资源简介 第三节 不等式性质与解不等式(1)理解不等式的概念,掌握不等式的性质;(2)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程;(3)通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元二次不等式. 重点一 两个实数比较大小的依据关系 方法作差法 作商法a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0)a=b a-b=0 =1(b≠0)a0)或>1(a,b<0)[逐点清]1.(必修第一册42页习题3题改编)已知0A.MNC.M=N D.M≥N解析:B ∵00,∴M>N.重点二 不等式的性质1.对称性:a>b b2.传递性:a>b,b>c a>c.3.可加性:a>b a+c>b+c;a>b,c>d a+c b+d.4.可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ac bc;a>b>0,c>d>0 ac>bd.5.可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).6.可开方性:a>b>0 > (n∈N,n≥2).[逐点清]2.(必修第一册43页习题11题改编)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:A ->0 > a>b≥0 a2>b2,但由a2-b2>0->0.故选A.3.(必修第一册43页习题8题改编)已知非零实数a,b满足aA.ln aC.a2解析:D 对A,当ab2,故C错误;对D,当a重点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 Rax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1[逐点清]4.(必修第一册53页练习1题改编)不等式(x-1)(x-3)>0的解集为( )A.{x|x<1} B.{x|x>3}C.{x|x<1或x>3} D.{x|1解析:C 由方程(x-1)(x-3)=0,可得方程的两根为x1=1,x2=3,结合一元二次不等式的解法,可得不等式(x-1)(x-3)>0的解集为{x|x<1或x>3},故选C.[记结论]1.有关分式的性质(1)若a>b>0,m>0,则<,>(b-m>0);(2)若ab>0,且a>b <.2.分式不等式的解法(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0);(2)≥0(≤0) [提速度]1.(2022·济南一次模拟)不等式≥0的解集为________.解析:≥0 x≥1或x<-.答案:∪[1,+∞)2.(2022·济宁月考)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克水(m>0),糖水就变淡了,则此事实可用一个不等式表示为________.解析:变淡了,意味着含糖量小了,即浓度低了.答案:>不等关系与不等式性质考向1 比较大小 若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为( )A.pC.p>q D.p≥q[解析] p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·==,∵a<0,b<0,∴a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p[答案] B比较两个数(式)大小的两种方法考向2 不等式性质及应用 (1)给出四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.能推得<成立的是________(填序号);(2)已知-1[解析] (1)< <0,所以①②④能使它成立.(2)因为-1[答案] (1)①②④ (2)(-4,2),(1,18)利用不等式的性质判断正误的两种方法(1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可;(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性. 1.已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2>b2 B.ab>b2C.ln>0 D.2a-b>1解析:D 对于A,由a>0>b知,a2>b2不一定成立,故A错误;对于B,由ab-b2=b(a-b)<0,知abb a-b>0,知2a-b>1,D项正确.故选D.2.已知a>b>0,则aabb与abba的大小关系为________(用“>”连接).解析:==a-b,∵a>b>0,∴>1,a-b>0,∴a-b>1,即>1,又abba>0,∴aabb>abba.答案:aabb>abba解不等式考向1 不含参数的一元二次不等式的解法(1)(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数,则满足关于x的不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以为( )A. B.3C.-4.5 D.-5(2)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是________.[解析] (1)因为不等式[x]2+[x]-12≤0,所以([x]-3)([x]+4)≤0,即-4≤[x]≤3,又因为[x]表示不小于实数x的最小整数,所以不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以为3,-4.5,故选B、C.(2)由题意,知-,-是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a<0,所以解得故不等式x2-bx-a≥0可化为x2-5x+6≥0,解得x≥3或x≤2.所以,所求不等式的解集为{x|x≥3或x≤2}.[答案] (1)BC (2){x|x≥3或x≤2}解一元二次不等式的4个步骤 考向2 含参数的一元二次不等式的解法解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a<0).[解] 因为a<0,所以原不等式可化为(x+1)≤0.当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;当<-1,即-2综上所述,当-2<a<0时,不等式的解集为;当a=-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为.含参数的一元二次不等式的解题策略(1)二次项中若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系;(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式. 考向3 简单分式不等式的解法 (2022·云南模拟)不等式≥2的解集为( )A.(-∞,-3]∪[8,+∞)B.(-∞,-3)∪[8,+∞)C.(-3,8]D.(-∞,-3)∪(8,+∞)[解析] 原不等式可化为-2≥0,即≥0,即(x-8)(x+3)≥0且x+3≠0,∴x<-3或x≥8.[答案] B将分式不等式进行同解变形,利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)即可求解. 1.关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析:C 关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0,可化为(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,∴不等式的解集为{x|12.解不等式12x2-ax>a2(a∈R).解:原不等式可化为(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.当a>0时,不等式的解集为∪;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪.[课时过关检测]A级——基础达标1.(2022·深圳模拟)已知a,b∈R,则“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:A 由题意,若a>|b|,则a>|b|≥0,则a>0且a>b,所以a|a|=a2,则a|a|>b|b|成立.当a=1,b=-2时,满足a|a|>b|b|,但a>|b|不成立,所以a>|b|是a|a|>b|b|的充分不必要条件.故选A.2.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m解析:B 不等式(m-x)(n+x)>0可化为(x-m)·(x+n)<0,因为m+n>0,所以m>-n,所以原不等式的解集为-n3.(2022·高邮月考)若关于x的不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},则实数a的值为( )A. B.-C.-2 D.2解析:A 根据原不等式可以推出-1<0 <0 >0 (x-1)[(1-a)x-1]>0,x≠1,因为不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},所以1,2是方程(x-1)[(1-a)x-1]=0的两根,且1-a>0,所以(1-a)×2-1=0 a=.故选A.4.甲、乙两人同时从寝室出发去教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等),则( )A.两人同时到教室 B.谁先到教室不确定C.甲先到教室 D.乙先到教室解析:D 设甲用时间为T,乙用时间为2t,步行速度为a,跑步速度为b,距离为s,∴T=+=,ta+tb=s,∴2t=,∴T-2t=-=s×=s·>0.∴乙先到教室.故选D.5.(2022·重庆月考)已知点M(x0,y0)在直线3x+y+2=0上,且满足x0>y0-1,则的取值范围为( )A.B.(-∞,-3)∪C.(-∞,-3]∪D.解析:B 由题意3x0+y0+2=0,y0=-3x0-2,∵x0>y0-1,∴x0>-3x0-2-1,解得x0>-,==-3-,∵x0>-,且x0≠0,∴<-或>0,∴-3-<-3或-3->-,∴∈(-∞,-3)∪.故选B.6.(多选)已知命题p:关于x的不等式x2-2ax-a>0的解集为R,那么命题p的一个必要不充分条件是( )A.-1C.-1≤a≤0 D.a≥-1解析:CD 命题p:关于x的不等式x2-2ax-a>0的解集为R,则Δ=4a2+4a<0,解得-17.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是( )A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ab>0,bc-ad>0,则->0C.若a>b,c>d,则a-d>b-cD.若a>b,c>d>0,则>解析:BC 若a>0>b,0>c>d,则ac0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,==-1,故D错误.故选B、C.8.已知不等式-x2-ax+b≥0的解集为[-2,3],则不等式|ax+b|<5的解集为________.解析:因为不等式-x2-ax+b≥0的解集为[-2,3],所以-2,3是方程-x2-ax+b=0的两个根,所以a=-1,b=6.所以不等式|ax+b|<5等价于|-x+6|<5,解不等式|-x+6|<5,得-5答案:(1,11)9.已知一元二次不等式2kx2+kx+>0对一切实数x都成立,则k的取值范围是___________.解析:因为不等式2kx2+kx+>0为一元二次不等式,所以k≠0,又一元二次不等式2kx2+kx+>0对一切实数x都成立,所以有解得即0答案:{k|010.设原糖水b克,含糖a克,糖水浓度为;另一份糖水d克,含糖c克,糖水浓度为,且<,求证:<<(其中b>a>0,d>c>0).证明:∵<,且b>a>0,d>c>0,∴ad0,-==<0,即<,-==>0,即<.∴<<.B级——综合应用11.已知函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(3+x)=f(3-x),且f(4)A.(0,+∞) B.(-2,+∞)C.(-4,0) D.(2,4)解析:C 依题意,由f(3+x)=f(3-x)可知二次函数关于直线x=3对称,又因f(4)12.(2022·哈尔滨二模)已知函数f(x)=若不等式f(x)+1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[-1,+∞) B.(-∞,1]C.[-1,1] D.(-∞,1)解析:B 由不等式f(x)+1≥0在R上恒成立,即f(x)≥-1在R上恒成立,可得:当x≤0时,2x-1≥-1,即2x≥0显然成立;当x>0时,x2-a≥-1,即a≤x2+1,即a≤1.综上可得a≤1,故选B.13.已知a,b∈R,给出下面三个论断:①a>b;②<;③a<0且b<0.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:________.解析:若a>b,a<0且b<0,则<,证明:-=,∵a>b,∴b-a<0.∵a<0,b<0,∴ab>0,则-=<0,故<.答案:若a>b,a<0且b<0,则<(答案不唯一)14.设f(x)=(常数a∈R),且已知x=3是方程f(x)-x+12=0的根.设常数k∈R,解关于x的不等式:(2-x)f(x)<(k+1)x-k.解:将x=3代入方程f(x)-x+12=0,解得a=2,故f(x)=,∵(2-x)f(x)<(k+1)x-k(x≠2),∴x2-(k+1)x+k<0(x≠2),即(x-1)(x-k)<0(x≠2).①当k∈(-∞,1)时,不等式的解集为(k,1);②当k=1时,不等式的解集为 ;③当k∈(1,2]时,不等式的解集为(1,k).④当k∈(2,+∞)时,不等式的解集为(1,2)∪(2,k).C级——迁移创新15.(多选)已知两个不为零的实数x,y满足xA.3|x-y|>1 B.xyC.x|x|解析:AC 因为x0,所以3|x-y|>1,则A正确;因为xy2,则B错误;令f(x)=x|x|=易知f(x)在R上单调递增,又xe-1-e,则D错误.故选A、C.16.(2022·长沙模拟)国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农副产品m吨,按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为减少农民负担,制定积极收购政策,根据市场规律,税率降低x个百分点(x>0),收购量增加2x个百分点,为使得税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%,求x的取值范围.解:原计划税收为2 400m×8%,税率降低x个百分点后的税收为m(1+2x%)×2 400×(8-x)%,依题意可得m(1+2x%)×2 400×(8-x)%≥2 400m×8%×78%,整理得x2+42x-88≤0,即(x+44)(x-2)≤0,因为x>0,所以0 展开更多...... 收起↑ 资源预览