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第八章 立体几何初步
8.6.3 平面与平面垂直 学案
一、学习目标
1. 理解二面角的有关概念，能求简单二面角的大小；
2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，学会用定理证明垂直关系；
3. 理解平面与平面垂直的性质定理.
二、基础梳理
1. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
2. 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
3. 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
三、巩固练习
1.下列命题中假命题是( )
A.如果平面平面，平面平面,，那么 B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
2.在四棱柱 中，已知平面平面ABCD，且，，则BD与( )
A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直
3.已知两个平面垂直，下列命题( )
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
4.如图,在三棱锥中，，平面平面.① ;② ;③平面平面;④平面平面.以上结论中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设是两条不重合的直线, 是两个不重合的平面,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若，则
D.若,则
6.在下列命题中,正确的是( )
A.垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B.垂直于同一个平面的两条直线互相平行
C.平行于同一个平面的两条直线互相平行 D.平行于同一条直线的两个平面互相平行
7.已知为不同的平面, 为不同的直线,则下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若 ，则
8.已知平面平面,则下列命题正确的个数是( )
① 内的直线必垂直于内的无数条直线;
② 在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线;
③ 内的任何一条直线必垂直于;
④ 过内的任意一点作与交线的垂线,则这条直线必垂直于.
A.4 B.3 C.2 D.1
答案解析
1.答案：D
解析：因为平面内任意一点可以是交线上一点，所以过这一点的垂线不一定垂直于平面.故选D.
2.答案：C
解析：如图所示，在四边形ABCD中，，，.∵平面平面ABCD，平面平面,平面ABCD,平面.又平面，.故选C.
3.答案：C
解析：对于①，由于两平面垂直，则若一个平面内的已知直线垂直另一平面内的任意一条直线，则该直线垂直于另一个平面，且必垂直于它们的交线，可已知直线不一定垂直于交线，故①错；
对于②，一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线，比如都是平行线，故②对；
对于③，由于两平面垂直，则一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一平面，只有它垂直于交线，才成立，故③错；
对于④，在一个平面内一定存在直线平行于另一平面，只要改直线平行于交线即可，故④对。
则②④正确.
故选C.
4.答案：C
解析：∵平面平面,平面平面，∴平面.
又平面，∴ ，故①正确.
∵平面，∴平面平面，故③正确.
∵.
∴平面.
又平面，
∴平面平面，故④正确.
综上，①③④正确，选C.
5.答案：B
解析：对于A选项，两个平面平行，则一个平面内的直线， 和另一个平面内的直线可能异面，故A选项错误.对于B选项， 若两个平面平行，则一个平面内的直线和另一个平面平行，故B选项正确.对于C选项，两个平面垂直，则一个平面内的直线和另一个平面不一定垂直，故C选项错误.对于D选项，根据面面垂直的性质定理可知：若两个平面垂直，则在一个平面内，垂直于交线的直线和另一个平面垂直.但是D选项中直线不一定在这两个垂直的平面内，所以D选项错误.故选B.
6.答案：B
解析：A.垂直于同一个平面的两个平面可能相交，可能平 行，故A不正确；B.由线面垂直的性质定理可得垂直于同一个 平面的两条直线互相平行，故B正确；C.平行于同一个平面的 两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故C不正确；D.平 行于同一条直线的两个平面可能平行，可能相交，故D不正确.故选B.
7.答案：D
解析：A选项直线有可能在平面内，故不正确.B选项由于的位置不确定，不满足线面垂直的性质定理，故不正确.C选项位置关系不能确定，故不正确.D选项是面面平行的判定定理，故正确.
8.答案：B
解析：①②④正确.

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