资源简介

第7章 静电场
任何电荷周围都存在电场，相对观察者静止的电荷产生的电场成为静电场。本章从反映电荷之间相互作用的实验定律——库仑定律出发，以两个角度为切入点：位于电场中的电荷受到电场力的作用和电荷在电场中移动时电场力对电荷做功，引入描述电场的基本物理量——电场强度和电势，并讨论其计算方法和二者的相互关系；从电场叠加原理出发，引入描述静电场基本性质的方程：高斯定理和环路定理；最后讨论导体存在时对电场分布的影响、电容器的电容和静电场的能量问题。
通过本章学习，掌握电场强度和电势的概念，以及电场强度和电势的计算方法；理解静电场的基本规律：高斯定理和环路定理，掌握应用高斯定理计算电场强度的条件和方法；了解导体和电介质与电场的相互影响。初步掌握有关电容和电场能量的基本知识。
7.1 电荷 库仑定律
7.1.1 电荷及其守恒定律
人类在社会实践中发现，两种不同材料构成的物体，如毛皮和硬橡胶棒、丝绸和玻璃棒，互相摩擦后都能吸引轻微物体。相互摩擦后的两种物体能够吸引轻微物体是由于他们带了电荷（electric charge）。带有电荷的多少，称为电荷量，简称为电量(electric quantity)。电量的量值只能通过该电荷所产生的效应来计量。在国际单位制里，电量的单位是库仑（C）。
实验证明，电荷分为两种类型，电荷间有相互作用力；同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。美国物理学家富兰克林（B.Franklin）首先提出正电荷（positive charge）和负电荷（negative charge）的名称，规定丝绸摩擦过的玻璃棒上的电荷为正电荷，毛皮摩擦过的硬橡胶棒上的电荷为负电荷。
根据现代物理学关于物质结构的理论，物质是由原子组成的，原子是由带正电的原子核和核外运动的带负电的电子（electron）构成。原子核内有质子和中子，中子不带电，质子带正电，且与电子所带的电量相等。在正常状态下，原子中的电子数与质子数相等，原子呈现电中性，由此构成的的物质也将呈现电中性。由于某种外界因素的作用（如光照、碰撞、摩擦等），物体会失去或得到一部分电子，物体对外呈现电性。失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电。实验表明：一个与外界没有电荷交换的系统，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变，称之为电荷守恒定律（conservation law of charge）。
实验表明，物体的电量与它的运动状态无关，即：在不同的参照系内观察，物体的电量不变，这个结论称为电荷的相对论不变性。
诸多实验证明，物体的电量是一个基本单元的整数倍，这称为电荷的量子化（quantization of charge）。电荷量的基本单元就是电子电量的绝对值。1913年美国物理学家密立根（R. A. Millikan）设计了著名的油滴实验，测出了基本单元的电荷量。1998年该量值的推荐数据是
近代物理学从理论上预言某些粒子（如质子、中子等）若干种夸克（quark）或反夸克组成，每个夸克或反夸克可能带有或的电量。这个预言并不影响电荷量子化的结论，而且由于夸克的禁闭，至今还没有在实验上发现自由状态的夸克。
在宏观电磁现象中，带电体（electrified body）的电量往往是基本单元电荷量的很大倍数，以至于电荷的量子化特性并不突出，我们可以认为电荷是连续分布在带电体上。
为方便对带电体的描述和相互作用规律的表示，习惯上引入点电荷（point charge）的概念。
当带电体本身的几何线度与它到观察点的距离相比小得多时，其形状、大小、电荷分布形态等均可忽略，可以视为一个带电的点，称之为点电荷。应当明确，点电荷是一个相对得概念。一个带电体能否看成点电荷，与考察问题得具体情况、要求精度有关。一般而言，我们可以将一个连续分布的带电体看成诸多点电荷得组成。
【前沿进展】1964年，美国物理学家盖尔曼（M.Gell-Mann）提出了强子（参与强相互作用的粒子）结构的夸克模型，认为强子是由三种更基本的粒子组成，称之为夸克。这三种夸克分别是上夸克、下夸克、奇异夸克，分别用符号u、d、s表示。若以电子电荷作为单位，为了组成电荷为正负整数或是零的强子，夸克必然携带分数电荷。其中，u夸克为，d夸克和s夸克为。按照这个模型，构成当时已知的所有强子，如质子与中子结构是
1974年11月，在布鲁克海文实验室工作的丁肇中小组和在斯坦福直线加速器中心工作的利克特（B.Richter）小组几乎同时宣布发现了一种新的粒子，称为粒子。为解释其组成而引入了第四个夸克c，称为粲夸克。1977年费米实验室用400GeV质子加速器产生的质子轰击铂和铜靶，发现了被命名为的新粒子。该粒子具有的质量不可能由前面四种夸克组成，被认为是由一个b夸克和相应的反夸克结合构成的。第六个夸克（也称为顶夸克）是费米实验室在1995年利用现今世界上能量最高的质子反质子对撞机发现的。
科学家们根据夸克和轻子的对称性推测，构成强子的夸克一共有6种（不含反夸克），迄今已经都被发现，它们具有的质量和携带的电荷列于下表中。
表7.1 夸克的质量和电荷
u d s c b t
质量(MeV/c2) 约4 约7 约1.5×102 约1.5×103 约4.7×103 约1.86×105
电荷
7.1.2 库仑定律
1785年法国物理学家库仑（C.A.de Coulomb）利用扭枰实验直接测定了两个带电球体之间的相互作用的电力（electric force），也称为库仑力（Coulombian force）。在其实验的基础上，库仑确定了两个点电荷之间相互作用的规律，即库仑定律（Coulomb s law）。其内容表述是：
在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们电荷电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线并且同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。
如图7.1所示，有两个点电荷，其电量分别为和，设矢量由指向，则所受的库仑力为
（7.1）
式中，r是矢量的大小，即两个点电荷之间的距离；是矢量的单位矢量；k为比例系数，由实验确定，其数值和单位取决于上式中各量的单位，在国际单位制中
为了使电磁学中的大量公式简化，我们定义一个新的常数，即
称为真空介电常量（dielectric constant of vacuum），或真空电容率（permittivity of vacuum），它是电磁学的一个基本物理常数。于是库仑定律的数学表达式改写为
（7.2）
从库仑定律的数学表达式可以看出，当和同号时，的受力方向与同向，表示为排斥力，反之则是吸引力。因此，上面的数学表达式不仅表示了库仑的大小而且也表示了库仑力的方向。根据定律的约定，如果要计算对的库仑力，只需将反向即得。在这个意义上讲，库仑定律给出的库仑力仍然满足牛顿第三定律，即作用力与反作用力大小相等方向相反。
库仑定律的建立标志着电学定量研究的开始，它是关于一种基本力的定律。近代物理学实验证明，库仑定律在两个点电荷的距离小到或大到时都是成立的。这说明库仑力是一种长程力，可以认为在更大的范围内库仑定律都成立。
【著名实验】1785年法国物理学家库仑设计并自制了一台精巧的扭秤，如图7.2所示。在一个直径和高均是12英寸的圆柱形玻璃筒上端装有一只高为24英寸的玻璃管，并在其顶端放置一个夹持银质悬丝的分度头。悬丝下挂一横杆，杆的一端有一小球A，另一端有平衡物P，A球旁边有另一固定小球B。大圆筒中间壁上刻有分度标记，零点正对着顶部分度头零点。当悬丝没有扭转时，A球处于位置，悬丝顶端的小指针指为。当A、B两球带同号电荷时，互相排斥，彼此分开。库仑作了三次数据记录：
第一次：分度头指针指示，两球相距，悬丝扭转角是；
第二次：利用分度头标记将悬丝沿着使两球接近的方向转过1200，此时两球相距180，即悬丝扭转角是；
第三次：将悬丝沿着使两球接近的方向转过5670，此时两球相距8.50，即悬丝扭转角是575.50。
在力臂保持固定时，扭力与转角成正比，即两球的库仑排斥力与转角成正比。比较第一次和第二次的结果，两个小球的距离缩短一半，扭力增大4倍，即库仑排斥力的值与距离的平方成反比。第三次的数据有点出入，相差，库仑解释为小球漏电的结果。其后，库仑又做了一系列同样的试验，共同的结论是：同种电荷之间的斥力与它们的距离平方成反比关系。后来，库仑又将这个结论推广到异种电荷的引力情况。
库仑试验使人们得到电学中的第一个精确的定量规律，标志着电学从定性观察和实验阶段进入到定量研究阶段。
例7.1 氢原子在能量最低状态时，电子与原子核（一个质子）的距离是。比较两者之间的库仑力和万有引力的大小。
解 电子和质子的电量等量异号，数值是。电子质量，质子质量是。
由库仑定律，两者之间库仑力的大小是
由万有引力定律，两者之间万有引力的大小是
两种力的比值是
可见，在电子和质子之间万有引力远远小于库仑力。
7.2 电场 电场强度
7.2.1 电场
回顾经典力学中的力，如弹力、张力是如何作用的。例如，力学中物体受绳子的拉力时，绳子与物体是有接触的；一根木棒顶着一个重物，物体所受的支持力也是因为它与木棒有接触。对于真空中的两个带电体，在两个带电体之间并没有相互接触，但两者之间却有库仑力，这种相互作用力是怎么发生的呢？
在早期，人们认为两个电荷之间的相互作用力是一种超距作用。即一个电荷对另一个电荷的作用力是隔着一定空间直接给予的，不需要中间媒介，也不需要时间，可以表示为
法国物理学家法拉第（M.Faraday）最早提出了电场（electric field）的概念，以解决电荷间相互作用力的传递问题。其基本的观点是：电荷与电荷之间的相互作用不是超距离的，而是近距离的；一个电荷之所以对另一个电荷有作用力是因为电荷要产生一个场，当其它电荷处于这个场中时这个场就对其有作用力。这种作用方式可以表示为
法拉第的这个观点，完全为其后的科学实验和理论所证实。电场是一种客观存在物质形态，它的传播速度就是光速，是有限的量值。电场具有质量、动量和能量。
如果电荷是静止的，则空间就只有电荷产生的电场，称为静电场（electrostatic field）。静电场的性质、描述和分布规律是本章的主要讨论内容。
7.2.2 电场强度
电场的性质可以利用已知的实验结果来描述：它对引入到电场内某一点的电荷有电场力的作用。为此我们引入试验电荷（test charge），其满足如下要求：一是电量应当足够的小，它的引入不会明显影响产生电场的原来电荷（称为场源电荷）的分布，以至于原有电场的空间分布不会发生明显改变；二是它的线度必须足够的小，可以视为点电荷，以便于其空间位置是确定的。
设真空中有若干固定不动的点电荷、、、构成的带电系统，将实验电荷放入电场中。实验发现：放在电场不同位置时，试验电荷所受的电场力的大小和方向一般是不同的。但是在确定点处，试验电荷所受的电场力与电量的比值与电量无关，决定于带电系统的结构。因此比值反映了电场在空间不同点的性质，定义为电场强度（electrostatic field strength），用表示，即
（7.3）
上式表明，电场中某点的电场强度等于静止于该点单位正电荷所受的电场力。
在国际单位制中，场强单位是牛顿·库仑-1（）。在工程技术中常用伏特·米-1（）。可以证明，两者是等价的。
一般而言，空间不同点电场强度的大小和方向是不相同，其分布决定于场源电荷的分布。如果空间各点电场强度的大小和方向均相同，这种电场称为均匀电场。
根据力的矢量叠加性质，试验电荷在点电荷系内所受的电场力可以视为各个点电荷各自对作用力、、、的矢量和，即
两边除以，有
按场强定义，等式左边是总场强，右边各项是各个点电荷单独存在时产生的场强，所以，上式可以写为
（7.4）
上式说明：点电荷系电场中任一点处的场强等于各个点电荷单独存在时产生的场强的矢量和。这个结论称为场强叠加原理（superposition principle of electric field），是电场的基本性质之一。
如果电场中各点的电场强度已知，利用（7.3）式可以确定其中任意点处点电荷所受的电场力，有
（7.5）
7.2.3 电场强度的计算
一、点电荷产生的电场
在真空中，点电荷产生电场的规律可以通过库仑定律直接得到。如图（7.3）所示，一个静止的点电荷q在其周围产生电场，设场点P相对于q的位置矢量为。现在假设有一个试验电荷q0处于P点，根据库仑定律，试验电荷q0所受的电场力为
式中是矢径方向上的单位矢量。
根据电场强度定义，P点场强是
（7.6）
由上式可知，若q>0，则与同向，即在正电荷周围的电场中，任意一点的场强沿该点的矢径方向（见图7.3a）；若q<0，则与反向，即在负电荷周围的电场中，任意点的场强沿该点矢径的负方向（见图7.3b）。（7.6）式说明点电荷的电场具有球对称性，即在以q为心的任意球面上场强大小相等，方向均与该球面正交。在各向同性的自由空间内，一个本身无任何方向特征的点电荷的电场分布必然具有这种对称性。
二、点电荷系产生的电场
根据电场强度叠加原理，点电荷系所产生的总电场的场强应等于各个点电荷场强的矢量和。对于包含n个点电荷的点电荷系，第i个点电荷qi在场点P产生的场强为
式中，ri为场点P到点电荷qi的距离，为P到qi矢径的单位矢量。按场强叠加原理，总场强为
（7.7）
这就是点电荷系电场强度的计算公式。
三、连续带电体产生的电场
对于连续带电体所产生的电场，我们可以根据场强叠加原理和数学中的微积分方法计算它的电场强度。这种计算电场强度的方法叫做用叠加原理计算场强。
任何连续带电体可以通过微分，将其分成无限多个无限小的微元电荷，叫做电荷元，用表示。虽然电荷元有各种各样的选取方法，但理论上讲它总是可以视为点电荷的。如图7.4所示，我们任
取一个电荷元，由点电荷产生电场的规律，产生的场强为
图7.4中是指向场点P的矢量。式中r为的大小，为的单位矢量。不同的电荷元指向P点的矢量是不同的，因此是一个变量。再根据场强的叠加原理，带电体在P点处产生的总场强应该为各个电荷元在P点产生的场强的矢量和。这种无限多个无限小矢量的矢量和是一个矢量积分
（7.8）
积分遍及整个带电体。
在具体运算时，通常将在x、y、z三坐标轴方向分解，写出分量形式、、，再积分得出
则场强的数值是
最后判定出场强的方向。
在电荷元的选择上，需要根据带电体的几何形状、电荷分布情况选取不同形态的电荷元。一般有下面三种情况：
（1）带电体呈体分布的情况
如果电荷分布在一个体积内，我们称电荷是体分布的。常用于描写电荷体分布的物理量是电荷体密度（volume charge density），即单位体积内的电量，用ρ表示，其单位是库仑 米－3（）。如图7.5（a）所示，电荷元可以表示为
式中，表示元电荷所占据的体积元。
（2）带电体呈面分布的情况
如图7.5（b）所示，当电荷分布在某一个曲面上时，我们称电荷是面分布的。用于描写电荷面分布的物理量是电荷面密度（surface charge density），即单位面积上的电量，用符号σ表示,其单位是库仑 米－2（）。
真实的面分布在实质上都是体分布的，但如果电荷分布很薄，其厚度在所讨论问题中可以忽略，则可以把它作为面分布处理。在这种情况下，我们只需要对带电面进行微分，所得到的电荷元与一个面积元相对应。即
　　
这里表示元电荷所对应的面积元。
（3）带电体呈线分布的情况
有时电荷分布在一个细长的物体上，如图7.5（c）所示。在这种情况下，通常可以忽略带电体的粗细而只考虑其长度，这不会对所讨论的问题产生影响，此时的带电体即是呈线分布的。
用于描写电荷线分布的物理量是电荷线密度（linear charge density），即单位长度上的电量，用符号λ表示，其单位是库仑 米－1（）。在这种情况下，电荷元一定与一个线元相对应，即
式中，表示电荷元所对应线元的长度。
值得注意的是，上面所讨论的三种情况下的积分都是定积分，都有相应的积分范围，在具体应用的时候应注意这一点。
例7.2 计算电偶极子轴线上和中垂线上各点的电场强度。
解 相隔较近距离的两个等量异号的点电荷（）所组成的点电荷系统叫电偶极子（electric dipole）。电偶极子的电偶电矩（electric dipole moment）大小等于电偶极子的电量乘以它们的距离，方向由负电荷指向正电荷。即
　　
（1）电偶极子轴线上一点A的电场强度
如图7.6（a）所示，取电偶极子轴线的中点O到A点的距离是，点电荷在A点产生的电场强度的大小分别是
两者方向在轴线上，但方向相反。所以A点的总电场强度是
若满足，有
的方向与电矩的方向一致。
（2）电偶极子中垂线上一点B的电场强度
如图7.6（b）所示。设中垂线上任意一点B相对于+q和-q的位置矢量分别为和，且。
+q和-q在B点处产生场强的大小相同，即
方向分别在+q和-q到B点的连线上，前者背向，后者指向。
设连线与电偶极子轴线之间的夹角是，则B点的总场强的大小为
因为
所以
若满足，有
其方向与电矩的方向相反。
例7.3 试求一均匀带电直线外任意一点处的场强。设直线长为L（图7.7所示），电荷线密度（即单位长度上的电荷）为（设）。设直线外场点P到直线的垂直距离为，P点与带电直线的上下端点的连线与垂线的夹角分别为和。
解 均匀带电直线可以理解为实际问题中一根带电直棒的抽象模型，如果我们仅限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的电场，则该带电直棒就可以看作一条带电直线。
在带电直线上任取一长为的电荷元，其电量。以P点到带电直线的垂足O为原点，取如图所示坐标轴、。电荷元dq在P点的场强dE沿两个轴方向的分量分别为
利用如下关系式
于是有
同理可得
　 　
P点总场强的大小可以由下式得到
　　
有几种特殊情况，讨论如下：
（1）中垂线上的点。这时，，P点电场是
将带入，可得
　 　
该电场的方向垂直于带电直线而指向远离直线的一方。
（2）带电直线是无限长。 真实的生活中没有无限长，无限长只是一个相对的概念，在本题中无限长的准确描述是，故有
（7.9）
（3）在远离带电直线的区域。这时相当于，中垂线上的电场强度是
　　
式中为带电直线所带的总电量。此结果表明，在离带电直线很远处的电场相当于一个点电荷q的电场。
例7.4 如图7.8所示，一均匀带电细圆环，半径为R，所带总电量为q（设q>0），计算圆环轴线上场点P的电场强度。
解 将圆环微分成为许多小段，任一小段dl上的带电量为dq。其量值是
此电荷元dq在P点场强的大小为
其方向如图所示。沿平行和垂直于轴线的两个方向的分量分别为和。由于圆环电荷分布对于轴线对称，所以圆环上全部电荷的分量的矢量和为零，因而P点的场强沿轴线方向，即
此式的积分遍及整个圆环，而且对于给定点P，和是定值。所以
由图中几何关系
于是得出
其方向沿下x轴正方向。
当时，，即圆环中心处的电场强度为零。
当时，该处电场强度可以近似为
相当于全部电荷集中于圆环中心处的点电荷在P点产生的电场。
例7.5 均匀带电圆盘的半径为R（如图7.9所示），电荷面密度（即单位面积上的电荷）为（设），求圆面轴线上距离圆心x处场点P的场强。
解 对于带电平板，如果其面积的线度及考察点到平板的距离都远远大于它的厚度，该带电板就可以看作一个带电平面。
带电圆盘可看成由许多同心的带电细圆环组成。考虑其中半径为r、宽度为dr的细圆环，此环的面积是，带有的电量是
利用上题结果，该细圆环在P点的场强大小是
方向沿着轴线指向轴正方向。
由于组成圆面的各圆环的电场的方向都相同，所以P点的总场强为各个圆环在P点场强的大小的积分，即
＝
其方向沿着轴线指向轴正方向。
当时，均匀带电圆盘可以视为“无限大”带电平面，P点场强是
（7.10）
这表明“无限大”带电平面产生的电场是一个均匀电场或匀强电场，各点场强量值相同，方向都与平面垂直。
当时，按二项式定理展开，略去高次项，有
　
于是
　　　　　　　　　
式中，是圆盘所带的电量。可见，远离带电面处的电场相当于电荷全部集中于圆盘中心的一个点电荷所产生的电场。
例7.6 由两个均匀带电的“无限大”平板A、B（如图7.10所示），电荷面密度分别是和，求两板之间和外侧的电场强度。
解 根据场强叠加原理，任意点场强可以视为两个平板各自产生的场强、的矢量和，即
　　　　　
利用上题结果（7.10）式，两板在空间任意点的电场强度大小都是，方向如图所示。所以，在两板之间区域，电场强度大小是
（7.11）
方向是从A板指向B板。同理，在两板的外侧的电场强度是
　　　　　　　　　　　
因此可见，由均匀带等量异号电荷的两个平板组成的系统，如果板面的线度远大于两板之间的距离，则除边缘附近外，电场全部集中于两板之间，而且是均匀电场。
7. 3 静电场中的电介质 电位移矢量
7.3.1 静电场中的电介质
电介质（dielectrics）是由大量中性分子组成的绝缘物质，它们是不导电的。当电介质放置在静电场中时，介质和电场将发生什么样的变化呢？下面我们就来讨论这种变化，而且只讨论均匀的、各向同性电介质的情况。
电介质的分子是由等量的正、负电荷构成。在在远离分子的地方，可以把分子中的正、负电荷作为两个点电荷处理，称为等效电荷，等效电荷的位置称为电荷中心。若分子的正、负电荷中心不重合，则等效电荷形成一个电偶极子，其电偶极矩称为分子的固有电矩（natural electric moment），这种分子叫有极分子（polar molecules）。如HCl分子，H原子一端带电，Cl原子一端带电，形成一个电偶极子，这是化学中典型的极性共价键。若分子的正、负电荷中心重合，则分子的电偶极矩为零，这种分子叫无极分子（nonpolar molecules）。H2、O2、N2、CO2分子即属于这一类情况，化学中称为非极性共价键。
有极分子在没有外场作用时，由于热运动，分子电矩无规则排列而相互抵消，介质不显电性，见图7.11(a)。有外场的作用时，分子将受到一个力矩的作用（见图7.11(b)）而转动
到沿电场方向有序排列，如图7.11 (c)所示，这称为介质的转向极化（orientation polarization）。若撤去外场，分子电矩恢复无规则排列，极化消失，介质重新回到电中性。分子热运动的无规则性与分子极化时的取向性是矛盾的，一般说来，电场越强，温度越低，则分子的排列越有序，极化的效应也越显著。
无极分子在没有外场作用时不显电性，见图7.12(a)。有外场作用时，正负电荷中心受力作用而发生相对位移，形成一个电偶极矩，称为感生电矩（induced electric moment）。感生电矩沿电场方向排列，使介质极化，见图7.12 (b)所示意。无极分子的极化是由于分子正负电荷中心发生相对位移来实现的，故称为位移极化（displacement polarization）。若撤去外场，无极分子的正、负电荷中心重新重合，极化消失，介质恢复电中性。显然，位移极化的微观机制与取向极化不同，但结果却相同：介质中分子电偶极矩矢量和不为零，即介质被极化了。所以，如果问题不涉及极化的机制，在宏观处理上我们往往不必对它们刻意区分。
如果介质是均匀各向同性的，极化后的介质内部仍然没有净电荷，但介质的表面会出现
面电荷，称为极化电荷（polarization charge）。极化电荷不是自由电荷(free charge)，不能自由流动，故也称为束缚电荷（bound charge）。
介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场迭加的结果，有
（7.12）
在各向同性介质均匀地充满电场的情况里，方向与的方向相反。所谓介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的电场强度为原来真空中该点电场强度的分之一，即
　　 （7.13）
其中称为介质相对电容率（relative permittivity），也称为相对介电常数（relative dielectric constant），是没有单位的纯数。对于“真空”，；对于空气，近似有；对其它介
质，。一些电介质的相对介电常数列于表7.2中。
表7.2 一些介质材料的相对介电常数
材 料 相对介电常数 介电强度/
真 空 1.00000
空 气 1.00059 3
石 英 3.78 8
硬质玻璃 5.6 14
聚苯乙烯 2.56 24
聚四氟乙烯 2.1 60
聚氯丁橡胶 6.7 12
尼 龙 3.4 14
纸 3.7 16
钛 酸 锶 233 8
水 80
硅 油 2.5 15
如果外加电场不是很强时，介质只是产生电极化效应，介质中的自由电荷数量很少，不会影响介质的绝缘性质。但是，若外加电场达到一定程度，会使电介质分子中的正负电荷被拉开而形成自由电荷，导致电介质的绝缘性质被破坏，转变成导体，称这种现象为电介质的击穿（breakdown）。电介质所能承受的不被击穿的最大电场强度，称为该种电介质的介电强度（dielectric strength），表7.2中列出了几种电介质的介电强度的估计值。
【科技博览】当对某些电介质沿一定方向施力而使其发生形变时，在它的端面上会产生符号相反的极化电荷，这种效应称为压电效应（piezoelectric effect）。能够产生压电效应的晶体称为压电晶体（piezoelectrics），常见的压电晶体有石英晶体（SiO2）、压电陶瓷、钛酸钡（BaTiO3）等。压电晶体有如下功能：
一是压电效应，即由于施加外力而发生形变，在两个受力的晶面上出现等量异号的极化电荷。压力和拉力产生的极化电荷的方向相反，而且与外力引起的形变程度有关，如图7.13
所示。
二是电致伸缩效应，即在电场力的作用下压电晶体发生形变的现象，是压电效应的逆效应。当施加的电场是交变电场时，压电晶体的内应力和形变会呈现周期性的变化，由此产生机械振动。
三是热释电效应，即由于温度变化导致压电晶体的极化发生变化，使相应表面上出现极化电荷。这种效应来源于晶体的各向异性，是晶体在不同方向的膨胀系数不同所引起的。
压电晶体的上述效应在现代科技中有着广泛的应用，如压电晶体振荡器、压电电声换能器、压电变压器、压电传感器等等。其中：压电晶体振荡器精度高、体积小、性能稳定，在军事通信和精密电子设备、小型电子计算机或微处理器、石英钟表等设备内作为时间或频率的标准；电声换能器包括扬声器、耳机、蜂鸣器等，特别是用它制成的超声发生器可以产生20000以上的超声波，在海洋探测、固体探伤、医疗检查和疾病治疗等领域有着广泛的应用；压电传感器可以应用于压力、应力、加速度等物理量的检测。
以点电荷为例，真空中点电荷在其周围空间任一点p激发的电场为
　　 　　　　　　　　　　
在充满介质以后，点电荷本身激发的场强并不会因极化电荷的出现而改变，即仍为上式。而由于极化电荷的作用，在p点产生的电场由（7.13）式决定，应为
　 　　　 （7.14）
式中，称为电介质的介电常数（dielectric constant），其单位与真空介电常数相同。若P点放置另一点电荷，则两个点电荷间的库仑力是
　　　 （7.15）
这是各向同性介质充满电场时的库仑定律的表示式。
同点电荷在真空中的场强比较，公式形式不变，唯一的变化是把换成了。由于在所有的场强公式中，真空中的介电常量均在分母中，故在各向同性介质均匀地充满电场时，场强公式的形式都不会变，只须把换作。7.14式中介质中的场强比真空中要小，这是由于极化电荷的场强影响的结果，但极化电荷在式子中并未出现，它们的影响包含在之中。
7.3.2 电极化强度
电介质的电极化状态可以引入电介质的电极化强度（electric polarization）表示，其定义为：电介质单位体积内电偶极矩的矢量和。若以表示电介质中某一小体积内的某个分子的电偶极矩，则该处的电极化强度为
（7.16）
电极化强度反映了介质内电极化的强弱和方向。在国际单位制里，电极化强度的单位是（），与面电荷密度的量纲一致。
由于电介质的极化电荷是电介质极化的结果，所以极化电荷与电极化强度之间必然存在某种定量关系。我们可以利用一个特例来推出这个关系。如图7.14所示，在一对面积为S、相距为的均匀带电平面（设两平面的自由电荷面密度分别是和，S的线度远大于）之间充入各向同性的均匀电介质。由于电极化的作用，在靠近带电平面的介质平面上会出现与自由电荷异号的均匀面分布的极化电荷，其面密度是和，而在介质内部没有剩余的极化电荷。所以整个介质的电偶极矩矢量和是，而电极化强度是
（7.17）
这表明，在均匀各向同性的电介质中，电极化强度的大小等于电极化产生的极化电荷面密度。
同样，我们利用上面的特例来分析极化电荷和束缚电荷、电极化强度与电场强度的关系。如图7.14所示，利用（7.11）式得到自由电荷产生的电场强度大小为
　　　　　　　　　　　　　
方向向下。若电介质表面的极化电荷面密度是，则极化电荷所激发电场的电场强度的大小是
　　　　　　　　　　　　　
方向向上。所以介质中的电场强度是
　　　　　　　　　　
利用（7.13）式，，带入上式有
　　　　　　　　　 　
于是得到自由电荷密度与极化电荷密度的关系是
（7.18a）
利用关系式、，得到自由电荷与极化电荷的关系是
（7.18b）
将（7.11）式、（7.13）式和（7.17）式带入7.18a式，，得出电介质中电极化强度与电场强度的数值关系
　　　　　　　 　
定义，称为电介质的电极化率（electric susceptibility）。相应的矢量关系是
（7.19）
上式表明，在各向同性电介质中，电极化强度和电场强度成正比，且方向相同。
应当注意的是，各向同性均匀电介质在静电场中被极化时，其相对介电常数和电极化率是常数。但是在频率较高的变化电场中被极化时，由于介质电极化需要一定的时间，使分子的电偶极矩的变化跟不上电场的变化，电介质的相对介电常数会下降。所以在高频电场中，电介质的相对介电常数与外加电场的频率有关。
7.3.3 电位移矢量
在一般问题中，只是给出带电体自由电荷分布和电介质分布，极化电荷的分布是未知的。电介质中的电场既与自由电荷分布有关，又与极化电荷分布有关，同时极化电荷的分布又受到介质中电场的影响，所以问题就变得相当复杂。为了简化电介质中电场的计算，我们引入适当的物理量——电位移矢量（electric displacement）。
电位移矢量定义如下
（7.20）
在国际单位制中，其单位是库仑·米－2（）。
在各向同性介质中，利用7.19式，有
（7.21）
这是点点对应的关系式，即电介质中某点的电位移矢量等于该点电场强度与该点介电常数的乘积，而且两者具有相同方向。
利用介质平板中电场的特例，我们来分析电位移矢量的意义。将关系式带入（7.21）式，得出电位移矢量的大小为
（7.22）
即在各向同性均匀电介质中，电位移矢量的大小等于带电体的自由电荷的面密度。
按照（7.7）式，带入（7.21）式，可以证明电位移矢量仍然满足叠加原理。点电荷系在均匀无限大的各向同性介质中产生的电位移矢量是
（7.23）
电位移矢量是在研究介质中电场时引入的辅助物理量，一般决定于自由电荷的分布。所以在求解电介质中的电场时，可以先求出电位移矢量，然后再利用7.21式求出电场强度。
7. 4 静电场中的高斯定理
7.4.1 电场线与电位移线
为了形象直观的描绘电场的分布，可以引入电场线（electric field lines）和电位移线（electric displacement lines）的辅助概念。通过这些几何线的的图形，我们可以清楚的观察电场的分布特点。
电场中每一点的电场强度都有大小和方向，我们规定满足如下要求的曲线称为电场线，即
（1）曲线上每一点的切线方向和该点电场强度的方向一致；
（2）在电场中任一点处，通过垂直于该处电场强度方向的单位面积的电场线的条数等于该点处电场强度的量值。
图7.15给出按上述规定描绘的几种带电体电场的电场线。显然，匀强电场的电场线是一系列平直等间距的直线。
通过对各种电场的电场线的分析，我们会发现静电场的电场线具有如下的特点：
（1）静电场的有源性
通过实作各种各样电场的电场线，我们发现静电场的电场线总是起始于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远。这一特点叫做静电场的有源性，即电场线是有头有尾的，它有起点和终点。
（2）静电场的无旋性
同样可以发现，静电场中的电场线是永不闭合的曲线。这一特点叫做静电场的无旋性。静电场的这一特点实际上是和电磁相互作用过程中的能量守恒联系在一起。静电场的无旋性表明了电磁相互作用中能量是守恒的。如图7.16所示，假设有一电场线闭合成为一个逆时针方向的圆周，我们就可以以该圆周的大小制作一个圆盘并使其边缘带电，例如带正电，然后将圆盘放在该电场中。由于圆盘上每一个地方受到的电场力都沿着电力线的方向，对圆心的力矩都沿着逆时针的方向，我们将会发现圆盘会加速转动，动能不断增加。这显然违背了能量守恒定律，因此，静电场的电场线是不能闭合的。
（3）同一电场的电场线不相交。
在同一电场中所作的电场线不会相交。事实上，若同一电场的电场线相交就意味着在交点处的场强会有两个方向，即一个点电荷在该点受到的电场力会有两个方向。这是不符合物理实际的。
同理，我们可以采用电位移线形象直观的描述电场中的电位移矢量的分布。其绘制规定是：曲线上每一点的切线方向和该点电位移矢量的方向一致；在电场中任一点处，通过垂直于该处电位移矢量方向的单位面积的电位移线的条数等于该点处电位移矢量的量值。如图7.17所示，通过垂直于电位移矢量方向的面积元的电位移线的条数应当满足下述关系
（7.24）
这说明，电场中某点电位移矢量的大小等于该点处电位移线的密度。
比较上面的定义可知，电位移线与电场线的定义是类似的，具有类似的特点。但是，两者也有明显的区别：一是密度的规定不同，按照（7.21）式，各向同性电介质中电位移线密度是电场线的倍；二是电位移线自由正电荷，终止于自由负电荷，而电场线则从正电荷（包括自由正电荷和极化正电荷）出发，终止于负电荷（包括自由负电荷和极化负电荷）。
7.4.2 电通量
通过某一曲面电位移线的条数，叫做该曲面上的电位移矢量通量,也称为电通量（electric flux），用表示。而且规定电位移矢量通量的正负为：与曲面法向正方向夹角小于1800通过的电位移线作为正的通量，与曲面法向正方向夹角大于1800通过的电位移线作为负的通量。
我们先讨论一种特殊情况，求均匀电场中一个平面上的电通量。如图（7.18a）所示，平面S处于匀强电场中，为平面的法线方向。求电通量就是求通过S的电位移线条数。
根据电位移矢量的大小与电场线密度的关系，垂直于电位移矢量方向的单位面积所通过的电位移线条数就等于电位移矢量的大小。我们将平面S投影在垂直于场强的方向上，得到 。可以得到通过平面S的电通量为
　　 （7.25）
上式表明，当时，电通量为正，此时电位移线穿过平面的方向与法线指示方向一致。
当时，电通量为负，此时电位移线穿过平面的方向与法线指示方向相反。当时，电通量为零，此时电位移线与平面平行。
对于一个任意的曲面上的电通量，其计算方法就要使用微积分。大家知道任意一个曲面可以微分成很多无限小的面积元，如上图7.18（b）所示。面积元dS可以看成一个平面，并且在面积元的范围内场强可以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。与前面所讨论的平面情况类比，立即得到任意一个面积元上的电通量
（7.26）
再根据积分的思想，得到任意曲面的电通量为
　 （7.27）
这是一个面积分，积分号下标S表示此积分的范围遍及整个曲面。
通过一个闭合曲面的电通量与任意曲面的电通量在计算方法上没有任何本质的区别。图7.19所示就是一个闭合曲面，其电通量可以用如下积分式子来表示
（7.28）
积分对整个闭合曲面进行。
对于闭合曲面，我们在取外法线方向为正方向。根据电通量正负的规定，当电位移线从内部穿出时（如在上图中面元dS1处），电通量为正。当电场线从外部穿入时（如在上图中面元dS2处），电通量为负。上式所表示的通过整个闭合曲面的电通量就等于穿出和穿入闭合曲面的电位移线的条数之差，也就是净穿出闭合曲面的电位移线的总条数。
由电通量的定义（7.24）式可知，在国际单位制中，电通量的单位是库仑（C），与电荷有相同的量纲。
7.4.3 高斯定理
高斯（K.F.Gauss）是德国数学家、物理学家和天文学家，他长期从事数学并将数学应用于物理学、天文学等领域的研究。在实验物理学、电磁理论、光学成像等方面作出了巨大贡献，他提出了有关电场和场源电荷关系的一条重要规律——高斯定理（Gauss theorem）。
设空间分布若干个点电荷、，如图7.20所示。如果在空间作一任意形状的闭合曲面（称为高斯面），则有的点电荷处于高斯面内，有的点电荷处于高斯面外。通过该闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面包围的自由电荷量的代数和，而与闭合曲面外的电荷无关。数学表示式是
（7.29）
这里表示沿一个闭合曲面S的积分。
高斯定理是用电通量表示的电场和场源电荷关系的定理，它给出了通过任意闭合曲面的电通量与闭合曲面内部所包围的自由电荷的关系。为了有利于深入掌握高斯定理及其相关知识，下面分步给出高斯定理的推导过程。
（1）一个静止的点电荷激发的电场
在无限大各向同性均匀电介质中，有一个自由点电荷，如图7.21a所示。以点电荷为球心，取任意长度为半径，作一闭合球面S包围点电荷。点电荷的电场具有球对称性，闭合球面上各点的电位移矢量的大小是
（7.30）
方向均沿矢径方向，与闭合球面S的外法线方向一致。则通过球面S的电通量是
（7.31）
这一结果与球面半径无关，只与闭合球面包围自由电荷的电量有关。这说明：以点电荷为中心的任意球面通过的电通量是相同的，即通过各个球面电位移线的条数相等。所以，从点电荷发出的电位移线是连续的延伸到无限远处
如果取一个任意闭合曲面，与球面S包围同一个自由荷，如图7.21b所示。由于电位
移线的连续性，通过闭合曲的电通量与通过闭合球面S的是一致的，也是。这表明：通过任意形状的包围自由点电荷的闭合曲面的电通量与曲面的大小、形状无关，只与所包围的自由电荷的电量有关。
如果点电荷位于闭合曲面的外部，如图7.21c所示。由于电位移线的连续性，穿入闭合曲面的电位移线，必然从曲面中穿出，所以穿进与穿出S"的电位移线数目一样多，即通过S"的电通量为零。
基于上述分析我们可以得到如下结论：在一个点电荷电场中任意一个闭合曲面S的电通量或者为或者为零，即
（7.32）
（2）个静止的点电荷构成点电荷系激发的电场
设有任一闭合曲面S包围了点电荷，而点电荷处在闭合曲面S外部如图7.20所示。利用电位移矢量的叠加原理（7.23）式，通过曲面上某一面积元的电通量是
通过整个闭合曲面S的电通量是
　　
利用（7.32式）的结果，得出
上述结论可以推广到任意封闭曲面包围电荷连续分布的带电体的情况。这时可以把带电体分成微小体积元的组合，每个体积元的电荷是，是带电体的体密度。这时高斯定理表示为
（7.33） 表示积分应对S所包围的带电体部分的体积V进行。
在高斯定理表达式中，方程左边的是曲面上各点的电位移矢量，它是由全部自由电荷（包括闭合曲面内外）共同产生的，并非只由闭合曲面内的电荷产生。而方程右边的只是对高斯面内的自由电荷求代数和，与极化电荷是没有关系的，这是因为正负极化电荷总是成对出现的。同时也表明，通过闭合曲面的总电通量只与该曲面内部的自由电荷有关，闭合曲面外的自由电荷对总电通量没有贡献，但对曲面上的电位移矢量有贡献。因此，当＝0时，高斯面上的电场不一定处处为零，而高斯面上的电场处处为零时，高斯面内包围的净自由电荷必定为零。
若高斯面内有净的正自由电荷，，则，表示有电位移线从面内穿出；若高斯面内有净的负自由电荷，，则，表示有电位移线从面外穿入；若高斯面内没有自由电荷或，则，表示有多少电位移线从面外穿入就有多少从面内穿出；可见高斯定理说明正的自由电荷是发出电位移线的源头，负的自由电荷是电位移线终止会聚的归宿。所以静电场是有源场，高斯定理是反映静电场性质的基本方程之一。
高斯定理是在库仑定律和电场叠加原理的基础上导出的，说明两者之间有相互连带关系，它们从不同角度上表示了电场与场源电荷的关系。库仑定律把电场与电荷联系起来，而高斯定理是将电场的通量与一定区域内的电荷分布联系在一起。然而应当明确的是，对于运动电荷的电场或随时间变化的电场，库仑定律不再有效，而高斯定理仍然有效。高斯定理是关于电场的普遍的基本规律。
7.4.4 利用高斯定理求静电场的分布
实践表明，当电荷分布具有某种对称性时，可以应用高斯定理求出该种电荷系统的电场分布，而且这种方法较运用叠加原理要简便得多。
一般而言，利用高斯定理求静电场的分布可以遵循如下思路：
（1）根据电荷分布的对称性，分析电场的对称性，判断能否使用高斯定理求解电场分布；
（2）根据电场分布的对称性，在待求区域内选取适当的高斯面。高斯面的选取应满足下述要求
一是待求场点在高斯面上；
二是高斯面上或部分面上各点电场的大小相同，各点的法线与该处电场的方向一致或垂直或是成恒定角度；
三是高斯面形状尽可能规整，易于计算面积。
（3）计算通过高斯面的电通量和高斯面内自由电荷的代数和，依据高斯定理求出电位移矢量，然后利用电位移矢量与电场强度的关系求出电场强度分布；
（4）说明电场的方向，进行有关讨论。
一、球对称的情况
例7.7 求放在均匀无限大电介质中的均匀带电球面的电场分布。已知球面半径为R，所带总电量为q（设q>0），介质的介电常数是。
解 按对称性的理论，如果原因具有什么样的对称性，则它的结果也必然具有同样的对称性。本题中电荷分布是球对称的，所以电荷激发的电场也应该满足球对称。
先对球面外任一点P处的场强进行具体分析。设P距球心为r（如图7.22），连接OP直线。由于空间介质的各向同性和电荷分布对于O点的球对称性，P点电场（也是）的方向只可能是沿矢径OP的方向。其它各点的电场方向也都沿各自的矢径方向。由于电荷分布的球对称性，在以O为心的同一球面S上，各点的电场的大小都应该相等，可选该球面S为高斯面。由于球面上每个面元dS上的电场的方向都和面元矢量的方向（法向）相同且大小不变，故通过它的电通量为
该高斯面S包围的自由电荷是，利用高斯定理得出
于是
（）
方向沿径向方向，指向远离中心方向。
此结果说明，均匀带电球面外的场强分布正像球面上的电荷都集中在球心时所形成的一个点电荷的场强分布一样。
对球面内部任一点，上述关于场强的大小和方向的分析仍然适用。过点作半径的同心球面为高斯面。通过它的电通量仍可表示为，但由于此面内没有电荷，根据高斯定理有
于是
　　　　　 　 （）
这表明，均匀带电球面内部的场强处处为零。
上述结果可以统一表示为
（7.34）
画出电场随距离的变化曲线——曲线（如图7.22所示），从曲线中可看出，电场强度的数值在球面（r=R）上是不连续的。
例7.8 求均匀带电球体的电场分布。已知球体半径为R，所带总电量为q，内外介电常数分别是和。
解 均匀带电球体同样满足球对称，高斯面的选择及对称性的分析可以仿照上一例题。
对于球外部，上一例题中关于球外的电场方向和大小的分析和计算此时也完全适用。可以直接得出：在球体外部的电场分布与所有电荷都集中到球心时产生的电场一样，即
（）
为了求出球体内任一点的电场，可以通过球内P点做一个半径为r（r此球面包围的电荷为电荷的体密度与球的体积之积，即
按高斯定理得
　
于是
　 （）
这表明，在均匀带电球体内部各点场强的大小与矢径大小成正比。
上述结果可以统一表示为
（7.35）
均匀带电球体的曲线绘于上图中。注意，在球体表面上，场强的大小是连续的。
通过分析前两个例题，可以看出一些共同规律：在点（球）对称的情况下，高斯面是一个满足对称条件的球形曲面。
二、柱对称的情况
例7.9 求无限长均匀带电直线的电场分布。已知直线上电荷线密度为，所在空间得介电常数是。
解 均匀带电直线的电荷分布是轴对称的，因而其电场分布亦应具有轴对称性。考虑离直线距离为r的一点P处的电场（如图7.24所示）。由于带电直线为无限长，且均匀带电，因而P点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线而沿径向，和P点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的电场的方向也都应该沿着径向，而且电场的数值应该相等。
以带电直线为轴，作一个通过P点，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的电通量为通过上、下底面（S1和S2）的电通量与通过侧面（Sb）的电通量之和
在S面的上、下底面，电场方向与底面平行，因此上式右侧前面两项等于零。在侧面上各点电场的方向与各点的法线方向相同，所以有
此封闭面内包围的电荷，由高斯定理得
　
于是
（7.36）
例7.10 求无限长均匀带电圆柱面内外的电场分布。已知圆柱面半径为R，沿轴线方向的电荷线密度为，柱面内外介电常数分别是和。
解 考虑均匀带电圆柱面外距离轴线为r的一点P处的电场（如图7.25）。电荷的轴对称分布必然导致电场分布的轴对称性，因而P点的电场方向只可能是垂直于带电圆柱面的轴线而沿径向。而且和P点同一圆柱面（以圆柱面的轴线为轴）上的各点的场强也都沿径向，大小也都相等。
作一个通过P点，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S.。与上一例题同理可得
（）
对于均匀带电圆柱面内部的圆筒形高斯面，由于面内没有电荷，应该有
于是
（）
这表明：均匀带电圆柱面内部的场强处处为零。
上述结果可以统一表示为
（7.37）
即无限长均匀带电圆柱面外面的电场等于其全部电荷集中于轴线上时（均匀带电直线）的电场，其内部的电场等于零。
例7.11 求无限长均匀带电圆柱体内外的电场分布。已知圆柱体半径为R，内外空间的介电常数分别是和，电荷体密度为ρ。
解 均匀带电圆柱体的电场分布具有轴对称性，如图7.25所示。对圆柱体外场强的分析与上题中对均匀带电圆柱面的分析相同，若以表示沿轴线方向的电荷线密度，其结果的
形式也一样，即有
（）
对圆柱体内的高为l的圆筒形高斯面S.，通过S面的电通量为
高斯面内包围的电荷是，由高斯定理得
于是
（）
上述结果可以统一表示为
（7.38）
可见无限长均匀带电圆柱体外面的电场也等于其全部电荷集中于轴线上时的电场，其内部的电场与场点到轴线的距离成正比。
综上所述，在线对称的情况下用高斯定理求解电场的关键是取一个高为l的两端封闭的圆筒作为高斯面。这个高斯面的电通量为，若能求出就能通过高斯定理求出电场。
三、面对称的情况
例7.12 求无限大均匀带电平面的电场分布，已知带电平面上电荷面密度为，所在空间得介电常数是。
解 无限大均匀带电平面的电场分布应满足平面对称。考虑距离带电平面为r的场点P的电场（如图7.26所示）。由于电场分布应满足平面对称，所以P点的电场必然垂直于该带电平面，而且离平面等远处（同侧或两侧）的电场大小都相等，方向应垂直于平面指向远离平面的方向（当时）。
选择轴线垂直于带电平面的封闭柱面作为高斯面S，带电平面平分此柱面，而P点位于它的一
个底面上。由于柱面的侧面上各点电场与侧面平行，所以通过侧面的电通量为零。因而只需要计算通过两底面的电通量。
以表示一个底的面积，则通过S面的电通量为
高斯面内包围的电荷，由高斯定理得
于是
（7.39）
此结果说明，无限大均匀带电平面两侧的电场是均匀场。这一结果与使用迭加原理计算的结果相同。
7.5 静电场的环路定理 电势
电荷在电场中运动时，电场力作功。根据静电场力作功的特点，我们给出反映静电场基本性质的方程——静电场环路定理（circuital theorem of electrostic field），并引入一个描述电场的物理量“电势（clectric potential）”。电场强度和电势是描述电场性质的物理量，两者的结合可以完整的描述静电场。
7.5.1 静电场的环路定理
在一个静止的点电荷的电场中，有一试验电荷从a点经任意路径acb移动到b点，如图7.27所示。在路径中任一点c的附近取一位移元，在这个位移元上，电荷所受的电场力可以视为恒量，对作的功是
其中，是与间夹角。利用、，于是
将试验电荷从a点移动到b点，电场力作的总功是
（7.40）
式中, 、分别是a点和b点到点电荷q0的距离。此式表明，在点电荷的电场中，电场力作功与试验电荷的电量成正比，决定于试验电荷的始末位置，与试验电荷经过的路径无关。
对固定不动的点电荷、、、构成的带电系统，依据电场叠加原理到其电场是每个点电荷单独存在时产生的电场的矢量和，即
当试验电荷从这个电场的a点移动到b点时，电场力作功是
等于各个点电荷电场力作功的代数和。由于上式右边每一项都与路径无关，所以点电荷系的电场力的功A是与路径无关的。
同理，静止的连续带电体可以划分成无数个电荷元的集合，依据叠加原理可以证明，它对试验电荷的电场力所作的功与路径无关。
任何作功与路径无关的力场，称为保守力场。静电场力是保守力，静电场是保守场。
(
L
1
L
2
a
b
图7.28 闭合环路的环流
)如果在静电场中移动试验电荷，经过闭合路径L（L由路径L1和L2组成）又回到原来的位置，如图7.28所示。由（7.40）式可知，静电场力作功为零，即
因为，所以上式可以写成
（7.41）
上式左边表示静电场场强沿任意闭合环路L的线积分，称为电场强度的环流。所以，上式表明：静电场场强沿任意闭合路径的环流等于零。这个结论称为静电场的环路定理，它表明静电场的电场线是不会闭合的，所以称之为无旋场。同时，它与静电场是保守场、静电场力是保守力的提法是一致的。
7.5.2 电势
由于静电场力是保守力，所以能够引入电势能（clectric potential energy）的概念。根据保守力作功与相应势能变化的关系，我们可以明确：在静电场力作用下，将试验电荷从a点移动到b点，静电场力作的功等于电势能的减少。即
（7.42）
式中，与试验电荷的电量成正比，所以比值与试验电荷无关，它反映了a、b两点静电场本身的性质。我们将这个比值定义为静电场中a、b两点的电势差（clectric potential difference），也称为电压（voltage）。
（7.43）
即静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点经任意路径移到b点时电场力所作的功。因此，当任意电荷在电场中从a点移到b点时，电场力所作的功可以用电势差表示
（7.44）
通过定义势能零点可以确定某一点的势能，静电场中某点的电势值可以通过选定参考零点来决定。对于电荷分别在有限空间的带电体，通常规定无限远处为电势参考零点。于是空间任一点a的电势可以表示为
（7.45）
其物理意义是：电场中某点的电势在数值上等于放在该点处的单位正电荷的电势能；或者等于单位正电荷从该点经任意路径移到无限远时电场力所作的功。
电势是标量，可以有正负。在国际单位制中，电势的单位是伏特（V）。
电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。一般而言，电势零点的选择是任意的，但为了理论计算的方便，要视具体研究问题而定。在理论计算中，当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处为电势零点；对于“无限大”、“无限长”的带电体，这时只能在有限范围内选择某点作为电势零点。在实际应用中，需要的是两点间的电势差，而不是某点的电势，所以通常取地球的电势为零点。
根据（7.40）式和（7.45）式，选择参考电势零点在无限远时，静止点电荷在真空中的电势分布是
（7.46）
式中，是场点到场源电荷的距离。在正点电荷的电场中，各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。在负点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，无穷远处电势为零。容易看出，在以点电荷为球心的任意球面上电势都是相等的。
7.5.3 电势叠加原理
设带电系统是由n个带电体组成，它们各自产生的电场是。根据电场叠加原理，该带电系统的总电场是
由电势的定义（7.45）式，空间某点P处的电势是
　　
上式右方的每个积分分别是各个带电体单独存在所产生的电场在P点的电势，即
（7.47）
这表明一个由若干带电体组成的带电系统，在其电场中某点的电势等于每个带电体单独存在时在该点产生的电势的代数和，称为电势叠加原理。
一般说来，计算电势的方法有两种。第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是利用电势叠加原理。
一、利用电势的定义求电势
这种方法常用于电场分布已知或可以利用高斯定理容易确定电场的分布的情况。其解题的一般步骤是：根据场源分布→给出电场强度分布→选择电势零点和积分路径→依据电势定义给出电势的表达式并进行积分求解。
在计算过程中，应当注意如下几点：
一是选择适当的电势零点，其选择原则如前所述；
二是积分路径选择有任意性，但是为了积分计算的方便，一般选择与平行、垂直或有恒定夹角的积分路径；
三是空间电场的分布可能是不连续的、分区间的，这时要分区间进行积分，而且在某一区间积分时，必须应用该区间的电场表达式。
例7.13 求置于空气中的均匀带电球面所产生的电势分布。如图7.29所示，球面半径为R，总带电量为q。
解 均匀带电球面的场强分布很有规律性，适宜用电势的定义式通过对场强的积分来求电势。我们利用高斯定理可以很容易的确定电场的分布规律是
方向沿径向方向。
对球面外一点P的电势，选择沿径向方向为积分路径，这时与同向。若无限远处是电势零点，由电势定义有
（）
可见，均匀带电球面外一点电势与电荷集中于球心作为点电荷在该点产生的电势相同。
对球面上一点P，，有
对球面内一点P，该点电势是
同样选择径向为积分路径，有
可见，球面内任一点的电势与球面上的电势相同，球内区域是一个等电势区域。
电势随r的变化曲线（曲线）如图7.29所示。与场强分布曲线相比看到，在球面处（r=R），电场强度不连续，而电势是连续的。这一点体现了经典物理学中的能量始
终是连续的观点。
二、应用电势叠加原理求电势
这种方法常用于带电体的电荷分布已知而电场分布未知或不宜用高斯定理求出电场的情况。一般有三种情况：
（1）点电荷系电场中的电势
在包含n个点电荷的点电荷系所产生的电场中，第i个点电荷qi在场点P产生的电势由（7.46）式决定。依据叠加原理，整个点电荷系在P点的电势是
（7.48）
式中，是点电荷到P点的距离。
（2）连续带电体电场中的电势
任意带电体可以视为无数个电荷元的组合，每个电荷元在场点P处的电势是点电荷产生的电势，即
式中，是电荷元到P点的距离。由电势叠加原理可知，连续带电体在P点的电势是
（7.49）
积分区域遍及整个带电体所在区域。
（3）利用典型带电体的电势公式确定一些规则带电体的电势
某些规则连续带电体可以看成某种典型带电体的组合，而典型带电体的电势计算公式是已知的，这种情况下的电势计算公式可以写成
（7.50）
式中，是典型带电体的电势，一般不能看成是点电荷的电势。
例7.14 求电偶极子电场中的电势分布。已知电偶极子中两点电荷的电量为，相距是l。
解 建立极坐标系，如图7.30所示。原点取在电偶极子的中点，场点P离和的距离分别为和，距离电偶极子中点O的距离为r，r与轴线l的夹角是。
依据电势叠加原理，P点电势是
对于离电偶极子比较远的点，即时，有近似：，。于是
注意到，利用矢量的点积关系，上式可以写成
（7.51）
例7.15 一半径为R的均匀带电细圆环，所带电量为q，求在圆环轴线上任意点P的电势。
解 取圆环中心O为坐标原点，P点坐标是x，如图7.31所示。在圆环上取一段微小线元，所带电量是
该电荷元在P点产生的电势是
则带电圆环在P点电势是
（7.52）
当P点位于环心O处时，x=0，则
当P点位于轴线上相当远处时，，则
相当于全部电荷集中于环心的点电荷所产生的电势。
例7.16 一半径为R的均匀带电圆盘，所带电量为q，求在圆盘轴线上任意点P的电势。
解 如图7.32所示，圆盘中心为原点，圆盘上电荷的面密度是
在圆盘上任取一半径为r、宽度dr的圆环，其电量是
它在P点产生的电势是
整个圆盘在P点的电势可以视为不同半径带电圆环在P点电势的叠加，故
（7.53）
7.5.4 电场的能量
任何带电体的形成过程，外力必须克服电荷之间的相互作用力而作功。根据能量守恒定
律，外力所做的功应当转换成带电体的能量。
我们以两个均匀带电的“无限大”平板形成带电体系的过程为例，说明带电体系的能量。设有两块“无限大”平板，平板面积是S，间距是d，如图7.33所示。该带电体系可以设想是这样建立的：不断把微小电量从A板移到B板上，直至B板带有电量Q、A板带有－Q为止。当开始第一个从A板移到B板时，由于体系原来不带电，因而这个没有受到电场力的作用，外力不需要作功。此后，B板带有的电量，而A板带有的电量。当从A板移动第二个到B板时，需要外力克服电场力作功。于是，当B板带有电量q（电荷面密度是）、A板带有－q（电荷面密度是）时，相应A、B板之间的电势差为，这时再把电量从A板移到B板，外力作功是
所以，当B板带有电量Q、A板带有－Q时，外力所做的总功是
依据功能原理，此功转变成为该带电体系的能量。于是得出该带电体系的能量计算公式为
（7.54）
对于两个均匀带电的“无限大”平板形成带电体系，在两板之间形成均匀电场，两板外侧电场为零。当B板带有电量q（电荷面密度是）、A板带有－q（电荷面密度是）时，两板间的电场是
式中，是两板之间介质的介电常数。相应的电势差为
带入（7.54）式有
（7.55）
式中，是B板带有电量Q、A板带有－Q时的电势差。上式依据图7.33这个特例导出，但结果具有普遍意义。
现在我们要明确的是这个能量存在于何处，由谁携带。上述带电体系的形成过程，实际也是带电体系的电场建立过程。从电场的观点来看，带电体的能量也就是电场能量。仍以上面的特例为研究对象，利用如下关系
则（7.55）式改写为
式中，是两平板带电体系电场空间所占据的体积。
这个结果说明，带电体系的能量存在于电场所在的空间。由于两板之间的电场是均匀电场，所以电场的能量也处于均匀分布。我们引入电场能量密度（energy density of electric field）概念，其定义是电场中单位体积内存储的电场能量，用表示。即
（7.56）
利用电位移矢量与电场强度的关系（7.21）式，上式可以一般写成
（7.57）
对带电体系整个电场的能量，有如下积分形式作为计算公式
（7.58）
积分区域遍及整个电场空间。
上述结果（7.56）式、（7.57）式、（7.58）式，虽然是从匀强电场的特例推出，但可以证明，这是普遍适用的公式。
在上面讨论中，（7.55）式表明能量的存在是由于电荷的存在，电荷是能量的携带者。而（7.56）式、（7.57）式、（7.58）式告诉我们，能量存储于电场中，电场是能量的携带者。在静电场中，电荷和电场都不随时间发生变化，电场总是伴随着电荷而存在，所以无法明确能量是以何种方式存储的。然而在时变电磁场中，电场不依赖电荷传播，电磁波的试验证明了这一点。事实表明，电场是电能的携带者，电能定域于电场存在的空间。
能量是物质的固有属性之一，能量的概念与物质的概念是不可分割的。电场具有能量，表明电场是一种物质。
例7.17 在空气中放置一个均匀带电球面，球面半径为R，总带电量为q。求均匀球面产生的电场能量。
解 由例7.13已知该带电体产生的电场分布是
所以，该带电球面内部区域没有电场能量，电场能量存在于球面外部空间。
在球面外部空间某一点处的电场能量密度是
显然，相同的位置处有相同的能量值。我们做一半径为、厚度为的球壳体积元，该体积元内的能量密度值相同。该带电体的电场能量是
　　
7.6 电场强度与电势梯度的关系
电场强度和电势是描写电场性质的两个基本物理量。从逻辑上讲，描写同一事物的物理量之间
应该有某种关系。电势定义表达式给出了电势与场强的积分关系，在场强分布已知时，可以从这个关系式计算出电势。反之，如果已知电势分布，应当能够确定场强。我们从几何图示和微分解析两个角度来研究这种关系。
7.6.1 等势面
在静电场中，我们采用电场线形象的描述电场强度的空间分布。同理，我们也可以采用几何绘图的方法来形象描述电势的空间分布，这就是等势面（equipotential surfaces）的方法。而且比较电场线和等势面两种几何图像，可以定性直观的了解场强与电势的关系。
在电场中，电势相同点组成的曲面称为等势面。为了直观比较电场中各点的电势，一般
规定在绘制等势面时，应使相邻等势面的电势差相同。显然，不同电荷分布的电场有不同形
状的等势面。图7.34示出了几种典型带电体电场的等势面和电场线，其中虚线表示等势面，实线表示电场线。
根据等势面和电场线的定义，可以得出如下结论：
（1）电荷沿等势面移动时，静电场力作功为零。
设试验电荷从同一等势面a点移动到b点，由（7.44）式得出静电场力作功是
由于，所以
（2）等势面与电场线处处垂直。
设试验电荷在某一等势面上有任意微小位移，静电场力作功是
式中，是与间的夹角。由于、、皆不为零，所以，。电场强度与等势面上任意微小位移垂直，即电场强度与等势面垂直。
（3）等势面密集处的电场强度大，稀疏处的电场强度小，电场线指向电势降低的方向。
7.6.2 电场强度与电势梯度
在静电场中，两个邻近的等势面，电势分别为U和U＋dU，如图7.35所示。将试验电荷从一个等势面上的a点移动到另一等势面上的b点，微小位移与电场强度间夹角是。则静电场力作功是
因为，而电场强度在位移方向的分量是，则有
（7.59）
这说明，电场中某一点的电场强度沿任意方向的分量等于这一点的电势沿该方向单位长度的变化率的负值。
显然，对于一定的，越小则E越大；反之，越大则E越小。即等势面密集处的电场强度大，稀疏处的电场强度小。如果，则。所以沿着电场强度的方向，电势降低；逆着电场强度的方向，电势升高。即电场线的方向指向电势降低的方向。
按（7.59）式，在直角坐标系中电场强度的三个分量是
　　　 　 　　
于是电场强度是
（7.60）
上式给出了电场强度与电势间的微分关系。
在数学上引入梯度算符，其表示式为
所以有
（7.61）
此式进一步表明，电场中某点电场强度等于该点电势梯度（potential gradient）的负值。
理论上讲，只要知道了电场强度和电势其中之一，就可以确定另一个物理量。由于电势是标量，较电场强度容易计算，所以可以先计算电势，然后再利用（7.61）式求出电场强度。
在理解场强与电势梯度关系时，大家要注意如下几点：
第一、场强与电势梯度关系式表明，场强在自身方向的投影等于电势在该方向的减少率。由于场强在它自身方向的投影是最大投影，因此场强的方向是电势减少最快的方向。
第二、场强与电势梯度关系还表明，场强的大小等于电势沿场强方向的减少率，与该点电势值本身并无直接关系。
综合以上两条即有如下结论：场强的方向是电势减少最快的方向，而场强的大小等于电势沿该方向的减少率。由于电势梯度与场强的大小相同而方向相反，因而反过来有下述结论：电势梯度的方向沿着电势增加最快的方向，而电势梯度的大小等于电势沿该方向的变化率，即电势的最大变化率。此结论不仅对于电势分布是正确的，而且对所有标量场都成立。
例7.18 在均匀带电细圆环轴线上任一点的电势公式可以表示为
　　
其中，x表示圆心到场点的距离，R是圆环的半径。求轴线上任一点的场强。
解 由于均匀带电细圆环的电荷分布对于轴线是对称的，所以轴线上各点的场强在垂直于轴线方向的分量为零，因而轴线上任一点的场强方向沿x轴方向。场强与电势梯度关系式的分量形式可得
这一结果与使用迭加原理得到的结果相同。
例7.19 已知电偶极子的电势公式是
求电偶极子的场强分布。
解 建立球坐标系，取电偶极子中心位于坐标原点O，如图7.36所示。梯度算符在球坐标系中的表示式是
依据7.61式，有
（7.62）
显然，在两个特殊的方向有
，
，
这正是例7.2的结果。
7. 7 静电场中的导体
根据物质导电性能的不同，一般将物质分成三类：导体（conductor）、绝缘体（insulator）、半导体（semiconductor）。绝缘体处于电场中时，会出现电极化现象。静电场中导体与电场之间的相互影响是我们这里要讨论的内容。为讨论方便，这里主要研究各向同性均匀金属导体在电场中的情况。
7.7.1 静电平衡
一、静电平衡的条件
物质结构理论表明，金属导体由带负电的电子和带正电的晶体点阵组成。它之所以具有导电性能，是由于内部存在可以自由移动的电荷——自由电子。
当导体不带电，也不受外电场作用时，导体内的自由电子只做微观的无规则热运动。自由电子的负电荷与晶体点阵的正电荷相互中和，导体的各个部分呈现出电中性（electric neutrality）。
当导体置于外电场中时，导体内的自由电子在外电场的作用下会出现宏观的定向运动，引起导体中的电荷重新分布，这就是静电感应（electrostatic induction）现象。由于静电感应作用，在导体表面会出现新的电荷，称之为感应电荷（induced charge）。感应电荷的出现反过来会改变导体内部和周围的电场分布，直至导体中电荷宏观运动停止，电荷分布达到新的平衡。我们把导体中没有电荷做宏观定向运动的状态称为静电平衡（electrostatic equilibrium）状态。
如图7.37所示，在匀强外电场中放置一块金属导体板。由于静电感应的作用，导体表面出现感应电荷。感应电荷会激发一个与外电场方向相反的感应电场，导体中的电场是外电场和感应电场的矢量和，即。开始时，自由电子会不断的沿电场强度的反方向移动，使感应电荷逐渐加大，感应电场随之增大。这个过程一直延续到感应电场与外电场平衡，导体中的电场为止。于是导体内没有电荷做定向运动，电场分
布不随时间变化，导体处于静电平衡状态。因此，导体处于静电平衡状态的条件是：
（1）导体内部电场强度处处为零；
（2）导体表面邻近处的电场强度的方向与导体表面垂直。
在静电平衡的状态下，由于导体内部电场强度处处为零和表面电场强度的方向与导体表面垂直，所以导体内部和表面上任意两点间的电势差必然为零。于是得出结论：导体是等势体，导体表面是等势面。
二、静电平衡的导体上电荷的分布
在导体处于静电平衡状态时，导体上的电荷分布满足一定的规律。
（1）处于静电平衡的导体内部没有净电荷存在，电荷只能分布在导体的表面上。
在导体内部任意作一个闭合曲面S，如图7.38a所示。由于导体内的场强处处为零，由高斯定理可知，S面包围的净电荷为零。也即是说，任意地在导体内作一个闭合曲面，无论此闭合曲面在什么位置，无论是大或是小，均不能包围净电荷。这意味着导体内确实没有净电荷，电荷只能分布于导体表面。
对于导体内部有空腔的情况，如果空腔内没有其它带电体，在静电平衡情况下，空腔内表面也不会有电荷存在。我们在导体内内取如图7.38b所示的高斯面，因为S面上电场处处为零，根据高斯定理，在导体内表面上电荷的的代数和为零。这时内表面仍可能某点面电荷，而在另一点面电荷，内表面上电荷的的代数和仍为零。利用电场线定义，由正电荷到负电荷引出一条电场线。根据电场线的性质，电场线两端存在电势差，只与导体是等势体的要求矛盾。所以，在静电平衡时，导体空腔内表面电荷处处为零。 (
S
S
（b）
图7.38 导体上电荷分布
)
（2）处于静电平衡的导体表面的面电荷密度与该处表面曲率有关，电荷面密度与曲率成正比。
电荷在导体表面上是如何分布的？一般而言，它不仅与导体形状有关，而且与它附近其它导体或带电体有关。对于孤立导体，导体表面凸出而尖锐的地方曲率大，面电荷密度较大；表面比较平坦的地方曲率较小，面电荷密度较小；表面凹进的地方曲率为负，面电荷密度更小。图7.39示出尖端导体面上电荷分布。
三、导体表面附近的电场
利用高斯定理可以证明：静电平衡导体表面外附近的电场强度的大小与该处表面上的电荷密度成正比，其关系是
　　 （7.63）
这里所说的导体表面附近的含义是指考察点的位置相对于导体很近，以至于在该点能看到的导体表面上一块很小的面积S就象是一个无限大的平面。
上式可以用高斯定理来证明。如图7.40所示。考察点P在导体表面附近，过P点作一个很小的柱型高斯面S，柱面的上底ΔS过P点且与导体表面平行，下底位于导体内，柱面的侧面与导体表面垂直。由于导体内电场处处为零，表面电场方向与导体表面垂直，因此通过下底面和侧面的电通量是零。由高斯定理得
高斯面内的电荷代数和是
　
于是
整理得出
（7.64）
应当明确的是，根据高斯定理的物理意义，上式中的E不要误解为只是考察点P附近的导体表面处的电荷所贡献的场强，而是所有表面上的电荷以及导体外的电荷共同产生的总电场的场强。
对于有尖端的带电导体，在尖端附近处的电荷面密度很大，其附近的电场也非常强，导致尖端附近的空气中的残留离子在这个电场作用下发生剧烈运动，并与空气分子碰撞而使之电离。与尖端上电荷异号的离子受到吸引而飞向尖端，同尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离子受到排斥而离开尖端作加速运动。从表面上看，如同尖端上的电荷“喷射”出来，写成尖端放电（point discharge）现象。
强烈的尖端放电会产生耀眼的火花，并发出“啪啪”的响声；较弱的放电会在尖端附近出现淡绿色的光晕，称为电晕。尖端放电会使高压输电线等设备产生电能损失和漏电危险，所以高压输电线表面应当尽量做得光滑些，具有高压的零部件的表面常做成光滑的球面。
尖端放电也有可以利用的一面，避雷针就是利用金属尖端的放电原理来避免建筑物和设备被雷击损坏。
【科技博览】静电现象有利有弊，既可以用来造福于人类，又要注意其在某些某些方面带来的麻烦。
静电现象在科学技术和工农业生产中有着广泛应用，包括静电复印、静电除尘、静电喷涂等。静电喷涂是一种利用高压形成的静电场，进行喷漆的新技术，其基本原理如图7.41所示。静电高压发生器作为电场源，利用喷枪的尖端效应在喷枪与工件之间形成空气电离区域。经喷枪喷出的涂料在通过空气电离区域时，涂料颗粒捕捉到大量电子而带负电，并与带正电的工件相吸附，形成漆膜涂层。与普通喷涂方法比较，静电喷涂具有效率高、质量好、浪费少、有利于工人健康等优点。静电除尘是利用高压下气体电离和电场力的作用使粉尘从废气中分离出来的除尘技术，其工作原理如图7.42所示。具有正高压（接地）的金属圆筒外壳与轴心带负高压齿状结构的金属丝之间形成空气电离区，齿状的尖端放电形成电风，使大量负离子向外筒阳极飞去并与粉尘粒子发生频繁碰撞而使
之带上负电，带有负电的粉尘粒子被阳极外筒吸附，达到除尘的目的。这种除尘技术具有除尘率高、耗电少、易于大面积使用等优点，在冶金、化工、煤气、火力发电等生产领域得到广泛应用。
静电现象的存在，也有其不利的方面，如含有媒粉的空气在管道中通过、石油在管道内输送、空中飞行的飞机等都会由于摩擦的存在而产生静电现象，当电荷积累过高而导致高压，就会产生静电火花而引起爆炸。防范静电的方法一般有：一是限制产生静电的条件，如选用摩擦起电小的材料、控制物体间摩擦的速度、减少不必要的喷射或搅动；二是利用一定装置疏导静电，如利用接地的金属导体将静电导入大地、适当增大空气湿度让静电释放出来；三是利用特制的静电设备来防止静电的聚集。
7.7.2 静电屏蔽
一个达到静电平衡的导体空腔能够隔断空腔内外电荷的相互影响，这种作用称之为静电屏蔽（electrostatic shielding）。
如图7.43所示，导体空腔是一个导体球壳，空腔内部没有电荷而空腔外部有个一点电荷。如前所述，此时导体中的场强为零，空腔内的场强也为零。这表明导体空腔确实屏蔽了空腔外部的电荷对空腔内部的影响。
静电屏蔽并不违背场强迭加原理，而应该理解为场强迭加原理应用于导体时的一个结果。导体外部空间的电荷仍然在空腔内的每一点独立地产生它的场强，而在导体外表面分布的感应电荷却能精确地按照迭加原理在每一点把它完全抵消。静电屏蔽是把导体的静电平衡条件应用于空腔时所得到的一个必然结论。静电屏蔽是相当完美的，无论腔外的电荷有多大，无论电荷距离空腔有多近，甚至电荷可以与空腔外表面接触而直接使空腔外表面带上净电荷，空腔内表面都不会有电荷分布，空腔内也都不会有电场分布。
静电屏蔽在工程技术中有很多的应用，为了避免外场对某些精密元件的影响，可以把元件用一个金属壳或金属网罩起来。高压作业时，操作人员要穿上用金属丝网做成的屏蔽服也是为了防止电场对人体的伤害。屏蔽服也会带电，电势可能会很高，但屏蔽服内的场强却为零，这就保证了操作者的安全。
其次考虑图7.44所示情况。图（a）显示一个导体球壳本身不带电，而在空腔内部有一个点电荷q。在导体中作一闭合曲面包围空腔，由高斯定理可知，曲面内的净电荷为零，即空腔内表面的感应电荷应与空腔内部的电荷等值异号，即为。按电荷守恒定律，空腔外表面要出现感应电荷，并在空腔外产生一个电场。如果把导体空腔接地，如图(b)所示。这时外表面的感应电荷被中和，导体电势为零，在空腔外部不产生电场。所以，一个接地的导体空腔能屏蔽空腔内电荷对外部的影响。
静电屏蔽原理在生产技术中有着许多应用。为了避免外部电场对设备（如某些精密电子测量仪
器等）的干扰，或者避免某些电器设备（如高压设备等）对外界产生影响，可以在这些设备的外围安装接地的金属外壳（网、罩）。为了避免外界对传递弱信号的导线的干扰，往往在导线外面包裹一层金属丝编织的屏蔽层。
例7.20 半径为R1的导体球带有电量q，球外有一内、外半径分别为R2和R3的同心导体球壳带电为Q，如图7.45所示。（1）求导体球和和球壳的电势；（2）若用导线连接球和球壳，再求它们的电势；（3）若不是连接而是使外球接地，再求它们的电势。
解 （1）由静电平衡条件可知，电荷只能分布于导体表面。
在球壳中作一闭合高斯面，利用高斯定理可以求出球壳内表面感应电荷为。由于电荷求恒，球壳外表面电量应为。由于球和球壳同心放置，满足球对称性，故电荷均匀分布形成三个均匀带电球面，如图7.45（a）所示。
依据电势迭加原理，空间任一点的电势是三个带电球面在该点各自产生电势的代数叠加。所以导体球的电势为
　　　　
导体球壳的电势为
　　　
（2）若用导线连接导体球和球壳，球上电荷q将和球壳内表面电荷中合，电荷只分布于球壳外表面，如图7.45（b）。此时球和球壳的电势相等，为
　　　　
（3）若使球壳接地，球壳外表面电荷被中合，这时只有球和球壳的内表面带电，如图7.45（c）。此时球壳电势为零
　　　
导体球的电势是
　
7.7.3 电容器
导体可以容纳电荷，利用导体的这一性质制成的电容器是电子技术中最基本的元件之一。
我们把两个导体按一定结构的组合定义为一个电容器（capacitor）。如图7.46所示，有两个导体A和B组成一个电容器，A、B称为电容器的两个极板。设两个极板分别带电和，若没有外电场的影响，实验证明，两极板间电势差与电量成正比，比值
（7.65）
是一个决定于电容器自身结构的恒定量，称之为电容器的电容（capacitance）。上式表明，电容C表征电容器储存电荷的能力。
在国际单位制中，电容的单位是法拉（F）。常用的单位还有微法（μF）、皮法（pF）。其中
下面根据电容的定义，我们来计算几种常用的电容器的电容。
（1）平板电容器的电容
平板电容器由夹有一层介电常数为电介质的两个平行而靠近的金属薄板A、B构成，如图7.47所示。设A板带电、B板带电，忽略边缘效应，电荷将各自均匀地分布在两板的内表面，电荷面密度的大小为。由高斯定理求出两板间的电场为
两板之间的电势差是
根据电容器电容的定义，平板电容器的电容是
（7.66）
上式表明，平板电容器的电容C和极板面积S、极板间电介质的介电常数成正比，与极板间距d成反比，而与极板所带的电量无关。
如果两极板之间是真空，其电容是
（7.67）
平板电容器充满介质后与不充介质时电容的比值是
（7.68）
是极板间电介质的相对介电常数。
（2）圆柱形电容器的电容
圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒A、B构成，如图7.48所示。两个圆筒的长度均为L，内筒的外径为RA，外筒的内径为RB，它们之间的介质的介电常量为。设A筒带电，B筒带电。忽略边缘效应，电荷应各自均匀地分布在A筒的外表面和B筒的内表面上，单位长度上的电量是。
由高斯定理可求得两筒之间距离轴线为r的p点的电场是
（）
两极板间的电势差是
依据电容的定义，得出
（7.69）
（3）球形电容器的电容
球形电容器由两个同心的导体球壳A、B构成，如图7.49所示。设内球的外径为RA，外球的内径为RB，两球间介质的介电常数为。若内球带电，外球带电，则电荷将形成两个均匀带电球面。
由高斯定理可求得两球面之间距离球心为r处p点的的电场是
（）
方向沿半径方向。两球面之间的电势差为
球形电容器的电容为
（7.70）
上述三种电容器的电容计算表明，电容器的电容只与它的几何结构和极板之间的电介质有关，与它是否带电无关。
电容器是储存电荷的器件。在储存一定电荷以后，在极板之间产生电场，所以它也是储存电能的器件。将（7.65）式带入（7.55）式，电容器的能量计算公式可以写成
（7.71）
上式是计算电容器存储能量的一般计算公式。
在实际应用中，电容器种类繁多，外形各异，如图7.50所示。电容器的应用十分广阔，在各种电子仪器、收音机、电视机、机电设备中，一般都用到电容器。在电容器的使用中，除了应当注意标明的型号外，还应关注两个重要性能指标，即电容器的电容值和耐压值。这两个指标一般都标注在电容器的外表面上，100250，
其中100表示电容值，250表示耐压值。使用时要注意电容器两极板上所加的电势差不能超过观点的耐压值，以免电容器中的电介质被击穿而使其损坏。
本章小结
任何电荷周围都存在电场，相对观察者静止的电荷产生的电场成为静电场。本章从反映电荷之间相互作用的实验定律——库仑定律出发，从两个角度入手，引入相关的物理量，对静电场的性质进行描述。
首先，利用电场中的电荷受到电场力的作用的性质，定义描述电场的基本物理量——电场强度，电场强度满足电场叠加原理。为了形象描述电场的空间分布，引入了电场线和电通量的概念，建立了静电场的高斯定理，明确静电场是有源场，源头就是电荷。高斯定理和电场强度的计算是本章的要求重点之一。
其次，利用电荷在电场中移动时电场力对电荷做功的性质，引入描述电场的基本物理量——电势，引入描述静电场基本性质的方程：环路定理。通过引入等势面的概念，形象的描述空间电势的分布，建立了电场强度与电势梯度的关系。环路定理和电势的计算是本章的要求重点之一。
当电场所在空间存在电介质时，介质将产生电极化现象。介质上出现极化电荷，极化电荷会影响到电场的分布。为了便于电场分布的讨论，我们引入了描述极化现象的物理量——电极化强度和电位移矢量，建立了电场强度与电极化强度和电位移矢量的关系。理解介质电极化现象，掌握对称性带电体所产生的电位移矢量的计算，是本章要求的内容。
当电场所在空间存在导体时，导体上出现感应电荷，感应电荷会影响到电场的分布，出现静电平衡现象。最后，本章讨论了导体电容器的电容和静电场的能量问题。理解静电感应现象，掌握典型电容器的电容计算和对称性电场的能量计算，是本章要求的内容。
附：本章知识网络
习题与思考题
7.1一个试验电荷放在带正电的大导体附近点处，实际测得它受力。若考虑到电量不是足够小的，则比点的场强大还是小？若大导体带负电，情况如何？
7.2根据点电荷的场强公式，当所考虑的点和点电荷的距离时，则场
强，这是没有物理意义的，对这问题应怎样理解？
7.3 如图所示，在坐标(a,0)处放置一点电荷+q，在坐标(-a,0)处放置另一点电荷-q 。P点是y轴上的一点，坐标为（0,y），试求，当y>>a时，P点场强的大小。
7.4 一环形薄片由细绳悬吊着,环的外半径为R,内半径为R/2,并有电量Q均匀分布在环面上。细绳长3R,也有电量Q均匀分布在绳上,试求圆环中心O处的电场强度大小(圆环中心在细绳延长线上)。
7.5 半径为R的带电细圆环，电荷线密度（为常数，为半径R与x轴的夹角），求圆环中心处的场强。
7.6 两根相同的均匀带电细棒，长为，电荷线密度为λ，沿同一条直线放置。两细棒间最近距离为，如图所示。假设棒上电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力。
7.7 如图所示,一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上,则通过侧面abcd的电场强度通量为多少？
7.8 当封闭曲面内的电荷的代数和等于零时，是不是闭合面上任一点的场强为零？为什么？
7.9有两个均匀带电球（电荷分布保持不变），相互接近，能不能用高斯定理求空间场强分布？
7.10 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球内挖去半径为r的小球体,球心为O’,两球心间距,如图所示,求:
（1）球形空腔内,任一点处的电场强度；
（2）在球体内P点处的电场强度,设O’、O、P三点在同一直径上,且。
7.11电荷面密度为的“无限大”均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布。
7.12 如图有两根半径都是R的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d(d>>2R),单位长度上分别带有电量为+和-的电荷，设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，试求两导线间的电势差。
(
-
R
+
R
d
题7.12图
R
O
q
Q
r
P
题7.13图
)7.13 真空中一半径为R的球面均匀带电，在球心O处有一带电量为q的点电荷,如图所示。设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O距离为r的P点处的电势为多少？
7.14 电荷以相同的面密度分布在半径为r1=10cm和半径为r2=20cm的两个同心球面上, 设无限远处为电势零点，球心处的电势为U0=300V.
（1）求电荷面密度；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？
7.15 电量q分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势（设无穷远处为电势零点）。
7.16 一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。
7.17 质量均为m，相距为r1的两个电子，由静止开始在电力作用下（忽略重力作用）运动至相距为r2，求此时每一个电子的速率。
7.18 一半径为R的均匀带电细圆环，带电量Q，水平放置，在圆环轴线的上方离圆心R处，有一质量为m、带电量为q的小球，当小球从静止下落到圆心位置时，试求它的速率。
7.19 在电量为+q的点电荷电场中，放入一不带电的金属球，从球心O到点电荷所在处的矢径为。试求
（1）金属球上的感应电荷净电量；
（2）这些感应电荷在球心O处产生的电场强度。
7.20 一长直导线横截面半径为a，导线外同轴地套一半径为b的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示. 设导线单位长度的带电量为+λ, 并设地的电势为零，则两导体之间的p点（）的场强大小和电势分别为多少？
7.21 半径为R的两根无限长均匀带电直导线, 其电荷线密度分别为+和-, 两直导线平行放置, 相距d (d>>R), 试求该导体组单位长度的电容。
7.22 图示为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？并求这个最小的电场强度的大小。
7.23 当电场强度相同时，为什么在电介质的电场中的电能体密度比真空中的大？
7.24 一平行板电容器, 极板面积S, 两极板紧夹一块厚度为d的面积相同的玻璃板, 已知玻璃的r ,

展开更多......

收起↑