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2020年高考数学真题分类汇编专题09：三角函数
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数f(x)=sinx+ ，则（　　）
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称
D．f(x)的图像关于直线 对称
2．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2020·新课标Ⅲ·文）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
4．（2020·新课标Ⅲ·理）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·新课标Ⅲ·理）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（　　）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
6．（2020·新课标Ⅱ·理）若α为第四象限角，则（　　）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
7．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020·天津）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
二、多选题
10．（2020·新高考Ⅰ）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2020·新课标Ⅲ·理）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是　 　．
12．（2020·新课标Ⅱ·文）若 ，则 　 　．
13．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=　 　.
14．（2020·江苏）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　 　.
15．（2020·江苏）已知 = ，则 的值是　 　.
16．（2020·北京）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为　 　．
17．（2020·浙江）已知tanθ＝2，则cos2θ＝　 　；tan（θ﹣ ）＝　 　．
四、解答题
18．（2020·新高考Ⅰ）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ▲
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（2020·新课标Ⅱ·文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
20．（2020·新课标Ⅰ·文） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
21．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
22．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
23．（2020·天津）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
24．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
25．（2020·北京）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
26．（2020·浙江）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 可以为负，所以A不符合题意；
关于原点对称；
B不符合题意；
关于直线 对称，C不符合题意，D对
故答案为：D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
2．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
3．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设
故答案为：C
【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
4．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
5．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】当 时， ，B不符合题意；
当 时， ，A不符合题意；
由 在第四象限可得： ，则 ，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
7．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故答案为：A.
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
9．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故答案为：B.
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；诱导公式
【解析】【解答】由函数图象可知： ，则 ，所以不选A，
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故答案为：BC.
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
11．【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
14．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
当 时
故答案为：
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
16．【答案】 （ 均可）
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得 ，即可解出.
17．【答案】﹣ ；
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：tanθ＝2，
则cos2θ＝ ＝ ＝ ＝﹣ ．
tan（θ﹣ ）＝ ＝ ＝ ．
故答案为：﹣ ；
【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．
18．【答案】解：解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 .
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾.
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
19．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为 ，即可解出；（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
20．【答案】（1）解：由余弦定理可得 ，
的面积 ；
（2）解： ，
，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知角B和b边，结合 关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出 ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
21．【答案】（1）解：由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
（3）解：结合(2)的结论有：
.
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
22．【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
23．【答案】解：（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得
，
又因为 ，所以 ；
（Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
（Ⅲ）由 知角A为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可.
24．【答案】（1）解：由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
（2）解：由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值.
25．【答案】解：选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求 ，最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 ，再根据三角形面积公式求结果.
26．【答案】解：（Ⅰ）∵2bsinA＝ a，
∴2sinBsinA＝ sinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝ ，
∵ ＜B＜ ，
∴B＝ ，
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，B＝ ，
∴C＝ ﹣A，
∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（ ﹣A）+cos ＝cosA﹣ cosA+ sinA+ ＝ cosA+ sinA+ ＝sin（A+ ）+ ，
△ABC为锐角三角形，0＜A＜ ，0＜C＜ ，
解得 ＜A＜ ，
∴ ＜A+ ＜ ，
∴ ＜sin（A+ ）≤1，
∴ + ＜sin（A+ ）+1≤ ，
∴cosA+cosB+cosC的取值范围为（ ， ]．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB＝ ，结合角的范围，即可求出，（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．
1 / 12020年高考数学真题分类汇编专题09：三角函数
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·文）已知函数f(x)=sinx+ ，则（　　）
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称
D．f(x)的图像关于直线 对称
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 可以为负，所以A不符合题意；
关于原点对称；
B不符合题意；
关于直线 对称，C不符合题意，D对
故答案为：D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
2．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
3．（2020·新课标Ⅲ·文）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设
故答案为：C
【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
4．（2020·新课标Ⅲ·理）在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
5．（2020·新课标Ⅲ·理）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（　　）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：D.
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
6．（2020·新课标Ⅱ·理）若α为第四象限角，则（　　）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】当 时， ，B不符合题意；
当 时， ，A不符合题意；
由 在第四象限可得： ，则 ，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
7．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故答案为：A.
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
8．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
9．（2020·天津）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故答案为：B.
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
二、多选题
10．（2020·新高考Ⅰ）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；诱导公式
【解析】【解答】由函数图象可知： ，则 ，所以不选A，
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故答案为：BC.
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
三、填空题
11．（2020·新课标Ⅲ·理）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是　 　．
【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
12．（2020·新课标Ⅱ·文）若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
13．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
14．（2020·江苏）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　 　.
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
当 时
故答案为：
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
15．（2020·江苏）已知 = ，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
16．（2020·北京）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为　 　．
【答案】 （ 均可）
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得 ，即可解出.
17．（2020·浙江）已知tanθ＝2，则cos2θ＝　 　；tan（θ﹣ ）＝　 　．
【答案】﹣ ；
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：tanθ＝2，
则cos2θ＝ ＝ ＝ ＝﹣ ．
tan（θ﹣ ）＝ ＝ ＝ ．
故答案为：﹣ ；
【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．
四、解答题
18．（2020·新高考Ⅰ）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ▲
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 .
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾.
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
19．（2020·新课标Ⅱ·文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为 ，即可解出；（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
20．（2020·新课标Ⅰ·文） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
【答案】（1）解：由余弦定理可得 ，
的面积 ；
（2）解： ，
，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知角B和b边，结合 关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出 ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
21．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
【答案】（1）解：由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
（3）解：结合(2)的结论有：
.
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
22．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
23．（2020·天津）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
【答案】解：（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得
，
又因为 ，所以 ；
（Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
（Ⅲ）由 知角A为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可.
24．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【答案】（1）解：由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
（2）解：由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值.
25．（2020·北京）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求 ，最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 ，再根据三角形面积公式求结果.
26．（2020·浙江）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵2bsinA＝ a，
∴2sinBsinA＝ sinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝ ，
∵ ＜B＜ ，
∴B＝ ，
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，B＝ ，
∴C＝ ﹣A，
∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（ ﹣A）+cos ＝cosA﹣ cosA+ sinA+ ＝ cosA+ sinA+ ＝sin（A+ ）+ ，
△ABC为锐角三角形，0＜A＜ ，0＜C＜ ，
解得 ＜A＜ ，
∴ ＜A+ ＜ ，
∴ ＜sin（A+ ）≤1，
∴ + ＜sin（A+ ）+1≤ ，
∴cosA+cosB+cosC的取值范围为（ ， ]．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB＝ ，结合角的范围，即可求出，（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．
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