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第一节　集 合
(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；(3)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．　
重点一　集合的有关概念
1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
2．集合的三种表示方法： 、 、
3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 ，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 ，Q表示 ，R表示实数集．
[逐点清]
1．(必修第一册5页练习1题改编)若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A．矩形　　　　　　　　 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
解析：D　由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．故选D．
重点二　集合间的基本关系
1．子集：若对于任意的x∈A都有 ，则A B．
2．真子集：若A B，存在x∈B，且x A，则A?B．
3．相等：若A B，且 ，则A＝B．
4． 是任何集合的子集，是 集合的真子集．
[逐点清]
2．(必修第一册8页练习2题改编)下列五种说法：①{0}∈{1,2,3}；② {0}；③{0,1,2} {1,2,0}；④0∈ ；⑤0∩ ＝ ，其中错误写法的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：C　对①，{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误；对②， 是不含任何元素的集合，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确；对③，{0,1,2}＝{1,2,0}，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确；对④，0是元素， 是不含任何元素的集合，所以0 ，故④错误；对⑤，0是元素， 是不含任何元素的集合，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误．故选C．
重点三　集合的基本运算
并集 交集 补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈U，且x A}
[逐点清]
3．(必修第一册13页练习1题改编)已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|x>4}，则 UA＝(　　)
A．{x|0C．{x|x≤0} D．{x|x≤4}
解析：A　全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|x>4}，则 UA＝{x|04．(必修第一册14页习题1题改编)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B中的元素个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：B　因为A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∩B＝{－1,0,1}，所以A∩B中的元素个数为3，故选B．
[记结论]
1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
2．子集的传递性：A B，B C A C．
3．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB．
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
[提速度]
1．(2022·重庆月考)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数有(　　)
A．3　　 B．4
C．6　　 D．7
解析：D　因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1,0,1}，所以其真子集个数为23－1＝7．故选D．
2．已知集合A＝{x|－10}，则( RA)∩( RB)＝(　　)
A．{x|x≤－1} B．{x|x≤0或x≥2}
C．{x|－1解析：A　因为A∪B＝{x|x>－1}，所以( RA)∩( RB)＝ R(A∪B)＝{x|x≤－1}．故选A．
集合的基本概念
1．(2022·长沙月考)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值是(　　)
A．0 B．4
C．0或4 D．不能确定
解析：C　当a＝0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4．则a的值是0或4．故选C．
2．(2022·常州模拟)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：C　因集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，又x∈A，y∈B，则当y＝5时，x＋y的值有6,7,8,9，当y＝6时，x＋y的值有7,8,9,10，于是得C＝{6,7,8,9,10}，所以C中元素的个数为5．故选C．
3．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A,3 A，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得解得所以1答案：(1,2]
求解与集合中元素有关问题的关键点
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．　
集合间的基本关系
　(1)(2022·沈阳质测)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x(x－2)log2x＝0}的关系可表示为(　　)
(2)已知集合A＝{x|－1[解析]　(1)因为N＝{x|x(x－2)log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A．
(2)当m≤0时，B＝ ，显然B A．当m>0时，因为A＝{x|－1所以所以0[答案]　(1)A　(2)(－∞，1]
1．若本例(1)中M不变，则满足C?M的集合C的个数为(　　)
A．2　　　 B．3
C．7　　　 D．8
解析：C　因M＝{0,1,2}，则C＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}， ．
2．若本例(2)中，把条件“B A”变为“A B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：若A B，由得m≥3，所以m的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
破解集合间基本关系的方法
(1)若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论；
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解．　
集合的基本运算
考向1　集合的运算
　(1)(2021·全国甲卷)设集合M＝{1,3,5,7,9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝(　　)
A．{7,9} B．{5,7,9}
C．{3,5,7,9} D．{1,3,5,7,9}
(2)设全集U＝R，集合A＝{x|－11}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}
C．{x|－1[解析]　(1)由题得集合N＝，所以M∩N＝{5,7,9}．故选B．
(2)∵全集U＝R，集合A＝{x|－11}，∴ UB＝{x|x≤1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩( UB)＝{x|－1[答案]　(1)B　(2)C
求解集合基本运算的方法步骤
　
考向2　利用集合的运算求参数
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围为_________________________________________________________________．
[解析]　∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，由A∪B＝A，∴B A，①当B＝ 时，满足B A，此时m＋1>2m－1，∴m<2；②当B≠ 时，∵B A，则解得2≤m≤3．综上，m∈(－∞，3]．
[答案]　(－∞，3]
利用集合的运算求参数的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合中的元素是用不等式(组)表示的，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解；
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．　
考向3　集合的新定义问题
(2022·长沙模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．
[解析]　因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝ ，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝＝．若A与B构成“全食”或“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4．综上a的值为0或1或4．
[答案]　0或1或4
解决集合新定义问题的注意点
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；
(2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．　
1．已知集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，集合N＝{y|y＝4k＋3，k∈Z}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x＝6k＋2，k∈Z} B．{x|x＝4k＋2，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D．
解析：C　集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，集合N＝{y|y＝4k＋3，k∈Z}＝{y|y＝2(2k＋1)＋1，k∈Z}，因为任取x∈N时，则x∈M成立，所以M∪N＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}．故选C．
2．(2022·浙江调研)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|0A．(－1,0) B．(－1,1)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：D　因为A＝{x|x≤1}，所以 RA＝{x|x>1}，因为B＝{x|0[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·嘉兴月考)方程组的解构成的集合是(　　)
A．{1}　　　　　　　　　 B．(1,1)
C．{(1,1)} D．{1,1}
解析：C　∵∴∴方程组的解构成的集合是{(1,1)}．故选C．
2．(2022·金陵模拟)设M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，N＝{α|α＝k·45°，k∈Z}，则(　　)
A．M N B．M N
C．M＝N D．M∩N＝
解析：A　∵N＝{α|α＝k·45°，k∈Z}，∴当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，α＝k·45°＝2n·45°＝n·90°，n∈Z，当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，α＝k·45°＝(2n＋1)·45°＝n·90°＋45°，n∈Z，又M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，∴M N．故选A．
3．(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0A． B．
C．{x|4≤x<5} D．{x|0解析：B　M∩N＝．
4．(2021·天津高考)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{1,3,5}，C＝{0,2,4}，则(A∩B)∪C＝(　　)
A．{0} B．{0,1,3,5}
C．{0,1,2,4} D．{0,2,3,4}
解析：C　由A＝{－1,0,1}，B＝{1,3,5}得A∩B＝{1}，所以(A∩B)∪C＝{1}∪{0,2,4}＝{0,1,2,4}，故选C．
5．已知集合A＝{1,3}，集合B＝{x|2mA．≤m或m< B．m≥0
C．m≥ D．0≤m<
解析：B　由A∩B＝ ，得：①若2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；②若2m<1－m，即m<时，因为A∩B＝ ，则或解得0≤m<，所以实数m的取值范围为m≥0，故选B．
6．(多选)设集合A＝{x|x2－7x＋12＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为(　　)
A． B．0
C．3 D．
解析：ABD　A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，∵A∩B＝B，∴B A，当B＝ ，即a＝0时，满足B A，当B≠ ，即a≠0时，B＝{x|ax－1＝0}＝，由于B A，则＝3或＝4，即a＝或a＝，故选A、B、D．
7．(多选)若集合M＝{x|－3A．M∩N B． RM
C． R(M∩N) D． R(M∪N)
解析：BC　因为集合M＝{x|－33}．故选B、C．
8．集合＝{0，a2，a＋b}，则a2 022＋b2 022＝________．
解析：由题意可知a≠0，所以＝0，即b＝0，所以{1，a,0}＝{0，a2，a}，即a2＝1，又因为a≠1，所以a＝－1，所以a2 022＋b2 022＝1．
答案：1
9．(2022·天津模拟)已知集合A＝{x|x2＝x}，集合B＝{x|1<2x<4}，则集合A的子集个数为________；A∩B＝__________．
解析：A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，B＝{x|1<2x<4}＝{x|0答案：4　{1}
10．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|00}，若A∪B C，则实数m的取值范围是____________．
解析：∵集合A＝{x|00}＝{x|x>－m}，又A∪B C，∴－m≤－1，解得m≥1．∴实数m的取值范围是[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
B级——综合应用
11．(多选)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则下列命题中正确的是(　　)
A．若A＝B，则a＝－3
B．若A B，则a＝－3
C．若B＝ ，则a≤－6或a≥6
D．若B?A，则－6解析：ABC　结合题意得到A＝{x∈R|－312．若全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(6－x)}，B＝{x|2x>1}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．(2,3)　　　　　　 B．(－1,0]
C．[0,6) D．(－∞，0]
解析：D　A＝{x|y＝lg(6－x)}＝{x|x<6}，B＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，阴影部分表示的集合是( UB)∩A＝(－∞，0]∩(－∞，6)＝(－∞，0]．故选D．
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5答案：－1　1
14．设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为M－P＝{x|x∈M，且x P}，设U＝{1,2,3,4，…，10}，集合B＝{2,4,6,8}，请你写出一个集合A，使得A－B＝{5}，则集合A＝________．
解析：由题意，知5∈A,5∈ UB，而A中不再含 UB中的其他任何元素，且A是否再含B中的元素不影响等式A－B＝{5}，因此A＝{5}符合题意．
答案：{5}(答案不唯一)

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