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第一节　函数的概念及其表示
(1)通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学会用集合语言和对应关系来刻画函数，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．　
重点一　函数的概念与表示
1．函数的概念
2．函数的表示法
解析法 图象法 列表法
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 就是用图象表示两个变量之间的对应关系 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
[逐点清]
1．(多选)(必修第一册66页例3改编)下列说法错误的是(　　)
A．函数就是定义域到值域的对应关系
B．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素
C．f(x)＝＋是一个函数
D．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等
解析：ACD　根据函数的定义：选项A，函数是定义域到值域的一对一或多对一的对应关系，故错误；选项B，若函数的定义域只含有一个元素，按照函数的定义，有且只有一个元素与之对应，即值域也只含有一个元素，故正确；选项C，f(x)＝＋中x不存在，故错误；选项D，若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数，故错误．故选A、C、D．
2．(必修第一册72页习题5题改编)函数y＝f(x)图象如图所示，则：
(1)f(0)＝________；
(2)f[f(2)]＝________；
(3)若－1＜x1≤x2＜2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为________；
(4)若f(x)＝0，则x＝________．
解析：(1)因为f(x)过点(0,4)，故可得f(0)＝4；
(2)因为f(2)＝2，故f[f(2)]＝f(2)＝2；
(3)因为f(x)在区间(－1,2)上是单调减函数，故可得f(x1)≥f(x2)；
(4)由图可知，f(x)过点(－3,0)，故可得x＝－3．
答案：(1)4　(2)2　(3)f(x1)≥f(x2)　(4)－3
重点二　分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的 ，这样的函数叫做
[注意]　关于分段函数的3个注意点
1 分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数； 2 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； 3 各段函数的定义域不可以相交．
[逐点清]
3．(必修第一册69页练习3题改编)已知函数f(x)＝则f(f(0))的值为________；方程f(－x)＝1的解是________．
解析：∵f(0)＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝1；当－x≤0时，f(－x)＝－x＋1＝1，解得x＝0；当－x>0时，f(－x)＝2－x－1＝1，解得x＝－1．
答案：1　0或－1
[记结论]
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
[提速度]
1．下列图象中不能表示函数的图象的是(　　)
解析：D　根据结论直线x＝a与函数y＝f(x)有0个或1个交点，故选D．
2．在下列函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，g(x)＝
B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0
D．f(x)＝，g(x)＝()2
解析：B　对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域相同，f(x)＝|x＋1|＝对应关系相同，则f(x)与g(x)是同一函数；对于C，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于D，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数．故选B．
求函数的定义域
1．(2022·江南联考)函数f(x)＝ ＋ln(3x－1)的定义域为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：B　要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，则 2．(2022·西安检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，－2)∪(－2,3] B．(－8，－2)∪(－2,1]
C．∪(－2,0] D．
解析：C　∵f(x)的定义域为[－8,1]，∴解得－≤x≤0，且x≠－2．∴g(x)的定义域为∪(－2,0]．
3．(2022·郑州模拟)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12答案：(－12,0]
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．　
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．　
求函数的解析式
　(1)(2022·广东三模)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝(　　)
A．x2－1(x≥0)　　　　 B．＋1(x≥1)
C．x2－1(x≥1) D．－1(x≥0)
(2)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝(　　)
A．－4x－ B．4x－
C．4x－1 D．4x＋1
(3)若函数f(x)满足f(x)－2f＝x＋2，则f(2)＝________．
[解析]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，令t＝＋1(t≥1)，∴f(t)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)∵f(x)为单调递增的一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)．因此f(x)＝4x＋1．故选D．
(3)由f(x)－2f＝x＋2，可得f－2f(x)＝＋2，联立两式可得f(x)＝－－2，代入x＝2可得f(2)＝－3．
[答案]　(1)C　(2)D　(3)－3
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．　
1．(2022·长沙模拟)已知函数f＝2x2－3x，则f(2)＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：A　令＝2，则x＝1，所以f(2)＝f＝2－3＝－1．故选A．
2．若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________．
解析：因为2f(x)＋f(－x)＝3x①，将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x②，由①②得f(x)＝3x．
答案：3x
分段函数
考向1　分段函数求值
　德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”．这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应法则是公式、图象、表格还是其他形式．已知函数f(x)由下表给出，则f的值为(　　)
x x≤1 1f(x) 1 2 3
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　∵∈(－∞，1]，∴f＝1，则10f＝10，∴f＝f(10)．又∵10∈[2，＋∞)，∴f(10)＝3．故选D．
[答案]　D
考向2　分段函数与方程、不等式问题
　(1)(2022·襄阳模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0, 则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)设函数f(x)＝则满足f(x－1)<的x的取值范围为(　　)
A．
B．∪
C．∪
D．∪
[解析]　(1)因为f(1)＝2，所以f(a)＝－2 或解得a＝－3，故选A．
(2)因为f(x)＝当x－1>0，即x>1时，不等式f(x－1)<可化为(x－1)2<，解得[答案]　(1)A　(2)C
1．根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
2．已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
[注意]　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．　
1．已知函数f(x)＝则f(－2)＝(　　)
A．－1 B．5
C．1 D．－5
解析：A　由题意可知，f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝－2＋1＝－1．故选A．
2．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
解析：由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－，故所求x的集合为．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　 B．(0,1)∪(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[0,1)∪(1，＋∞)
解析：B　由题意得解得x>0且x≠1，所以函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选B．
2．(2022·怀宁期中)已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：A　令2x－1＝3，得x＝2，则f(3)＝22－3＝1．故选A．
3．网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位：号)，第二行是脚长(单位：mm)，请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是(　　)
鞋码 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
A．[201,205] B．[206,210]
C．[211,215] D．[216,220]
解析：B　设“脚长”为y，“鞋号”为x，根据题意发现x与y满足y＝5x＋50的函数关系，当x＝32时，y＝5×32＋50＝210，故选B．
4．(2022·江西模拟)设函数f(x)＝若f(x0)＝1，则x0＝(　　)
A．－1或2 B．2或3
C．－1或3 D．－1或2或3
解析：A　当x0≥1时，f(x0)＝2x0－3，∴2x0－3＝1，∴x0＝2；当x0<1时，f(x0)＝x－2x0－2，∴x－2x0－2＝1，解得x0＝3(舍去)，x0＝－1，故选A．
5．(多选)如图所示是函数y＝f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是(　　)
A．函数f(x)的定义域为[－4,4)
B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应
解析：BD　对于A，由函数的图象可知，函数的定义域为[－4,0]∪[1,4)，故A错误；
对于B，由函数的图象可知，函数的值域为[0，＋∞)，故B正确；
对于C，函数在[－4,0]，[1,4)是增函数，结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确．故选B、D．
6．(多选)设f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的有(　　)
A．[g(x)]2－[f(x)]2＝1 B．[g(x)]2＋[f(x)]2＝g(2x)
C．g(2x)＝2f(x)g(x) D．f(2x)＝2f(x)g(x)
解析：ABD　因为[g(x)]2－[f(x)]2＝(g(x)＋f(x))·(g(x)－f(x))＝ex·e－x＝1，所以A正确；
因为[g(x)]2＋[f(x)]2＝，g(2x)＝，所以B选项正确；
因为2f(x)g(x)＝，g(2x)＝，所以C选项不正确；
因为f(2x)＝，2f(x)g(x)＝，所以D选项正确．故选A、B、D．
7．(多选)(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是(－∞，5)
C．若f(x)＝3，则x的值为
D．f(x)图象与y＝2有两个交点
解析：BC　由函数f(x)＝知，定义域为(－∞，－1]∪(－1,2)，即(－∞，2)，A错误；x≤－1时，f(x)＝x＋2∈(－∞，1]，－18．已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(0)＝1，即c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1，所以f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，从而有解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1．
答案：f(x)＝x2－x＋1
9．已知函数f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝___________．
解析：当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，解得a＝1，符合条件．当a<0时，f(a)＝4a＝2，解得a＝，不符合条件，所以实数a＝1．
答案：1
10．(2022·海南调研)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)求不等式f(x)≥2的解集．
解：(1)根据函数f(x)＝可得f(－2)＝22＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝4＋1＝5．
(2)由不等式f(x)≥2，可得①或②
解①得x≤－1，解②得x≥1，
故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
B级——综合应用
11．已知函数f(x)的定义域为[－1,0]，若g(x)＝f(x＋a)－f(x－a)有定义，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　由题意可得解得因为g(x)有定义，所以当a<0时，由－1－a≤a，得－≤a<0；当a>0时，由a－1≤－a，得012．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数y＝－的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为____________．
解析：因为y＝－，所以所以函数的定义域为[1,2]．下面求函数y的值域，不妨先求函
数y2的值域，令f(x)＝y2＝1－2，令g(x)＝(x－1)(2－x)，x∈[1,2]，所以g(x)∈，从而得出f(x)∈[0,1]，所以y∈[－1,1]，即函数的值域为[－1,1]．只要满足定义域为[1,2]，且值域为[－1,1]的函数均符合题意，例如y＝sin(2πx)，x∈[1,2]或y＝2x－3，x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2]．
答案：[－1,1]　y＝2x－3，x∈[1,2](答案不唯一)
13．已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
解：令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞) {y|y＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2或a≤4－2，∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
C级——迁移创新
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2．1]＝－3，[3．1]＝3，已知函数f(x)＝，求函数y＝[f(x)]的值域．
解：f(x)＝＝＝1＋，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，∴0＜＜1，
则0＜＜2，∴1＜1＋＜3，即1＜f(x)＜3，
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2．
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}．

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