFG≌△BCG（SAS）．
（3）解：由（2）知，∠DCB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
由（2）知，
∴△ECF和△ABE是等腰直角三角形，
∴CG⊥EF，即∠CGB+∠BGF=90°
∴△BGD 是等腰直角三角形．
在等腰直角三角形 ABE 中，
∴ AB = BE =8 ．
在Rt△ABC 中，，
在等腰直角三角形 BGD 中，
10．
解：（1），
，
，
根据平面直角坐标系得，
，
（2）如图1，当运动3秒时，点运动了6个单位长度，
，
点运动3秒时，点在线段上，且，
点的坐标是，
过点作的平行线，交于点，
根据平行线的性质，内错角相等可得，
，
．
（3）存在，
如图2，，
点可能运动到或或上，
①当点运动到上时，，
，，
，
解得：，
,
点的坐标为；
②当点运动到上时，，即，点到的距离为4，
，
解得：，
，
不符合题意；
③当点运动到上时，，即，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，点的坐标为：或．
11．
解：（1）结论：PM=PN．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM=PN．
故答案为：PM=PN．
（2）结论：PM=PN．
理由：如图2中，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，
∵PF⊥AB，PE⊥BC，
∴PE=PF，
∵∠PEB=∠PFB=∠EBF=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠MPF=∠NPE，
∵∠PFM=∠PEN=90°，
∴△PEN≌△PFM（AAS），
∴PM=PN．
（3）如图3中，过点P作PQ⊥BC于Q，PR⊥AB于R．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，即∠PBA=∠PBC=30°，
∵PQ⊥BC，PR⊥AB，
∴PQ=PR=PB=3，
∴BR=BQ=，
∵∠ABC=60°，∠PQB=∠PRB=90°，
∴∠QPR=360°-60°-2×90°=120°，
∵∠MPN=120°，
∴∠MPN=∠QPR，
∴∠MPR=∠NPQ，
∵∠PRM=∠PQN=90°，
∴△PRM≌△PQN（AAS），
∴S△PRM=S△PQN，
∴S四边形PMBN=S四边形PRBQ=2××PR×BR=．
12．
解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AG＝AE，AB＝AD，
∴∠BAD＋∠BAE＝∠EAG＋∠BAE，
即∠EAD＝∠GAB，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴BG＝DE；
（2）证明：由（1）知△EAD≌△GAB，
∴∠BGA＝∠DEA，
∵∠BGA＋∠GMA＝90°，∠AMG＝∠EMH，
∴∠DEA＋∠EMH＝90°，
∴BG⊥DE，
∴DH2＋GH2＝DG2；
（3）当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°＜∠BAE＜180°时，S1＝S2.
证明如下：①当0°＜∠BAE＜90°时，如图1，
过点D作DP⊥GA交GA的延长线于P，过点B作BN⊥AE交AE的延长线于N．
∵∠PAN＝∠BAD＝90°，
∴∠NAB＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠PAD＝90°，
∴∠NAB＝∠PAD，
又∠ANB＝∠APD＝90°，且AB＝AD，
∴△ANB≌△APD（SAS），
∴BN＝DP，
又∵AE＝AG，
∴AE BM＝AG DN，
∴S1＝S2；
②当∠BAE＝90°时，如图2，
∵AE＝AG，∠BAE＝∠DAG＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴S1＝S2；
③当90°＜∠BAE＜180°时，如图3，
过点B作BN⊥直线AE于点N，过点D作DP⊥直线AG的延长线于点P．
则∠ANB＝∠APD＝90°，
由正方形ABCD，得到∠BAD＝90°，且AB＝AD，
∵∠PAN＝∠BAD＝90°，
∴∠NAB＋∠DAN＝90°，∠DAP＋∠DAN＝90°，
∴∠NAB＝∠DAP，
∴△ANB≌△APD（AAS），
∴BN＝DP，
又∵AE＝AG，
∴AE BN＝AG DP，
∴S1＝S2，
综上所述，在（3）的条件下，总有S1＝S2．
13．
解：（1）FG=CE，FG∥CE；
理由：如图1中，设DE与CF交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC．
（2）结论仍然成立．
过点G作GH⊥CB的延长线于点H，
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE与△CED中，
，
∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，
∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四边形GHBF是矩形，
∴GF=BH，FG∥CH，
∴FG∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；
（3）成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，
在△CBF与△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四边形CEGF平行四边形，
∴FG∥CE，FG=CE．
14．
证明（1）∵PF＝PE，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP＝∠AEF，∠ADP＝∠PFE，
∴∠DAP＝∠ADP，
∴AP＝DP；
（2）∵AP＝AB＝AD，
∴∠ABP＝∠APB，∠APD＝∠ADP，
∵∠BAP+∠DAP＝90°，
∴∠ABP+∠APB+∠APD+∠ADP＝270°，
∴∠BPA+∠APD＝135°，
∴∠DPG＝45°；
（3）如图，连接CN交于 ，过点N作NL⊥DI于L，NK⊥GQ于K，过点C作CH⊥CI，交BG于H，
∵CM∥DN，CM＝CF＝DN，
∴四边形DFCN是平行四边形，
∴∠NIK＝∠DPQ＝∠HIC＝45°，
∴△HCI是等腰直角三角形，
∴CH＝CI，∠HCI＝∠BCD，
∴∠BCH＝∠DCI，
∴△BCH≌△DCI（SAS），
∴∠DIC＝∠BHC＝135°，
∴∠DIH＝90°，
∴NI是∠DIQ的角平分线，
∴NL＝NK，
∵∠NLI＝∠NKI＝∠LIQ＝90°，
∴四边形LIKN是矩形，
∴∠LNK＝90°，
∴∠DNL＝∠KNQ，
∴△DNL≌△QNK（ASA），
∴DN＝NQ，
∵DN＝CF，
∴CF＝NQ，
∴BF＝BC﹣CF＝MN﹣NQ＝MQ＝6，
∵AP＝AB＝AD，
∴∠APD＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝DFE，
∴DFE＝∠FPE，
∴EF＝PE＝2，
∴BE＝8，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2+BE2＝AE2，
∴AB2+82＝（AB+2）2，
解得：AB＝15．
15．
解：（1）如图1中，
在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠DCB＝∠ECF＝90°
∴∠DCE＝∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（ASA）．
（2）结论：PE＝PF．
理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF，
∴CE＝CF，
∵PC＝PC，∠PCE＝∠PCF，
∴△PCE≌△PCF（SAS），
∴PE＝PF．
（3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，∠EDH＝45°，
∵EH⊥AD，
∴∠DEH＝∠A＝90°，
∴EH∥AF，DE＝EH＝2，
∵△CDE≌△CBF，
∴DE＝BF＝2，
∴EH＝BF，
∵∠EHM＝∠MBF，∠EMH＝∠FMB，
∴△EMH≌△FMB（AAS），
∵EM＝FM，
∵CE＝CF，
∴PC垂直平分线段EF，
∴PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，
在Rt△APE中，则有（x+2）2＝42+（6﹣x）2，
∴x＝3，
∴PB＝3．
16．
解：（1）由运动知，，，
，，
，，
故答案为，；
（2）四边形是平行四边形，而，
，
由（1）知，，，
，
，
即：时，四边形是平行四边形；
（3）由（1）知．，，，，
是等腰三角形，且，
①当时，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
②当时，如图，
Ⅰ、过点作于，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
点在边上，不和重合，
，
，
此种情况符合题意，
即：或秒时，是等腰三角形．
17．
解：（1）OE=OF，
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）不可能．
如图所示，连接BF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形；
（4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，
则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
18．
解：（1）①如图1，连接
连接AC，在菱形ABCD中，AB＝CB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝180° ∠ABC＝120°，
∵△PAE是等边三角形，且点E在边AD上，
∴AP＝AE，∠DAP＝60°，
∴∠BAP＝∠BAD ∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴点P在AC上，
在△ABP和△ACE中，，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，
故答案为：BP＝CE；
②连接AC，如图1，由①知，点P在AC上，
∵BD，AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，
∴∠APB＝90°，
由①知，△ABP≌△ACE，
∴∠AEC＝∠APB＝90°，
∴CE⊥AD，
故答案为CE⊥AD；
（2）结论仍然成立．
理由：Ⅰ、当点P在线段BD上时，如图2，
连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠PBA＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD．
Ⅱ、当点P在BD的延长线上时，如图3，
连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
在△BAP和△CAE中，，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD．
（3）由（2）知，BD⊥AC，∴∠AOB＝90°
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD＝2OB，
，
在Rt△AOB中，AB＝2，
∴OA＝1，OB＝，
∴BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，
Ⅰ、当点P在线段BD上时，如图4，
∵DP＝1，
∴BP＝BD DP＝2 1，
由（2）知，CE＝BP，
∴CE＝2 1，
∴S四边形ACDE＝S△ACE＋S△DCE＝CE AH＋CE DH＝CE （AH＋DH）＝CE AD＝（2 1）×2＝2 1；
Ⅱ、当点P在线段BD的延长线上时，如图5，
∵DP＝1，
∴BP＝BD＋DP＝2＋1，
由（2）知，CE＝BP，
∴CE＝2＋1，
∴S四边形ACDE＝S△ACE＋S△DCE＝CE AH＋CE DH＝CE （AH＋DH）＝CE AD
＝（2＋1）×2＝2＋1，
即四边形ACDE的面积为2＋1或2 1．
19．
解：（1）如图1，过点作于点，
四边形是边长为2的正方形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
又，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，
又，
，
，即，
，
中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：
如图2，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
分别由勾股定理得：
，，
，
；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，
，为中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
此时，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
20．
（1）解：（1）∵CP＝CD＝PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°＝∠DPC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，
∴∠BCP＝150°，
∴∠CPB＝15°，
∴∠BPD＝45°，
故答案为：45°；
（2）①设，∠PCD=2α，
，
平分．
即，
即
②连，作交于F，则为等腰直角三角形,,,
,
,
,， 为公共边
,
,
；
（3）如图3，过点C作CE平分∠DCP，交BP于E，连接DE，过点C作CF⊥CE，交BP于F，CH⊥BP于H，
由（2）可知：DE＝EP＝BF，△CEF是等腰直角三角形，
∵CH⊥BP，
∴CH＝EF，
∵四边形PCBD的面积＝S△BDP+S△BCP，
∴四边形PCBD的面积＝×6×DE+×6×CH＝3DE+3×（6﹣2DE）＝9，
故答案为9．

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