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第二节　常用逻辑用语
(1)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；(2)通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；(3)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．　
重点一　全称量词与全称量词命题
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
2．全称量词命题：含有 的命题．
3．全称量词命题的符号表示：形如“对M中任意一个x，p(x)成立”的命题，可用符号简记为
4．全称量词命题的否定：
[逐点清]
1．(多选)(必修第一册28页练习1题改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
解析：AC　对于A， x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A选项是全称量词命题且为真命题；
对于B，当m＝0时，nm＝m恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题；
对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题；
对于D，因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以≤<，故D选项是存在量词命题且为假命题．故选A、C．
重点二　存在量词与存在量词命题
1．存在量词：短语“存在一个”“ ”在逻辑中通常叫做
2．存在量词命题：含有 的命题．
3．存在量词命题的符号表示：形如“存在M中的元素x，p(x)成立”的命题，可用符号简记为
4．存在量词命题的否定：
[注意]　 1 常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任何”等；常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某一个”“有的”等； 2 因为命题p与綈p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.
[逐点清]
2．(必修第一册28页练习2题改编)下列存在量词命题是真命题的是________(填序号)．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在实数x，使x2＋2<0;
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
解析：①中只要等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似，为真命题；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④．
答案：①③④
重点三　充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的 条件，q是p的 条件
p是q的 条件 p q且qp
p是q的 条件 pq且q p
p是q的 条件 p q
p是q的 条件 pq且qp
[逐点清]
3．(易错题)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2．故选B．
4．(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．故选A．
5．下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>0，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
解析：B　若a＝，则a2＝2是有理数，所以p q，故A错误；因为等腰梯形的对角线一定相等，但是对角线相等的四边形不一定是等腰梯形，p q，所以p是q的充分条件，故B正确；x>0不一定得到x≥1，pq，故C错误；a>b，c＝0时，ac2＝bc2，所以pq，故D错误．故选B．
[记结论]
1．充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
[提速度]
　已知p：|x－a|<4，q：－x2＋5x－6>0，且綈q是綈p的必要不充分条件，则a的取值范围为__________．
解析：命题p：|x－a|<4，解得a－40，解得2答案：[－1,6]
全称量词命题与存在量词命题
1．已知命题p： x≥0，ex≥1或sin x≤1，则綈p为(　　)
A． x<0，ex<1且sin x>1
B． x<0，ex≥1或sin x≤1
C． x≥0，ex<1或sin x>1
D． x≥0，ex<1且sin x>1
解析：D　命题p： x≥0，ex≥1或sin x≤1，为全称量词命题，则綈p为： x≥0，ex<1且sin x>1，故选D．
2．(多选)下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(　　)
A．至少有一个实数x，使得x3＝1
B．菱形的对角线互相垂直
C． x∈R，x2＋x＋>0的否定
D． x∈R，－x2＋x－2≥0的否定
解析：AC　对于选项A，命题是存在量词命题，当x＝1时，x3＝1，所以A中命题是真命题；
对于选项B，命题是全称量词命题，不满足题意；
对于选项C， x∈R，x2＋x＋>0的否定为： x∈R，x2＋x＋≤0，是存在量词命题，x2＋x＋＝2≥0，当x＝－时，x2＋x＋＝0，所以C中命题是真命题；
对于选项D， x∈R，－x2＋x－2≥0的否定是： x∈R，－x2＋x－2<0，是全称量词命题，不符合题意．故选A、C．
3．若“ x∈[－1,2]，x2－m>1”为假命题，则实数m的最小值为___________．
解析：因为“ x∈[－1,2]，x2－m>1”为假命题，所以“ x∈[－1,2]，x2－m≤1”为真命题，所以m≥x2－1对x∈[－1,2]恒成立，即m≥(x2－1)max＝3．
答案：3
1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象使命题为假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为假 否定为真
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．　
充分条件、必要条件的判定
　(1)(2021·北京高考)已知f(x)是定义在[0,1]上的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析]　(1)若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝2，但f(x)＝2在上为减函数，在上为增函数，故f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0,1]上单调递增，故“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件．故选A．
(2)当a1<0，q>0时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
[答案]　(1)A　(2)B
判断充分条件、必要条件的三个法宝
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
[注意]　判断条件p，q之间的关系时要注意条件之间关系的方向，要注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别，同时，还要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．　
1．(2022·T8联考)“0＜θ＜”是“0＜sin θ＜”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　由正弦函数的单调性可知，当0＜θ＜时，0＜sin θ＜．反之，当0＜sin θ＜时，可能有θ＝＞，所以“0＜θ＜”是“0＜sin θ＜”的充分不必要条件，故选A．
2．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B．
充分条件、必要条件的探究与应用
考向1　充分条件、必要条件的探究
　下列是“|x－1|<1”成立的必要不充分条件的是(　　)
A．－C．－3[解析]　|x－1|<1 －1[答案]　B
1．选择题中求充分不必要条件问题，是由选择项推出题干，但是题干不能推出选择项，而选择题中求必要不充分条件问题，是由题干推出选择项，但是选择项不能推出题干．
2．对于充分、必要条件的探求，一般化为集合问题．　
考向2　充分条件、必要条件的应用
　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P是x∈S的必要条件，则S P，∴解得0≤m≤3，故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
[答案]　[0,3]
本例中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“P是S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
∵P是S的充分不必要条件，∴P S且SP．
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]，
∴或∴m≥9，
则m的取值范围是[9，＋∞)．
应用充分条件、必要条件求解参数范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．　
1．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是(　　)
A．a－2>b B．a＋2>b
C．|a|>|b| D．>
解析：B　a>b无法推出a－2>b，故A错误；a>b能推出a＋2>b，故选项B是a>b的必要条件，但a＋2>b不能推出a>b，不是充分条件，满足题意，故B正确；a>b不能推出|a|>|b|，故选项C不是a>b的必要条件，故C错误；a>b无法推出>，如a>b>1时，故D错误．故选B．
2．设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}．由q是p的必要不充分条件，知A?B．所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤．
答案：
等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化使其化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．
已知命题p：≤x≤1，命题q：(x－a)(x－a－1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
[解析]　命题q：(x－a)(x－a－1)≤0，解得a≤x≤a＋1．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴?[a，a＋1]．∴且等号不能同时成立，解得0≤a≤．则实数a的取值范围是．
答案：
[点评]　本例将“綈p是綈q的必要不充分条件”转化为“p是q的充分不必要条件”，将p，q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．
1．若p：－5≤x<3，q：x2－5x＋6<0，则綈q是綈p的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　p：－5≤x<3，由q：x2－5x＋6<0，得q：22．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．命题“ x>2，log2x>1”的否定是(　　)
A． x>2，log2x≤1　　　 B． x≤2，log2x≤1
C． x>2，log2x<1 D． x<2，log2x<1
解析：A　命题为全称量词命题，则命题的否定为 x>2，log2x≤1”．故选A．
2．1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，请问“没有共产党”是“没有新中国”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A　记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件．故选A．
3．(2021·天津高考)已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A　a2＞36等价于|a|＞6 a＞6或a＜－6，故a＞6 |a|＞6，即a2＞36，但|a|＞6a＞6，因此“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件．
4．△ABC中，“△ABC是钝角三角形”是“|＋|<||”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　在△ABC中，若C为钝角，如图画出平行四边形ABDC，∴|＋|＝||，易知||>||，∴“△ABC是钝角三角形”不一定能推出“|＋|<||”；在△ABC中，A，B，C三点不共线，∵|＋|<||，∴|＋|<|－|，∴|＋|2<|－|2，∴·<0，∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形，∴“|＋|<||”能推出“△ABC是钝角三角形”，故“△ABC是钝角三角形”是“|＋|<||”的必要不充分条件，故选B．
5．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　)
解析：C　选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．故选C．
6．“n>1”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　当n<0时，方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线；当n>0时，x2＋ny2＝1可化为x2＋＝1，因为椭圆的焦点在x轴上，所以1>，即n>1，故方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的圆锥曲线时，n<0或n>1，故“n>1”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选A．
7．(多选)命题“ x∈[1,2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥1 B．a≥4
C．a≥－2 D．a＝4
解析：BD　命题“ x∈[1,2]，x2≤a”等价于a≥1，即命题“ x∈[1,2]，x2≤a”为真命题所对应集合为[1，＋∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对应的集合真包含于[1，＋∞)，显然只有B、D正确．故选B、D．
8．(多选)给出下列四个命题，其中为真命题的是(　　)
A．“ x∈(－∞，0)，2x>3x”的否定是“ x∈(－∞，0)，2x≤3x”
B． α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β
C．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
D．若z1，z2不是共轭复数，则|z1|≠|z2|
解析：ABC　对于A选项，“ x∈(－∞，0)，2x>3x”的否定是“ x∈(－∞，0)，2x≤3x”，A选项正确；
对于B选项，取α＝β＝0，则sin(α＋β)＝sin 0＝sin 0＋sin 0＝sin α＋sin β，B选项正确；
对于C选项，解不等式x2－3x＋2>0得x<1或x>2，因为{x|x>2}?{x|x<1或x>2}，所以“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，C选项正确；
对于D选项，取z1＝1＋i，z2＝－1＋i，此时z1，z2不是共轭复数，但|z1|＝|z2|＝，D选项错误．故选A、B、C．
9．(2021·镇江三模)给出下列四个命题，其中真命题的序号是________．
①因为sin≠sin x，所以不是函数y＝sin x的周期；
②对于定义在R上的函数f(x)，若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
③“M>N”是“log2M>log2N”成立的充要条件；
④若实数a满足a2≤4，则a≤2．
解析：因为当x＝时，sin≠sin x，所以由周期函数的定义知不是函数y＝sin x的周期，故①正确；对于定义在R上的函数f(x)，若f(－2)≠f(2)，由偶函数的定义知函数f(x)不是偶函数，故②正确；当M＝1，N＝0时不满足log2M>log2N，则“M>N”不是“log2M>log2N”成立的充要条件，故③错误；若实数a满足a2≤4，则－2≤a≤2，所以a≤2成立，故④正确．所以真命题的序号是①②④．
答案：①②④
10．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
B级——综合应用
11．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　　)
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
解析：A　由条件p：|x＋1|>2，解得x>1或x<－3，故綈p：－3≤x≤1，由条件q：x>a得綈q：x≤a，∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴a≥1，故选A．
12．(多选)若a，b为正实数，则a>b的充要条件为(　　)
A．> B．ln a>ln b
C．aln a解析：BD　因为> b>a，故A选项错误；
因为a，b为正实数，所以ln a>ln b a>b，故B选项正确；
取a＝e2，b＝e，则e2lne2＝2e2，eln e＝e，且2e2>e，即aln a>bln b，故C选项错误；
设y＝ex－x，因为y′＝(ex－x)′＝ex－1，当x>0时，y′>0，所以y＝ex－x在x∈(0，＋∞)上单调递增，即a>b ea－a>eb－b a－b13．已知命题：“a，b∈R，且a＋b<0”．
(1)该命题的一个充分不必要条件是________；
(2)该命题的一个必要不充分条件是________．
解析：(1)根据充分不必要条件，可知“a，b∈R，且a＋b<0”的一个充分不必要条件是“a<0且b<0”，a<0且b<0能推出a＋b<0，但a＋b<0不能推出a<0且b<0；
(2)该命题一个必要不充分条件是“a＋b<1，a，b中至少有一个小于0”，即a＋b<0能推出a＋b<1，a，b中至少有一个小于0，但反过来，a＋b<1，a，b中至少有一个小于0，不能推出a＋b<0．
答案：(1)a<0且b<0(答案不唯一)
(2)a＋b<1，a，b中至少有一个小于0(答案不唯一)

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