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第四节　基本不等式
(1)探索并了解基本不等式的证明过程；(2)能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．　
重点一　基本不等式≤
1．基本不等式成立的条件： ．
2．等号成立的条件：当且仅当a＝b．
[逐点清]
1．(多选)(必修第一册46页练习3题改编)下列说法错误的是(　　)
A．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的
B．函数y＝x＋的最小值是2
C．函数f(x)＝sin x＋的最小值为4
D．x>0且y>0是＋≥2的充要条件
解析：ABCD　对于选项A，不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，不等式≥成立的条件是a>0，b>0；对于选项B，函数y＝x＋的值域是∪，没有最小值；对于选项C，函数f(x)＝sin x＋没有最小值；对于选项D，x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．
重点二　算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
[逐点清]
2．(必修第一册45页探究改编)如图，线段AC过⊙O的圆心与圆交于点C，E，AB为圆的切线，B为切点，BD⊥AO于点D，F在圆上且FO⊥OA于O．AC＝a，AE＝b，线段________的长度是a，b的几何平均数，线段________的长度是a，b的算术平均数．
解析：设圆O的半径为r，由切割线定理可知AB2＝AC·AE＝ab，所以AB的长度是a，b的几何平均数；又2AO＝AO＋AO＝AE＋r＋AC－r＝a＋b，所以AO＝，即AO的长度是a，b的算术平均数．
答案：AB　AO
重点三　利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)；
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
[逐点清]
3．(易错题)已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．8
C．16 D．32
解析：B　法一：因x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y≥2＝8，当且仅当x＝4y，即x＝4，y＝1时等号成立，所以x＋4y的最小值为8．
法二：由题意，正实数x，y且xy＝4，可得y＝，则x＋4y＝x＋≥2＝8，当且仅当x＝时，即x＝4时等号成立，所以x＋4y的最小值是8，故选B．
[记结论]
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；
(4)≥2(a，b∈R)．
[提速度]
已知a，b>0，下列不等式一定成立的是(　　)
A．≤≤
B．≤ ≤
C．≤ ≤
D．≤≤
解析：D　由ab≤2(a，b∈R)，得≥；由≥2(a，b∈R)，得≤ ，故≤≤ ．
利用基本不等式求最值
考向1　配凑法
　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________；
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
[解析]　(1)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1．
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1．
(2)因为x>1，所以x－1>0，
则y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2．
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．
[答案]　(1)1　(2)2＋2
配凑法求最值的关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．　
考向2　常数代换法
　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
[解析]　因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4．当且仅当a＝b＝时，取等号．
[答案]　4
1．将本例条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．
解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1．所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2 ＝1＋．当且仅当a＝b时，取等号．
答案：1＋
2．若本例条件不变，则的最小值为________．
解析：＝＝＝5＋2≥5＋4＝9．当且仅当a＝b＝时，取等号．
答案：9
常数代换法求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　
考向3　消元法
　(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
[解析]　法一：由题意知y≠0，由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是．
法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤2 ＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是．
[答案]　
通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．　
1．已知a，b∈R，若a－3b＝2，则2a＋的最小值为________．
解析：2a＋＝2a＋2－3b≥2×＝2×＝4．
当且仅当即时等号成立，综上可得2a＋的最小值为4．
答案：4
2．直线2ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过函数y＝x2－2x＋2图象的顶点，则＋的最小值为________．
解析：函数y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象的顶点为(1,1)，所以2a＋b＝1，＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当b＝a时等号成立．
答案：3＋2
3．(2021·天津高考)若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为________．
解析：∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2 ＝2．当且仅当＝和＝b同时成立，即a＝b＝时等号成立．
答案：2
利用基本不等式解决实际问题
　(2022·济南模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速(m/s)．当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　)
A．135 B．149
C．165 D．195
[解析]　由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0．3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149．故选B．
[答案]　B
利用基本不等式解决实际问题的策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．　
(2022·上海二模)某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为________米．
解析：设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W，则由题意可得∴W＝2a(xh＋yh)＋2axy＝2ah(x＋y)＋2axy＝40ah＋，∴W≥2＝400a，当且仅当h＝5时，W取最小值．
答案：5
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·扬州市高三联考)设x>0，则y＝3－3x－的最大值为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．3－3
C．3－2 D．－1
解析：C　∵x>0，∴y＝3－3x－≤3－2＝3－2，当3x＝，即x＝时，等号成立．故选C．
2．已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的最大值是(　　)
A． B．
C． D．1
解析：A　根据题意，圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径r＝1，若直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则有＝1，变形可得a2＋4b2＝1，又由1＝a2＋4b2≥4ab，变形可得ab≤，当且仅当a＝2b时等号成立，故ab的最大值是，故选A．
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
解析：C　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．
4．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式＋≥m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．－8≤m≤1 B．m≤－8或m≥1
C．－1≤m≤8 D．m≤－1或m≥8
解析：A　∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)·＝＋＋4≥4＋2＝8，∵不等式＋≥m2＋7m恒成立，∴m2＋7m≤8，解得－8≤m≤1．故选A．
5．已知双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：B　由题意双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，∴m＋n＝5－2＝3，∴＋＝(m＋n)＝≥·＝3，当且仅当＝，即m＝2n时等号成立，故＋的最小值为3，故选B．
6．(多选)下列不等式一定成立的有(　　)
A．x＋≥2 B．2x(1－x)≤
C．x2＋≥2－1 D．＋≥2
解析：CD　对于A，当x<0时，x＋<0，故A错误；
对于B,2x(1－x)＝－2x2＋2x＝－22＋≤，故B错误；
对于C，x2＋＝x2＋1＋－1≥2 －1＝2－1，当且仅当x2＝－1时取等号，故C正确；
对于D，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，故D正确，故选C、D．
7．(多选)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A．xy的最大值为 B．4x2＋y2的最大值为2
C．4x＋2y的最小值为4 D．＋的最小值为4
解析：ACD　由2＝2x＋y≥2 xy≤，当2x＝y时等号成立，所以A正确；
4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝4－4xy≥2，所以4x2＋y2的最小值为2，故B不正确；
由2＝2x＋y，得4x＋2y＝4x＋22－2x＝4x＋≥4，当x＝时等号成立，故C正确；
由2＝2x＋y，得＋＝＋＝2＋＋≥4，当x＝y时等号成立，故D正确．故选A、C、D．
8．若log2m＋log2n＝1，那么m＋n的最小值是________．
解析：∵log2m＋log2n＝1，即log2(mn)＝1，∴mn＝2，由基本不等式可得m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n时，等号成立，故m＋n的最小值是2．
答案：2
9．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
解析：∵对任意x∈N*，f(x)≥3，即 ≥3恒成立，即a≥－＋3．设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，g(2)>g(3)，∴g(x)min＝．∴－＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是．
答案：
10．(2022·临汾二模)已知a，b为正实数，且满足a＋b＝1．证明：
(1)a2＋b2≥；
(2) ≥1＋．
证明：(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，
所以a2＋b2＝(a2＋b2＋a2＋b2)≥(a2＋b2＋2ab)＝(a＋b)2＝(当且仅当a＝b取等号)．
(2)＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2＝(1＋)2，所以 ≥1＋．
B级——综合应用
11．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：B　因为函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，所以＋＝(2m＋n)＝≥＝4，当且仅当即取等号，所以＋的最小值为4，故选B．
12．(2022·重庆一模)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为(　　)
A．　　 B．3 C．　　　D．
解析：B　由题意p＝×(3＋5)＝4，S＝＝＝2≤8－(b＋c)＝3，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c＝时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3．故选B．
13．写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为__________．
解析：该等式可为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．＋＝(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16．
答案：a2＋b2＝1(答案不唯一)
14．(2022·湘东联考)已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，求＋的最小值．
解：因为f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b－4．因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，所以1＋2a＋b－4＝0，可得2a＋b＝3．所以＋＝··(2a＋b)＝≥＝3(当且仅当a＝b＝1时取等号)．
C级——迁移创新
15．(多选)(2022·临沂高三模拟)已知a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，则(　　)
A．a2＋b2＋c2≥
B．ab＋bc＋ac≥
C．≤0
D．≥8
解析：AD　a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1．A项，1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)，所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时取等号，故正确；B项，a2＋b2≥2ab，c2＋b2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，由1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，即ab＋bc＋ac≤，当且仅当a＝b＝c＝时取等号，故错误；C项，当a＝，b＝，c＝时，>0，故错误；D项，＝··＝··≥2·2 ·2 ＝8．当且仅当a＝b＝c＝时取等号，故正确．故选A、D．
16．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
解：(1)由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为，
所以y＝＝1 000，定义域为(0,80]．
(2)y＝1 000≥1 000×2＝1 000(元)，当v＝时，得v＝2，因为0所以当0当a≥1 600时，货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小．
一、课程学习情境类试题的创设
1．学习再现情境类试题
　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝(　　)
A．{2}　　　　　　　　　　 B．{2,3}
C．{3,4} D．{2,3,4}
(2)(2021·北京高考)已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　)
A．(－1,2) B．(－1,2]
C．[0,1) D．[0,1]
[解析]　(1)因为A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2,3,4,5}，所以A∩B＝{2,3}，故选B．
(2)由题意可得：A∪B＝{x|－1＜x≤2}，即A∪B＝(－1,2]．故选B．
[答案]　(1)B　(2)B
[试题分析]　上述两题源于教科书必修第一册第10页例2的改编，即将教科书中某些经典题目简单的变换题型，适度变更条件或变更结论得到考查基础性知识和方法的送分题．本类试题属于学习再现情境试题，选取的情境材料直接源于学生已有的数学课程学习，材料所考查的数学知识、方法之间的关联也为学生所熟悉，相应情境活动的进行直接源于已有知识与方法的回忆性再现．
2．学习关联情境类试题
　(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
[解析]　易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2．故选B．
[答案]　B
[试题分析]　该试题源于对教科书必修第一册第10页例2的深度改编，即变换条件，设置参数，借用母题结论的求解方法逆向求解参数．此类试题材料选取直接源于学生已有的数学课程学习，但内含的知识与方法之间的关联并不明显，必须依赖已有的知识与方法借用数轴产生关联性联想，从基础性层次上考查数学运算、直观想象等核心素养，此类试题即为学习关联情境试题．
[高考还可这样考]
1．(多选)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1,0,1,2}，则(　　)
A．A∩B＝{0,1,2}
B．A∪B＝{x|x≥0}
C．( UA)∩B＝{－1}
D．A∩B的真子集个数是7
解析：ACD　A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}＝，B＝{－1,0,1,2}，A∩B＝{0,1,2}，故A正确；
A∪B＝{x|x≥－1，x∈Z}，故B错误；
UA＝，所以( UA)∩B＝{－1}，故C正确；
由A∩B＝{0,1,2}，则A∩B的真子集个数是23－1＝7，故D正确．故选A、C、D．
2．设A＝{x|－1答案：1
3．设A＝{x|－1答案：(－∞，2)
二、创新迁移情境类试题的创设
　(2020·浙江高考)设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：
①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；
②对于任意的x，y∈T，若x下列命题正确的是(　　)
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
[解析]　法一：①当S中有3个元素时，设S＝{a，b，c}，a②当S中有4个元素时，设S＝{a，b，c，d}，a法二(特殊值法)：当S＝{1,2,4}，T＝{2,4,8}时，S∪T＝{1,2,4,8}，故C错误；当S＝{2,4,8}，T＝{8,16,32}时，S∪T＝{2,4,8,16,32}，故D错误；当S＝{2,4,8,16}，T＝{8,16,32,64,128}时，S∪T＝{2,4,8,16,32,64,128}，故B错误．故选A．
[答案]　A
[试题分析]　本题是在学习了必修第一册中集合的概念及集合的基本运算的基础上创设的，对这类结合已有的数学知识、方法、思想，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念、规定一种运算、给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的试题称为创新迁移情境类试题．
创新迁移情境类试题的解答依赖于材料的创造性解读与转换，相关方法的创造性迁移与运用．创新迁移情境类试题主要考查综合性和创新性层次上的相关内容．
[高考还可这样考]
　给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
解析：①中，－4＋(－2)＝－6 A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k (A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
答案：②
三、生活实践情境类试题的创设
　(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56%
C．46% D．42%
[解析]　不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．故选C．
[答案]　C
[试题分析]　本试题源于教科书必修第一册第14页习题3题及第15页阅读与思考《集合中元素的个数》的改编与应用．
本试题选取的情境材料源于实际的社会生活，材料所隐含的数学知识与方法是集合中的元素个数与集合的运算，解决该问题关键是构建数学模型．此类试题属于生活实践情境问题，基于命制生活实践情境类试题，主要在基础性和应用性的层次上考查“四层”的相关内容，通过对实际问题的模型识别、构建与解决相应的情境活动，坚定数学中的知识与方法是可以帮助人类在社会生活中解决实际问题的必要且不可缺失的知识和思维方法．
[高考还可这样考]
　学校举办秋季运动会时，高一(2)班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田赛和径赛的有________人．
解析：由题意，画出Venn图如图所示：根据题意可知
解方程组得所以同时参加田赛与径赛的有4人．
答案：4
总之，三种情境试题在高考中发挥着不同的作用，以课程学习情境为检验基础的量尺，以创新迁移情境为区分甄选的手段，以生活实践情境为拓展应用的渠道，三种情境试题的有机搭配，将更好地实现学科素养和关键能力的考查目标．

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