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第二节　函数的单调性与最值
(1)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；(2)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．　
重点一　函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做y＝f(x)的单调区间．
[逐点清]
1．(必修第一册85页习题1题改编)函数f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增
B．函数f(x)在区间[－1,2]上单调递减
C．函数f(x)在区间[－1,4]上单调递减
D．函数f(x)在区间[2,4]上单调递增
解析：A　由题图可知函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减，故选A．
2．(多选)(必修第一册79页例3改编)下列结论正确的有(　　)
A．函数y＝的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．函数y＝－x在区间(0，＋∞)内单调递减
C．若y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝在区间D上都是单调递减函数
D．若函数y＝f(x)满足 x1，x2∈D，x1≠x2，>0(<0)，能判定f(x)在区间D上的单调性
解析：BD　对于A，单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间应为(－∞，0)和(0，＋∞)，错误；
对于B，y＝－x在(0，＋∞)内是减函数，正确；
对于C，若y＝f(x)在区间D上单调递增，则 x1，x2∈D，且x10，由此可推出k[f(x2)－f(x1)]<0(k<0)，即y＝kf(x)在D上单调递减，y＝在D上不一定单调递减，如f(x)＝，D＝[－1,1]，∴y＝在D上不单调，且x＝0时没有意义，C错误；
对于D，>0(<0) f(x)在D上单调递增(单调递减)，正确．故选B、D．
3．(易错题)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．
解析：∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，∴2x－3>5x＋6，即x<－3．
答案：(－∞，－3)
重点二　函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
条件 (1) x∈I，都有 ；(2) x0∈I，使得 (1) x∈I，都有 ；(2) x0∈I，使得
结论 M为最大值 M为最小值
[逐点清]
4．(必修第一册81页例5改编)函数y＝在区间[2,3]上的最小值为(　　)
A．2　　 B．　　　C．　　 D．－
解析：B　因为y＝在区间[2,3]上单调递减，所以ymin＝＝．故选B．
5．对于任意的实数x，已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：C　因为f(x)＝函数图象如图所示，
由函数图象可知，当x＝1时，函数取得最大值f(x)max＝f(1)＝1，故选C．
[记结论]
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
2．增函数(减函数)的等价变形： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则：(1)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
[提速度]
1．下列有关函数单调性的说法，不正确的是(　　)
A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数
B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数
C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数
D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数
解析：C　由结论1可知选项C的说法不正确．
2．(2022·人大附中高三模拟)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有>0成立，则f(x)必定是(　　)
A．先增后减的函数 B．先减后增的函数
C．在R上的增函数 D．在R上的减函数
解析：C　由结论2可知正确选项为C．
确定函数的单调性(区间)
1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　)
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
解析：D　法一(通解)：取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D．
法二(优解)：如图，在坐标系中分别画出A、B、C、D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D．
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
解析：f(x)＝画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．
答案：[1,2]
3．能使“函数f(x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0,2]”是真命题的一个区间I为___________．
解析：当x≥1时，f(x)＝x(x－1)＝x2－x；当x<1时，f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x，∴f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．令f(x)＝0，解得x＝1或x＝0；令f(x)＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a,2]，0≤a<1或I＝(b,2]，0≤b<1时，f(x)在I上不单调且函数值的集合为[0,2]．
答案：(答案不唯一)
1．函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法．
2．复合函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．　
函数单调性的应用
考向1　利用单调性比较函数值的大小
　设f(x)的定义域为R，图象关于y轴对称，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)
A．f(－π)B．f(－2)C．f(－π)D．f(3)[解析]　∵f(x)的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且2<3<π，∴f(2)[答案]　B
考向2　利用单调性解不等式
　(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
[解析]　∵定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，f(x)的大致图象如图所示，∴f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0，故f(－1)＜0；当x＝0时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＝1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x－1＝2或x－1＝－2时，即x＝3或x＝－1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≥0，此时此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≤0，即得－1≤x＜0，综上－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]，故选D．
[答案]　D
考向3　由函数单调性求参数的值(范围)
　(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
[解析]　由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5．令t＝x2－4x－5，∵外层函数y＝lg t是其定义域内的增函数，∴要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则需内层函数t＝x2－4x－5在(a，＋∞)上单调递增且恒大于0，则(a，＋∞) (5，＋∞)，即a≥5．∴a的取值范围是[5，＋∞)．故选D．
[答案]　D
函数单调性的应用及解题策略
(1)比较大小；
(2)解函数不等式：利用函数的单调性将“f”脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域；
(3)利用单调性求参数：
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
(4)利用单调性求最值．　
1．下列函数f(x)图象中，满足f>f(3)>f(2)的只可能是(　　)
解析：D　对于A，函数在(0，＋∞)上单调递增，所以不满足f>f(3)>f(2)，故错误；对于B，函数在R上单调递增，所以不满足f>f(3)>f(2)，故错误；对于C，函数图象开口向上，且对称轴为x＝1，所以f＝ff(3)>f(2)，故正确．故选D．
2．函数f(x)＝ax＋在(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C．[1，＋∞) D．
解析：B　当a≤0时，函数f(x)＝ax＋在(2，＋∞)上单调递减，所以a>0，f(x)＝ax＋的递增区间是，所以2≥，即a≥．故选B．
3．已知函数f(x)＝若f(a2－4)>f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－4,1) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
C．(－1,4) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
解析：D　当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x－1，显然其在(－∞，1)单调递增，且f(1)＝0；当x>1时，f(x)＝|x－1|＝x－1，显然其在(1，＋∞)单调递增，又当x＝1时，f(1)＝1－1＝0．综上所述，f(x)在R上单调递增．故不等式f(a2－4)>f(3a)等价于a2－4>3a，即(a－4)(a＋1)>0，解得a>4或a<－1．即a∈(－∞，－1)∪(4，＋∞)．故选D．
函数的最值(值域)
　(1)函数f(x)＝的最大值为________；
(2)函数f(x)＝x－的最小值为________．
[解析]　(1)法一(图象法)：作出函数f(x)＝的图象(如图所示)，f(x)max＝f(0)＝2．
法二(单调性法)：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2．故函数f(x)的最大值为2．
(2)(换元法)：f(x)＝x－的定义域为[－1，＋∞)，设t＝，则x＝t2－1，且t≥0，所以f(t)＝t2－t－1(t≥0)，又f(t)的图象是对称轴为直线t＝，开口向上的抛物线的一部分，所以当t＝时，即x＝－时，f(x)min＝f＝－．
[答案]　(1)2　(2)－
求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点
(1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
[注意]　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域；
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．　
(1)求函数f(x)＝(x<0)的最大值；
(2)求y＝logx＋，x∈[1,2]的值域．
解：(1)因为x<0，－x＋≥4，
所以f(x)＝x＋≤－4，
当且仅当x＝－2取等号，
所以函数f(x)的最大值－4．
(2)函数y＝logx＋在[1,2]上单调递减，
当x＝1时，y＝，当x＝2时，y＝－1＋＝－，
即－≤y≤，
所以y＝logx＋在[1,2]上的值域为．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：C　当x12．已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：B　函数f(x)＝x2＋(k－2)x的对称轴为x＝－，且开口向上，因为f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以－≤1，解得k≥0．故选B．
3．设函数f(x)＝x＋－2(x>0)，则f(x)(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：B　∵x>0，∴f(x)＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴f(x)有最小值，又由对勾函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性．故选B．
4．(2022·大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)A． B．
C． D．(1，＋∞)
解析：A　由题意，函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，因为f(x－1)5．满足函数f(x)＝ln(mx＋3)在(－∞，1]上单调递减的充要条件是(　　)
A．－4C．－4解析：B　若f(x)＝ln(mx＋3)在(－∞，1]上单调递减，则满足m<0且m＋3>0，则－36．(多选)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
解析：ABC　对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，错误；
对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x10，则y＝－f(x)在R上为减函数，正确．故选A、B、C．
7．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－3，－1)
C．(0,1) D．(1,3)
解析：BC　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－38．已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：由分段函数解析式知：f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－1答案：(1,3]
9．若函数f(x)＝a＋log2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝________．
解析：由题意，函数y＝log2x在(0，＋∞)上为单调递增函数，又a>1，且x∈[1，a]，所以当x＝a时，函数f(x)取得最大值，即a＋log2a＝6，因为4＋log24＝6，所以a＝4．
答案：4
10．(2022·杭州模拟)探究函数f(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)的图象时，列表如下：
x … 0．5 1 1．5 1．7 1．9 2
y … 8．5 5 4．17 4．05 4．005 4
x 2．1 2．2 2．3 3 4 7 …
y 4．005 4．02 4．04 4．3 5 7．57 …
观察表中y值随x值的变化情况，完成以下的问题：
(1)求函数f(x)＝x＋(x>0)的递减区间及递增区间；
(2)若对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，试求实数m的取值范围．
解：(1)由表中y值随x值的变化情况可得函数f(x)＝x＋(x>0)的递减区间是(0,2)，递增区间是(2，＋∞)．
(2)由表中y值随x值的变化情况可得当x∈[1,3]时，f(x)min＝f(2)＝4，
所以要使对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，只需f(x)min＝f(2)＝4≥m＋1，
解得m≤3，故m的取值范围为(－∞，3]．
B级——综合应用
11．已知函数f(x)＝x＋sin x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log26)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b解析：D　∵f(x)＝x＋sin x，∴f′(x)＝1＋cos x≥0，∴f(x)单调递增，∵212．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．[－1,2)
C．(－∞，－1] D．{－1}
解析：B　因为函数y＝log2x，x≥1在[1，＋∞)上为增函数，故y≥0，则y＝(2－a)x＋3a，x<1需满足解得－1≤a<2．
13．写出一个值域为(－∞，1)，在区间(－∞，＋∞)上单调递增的函数f(x)＝________．
解析：f(x)＝1－x，理由如下：∵y＝x为R上的减函数，且x>0，∴f(x)＝1－x为R上的增函数，且f(x)＝1－x<1，∴f(x)＝1－x∈(－∞，1)．
答案：1－x(答案不唯一)
14．(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋1>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，
即f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
C级——迁移创新
15．(多选)对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝x2＋1是闭函数
B．函数y＝－x3是闭函数
C．函数f(x)＝是闭函数
D．k＝－2时函数y＝k＋是闭函数
解析：BD　对于A，因为y＝x2＋1在定义域内不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，所以错误；
对于B，函数y＝－x3在定义域内是减函数，设[a，b] R，则解得所以存在区间[－1,1]，使得y＝－x3在[－1,1]上的值域为[－1,1]，所以函数y＝－x3是闭函数，所以正确；
对于C，y＝＝1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)＝不是闭函数，所以错误；
对于D，y＝－2＋的定义域为[－2，＋∞)，并且在[－2，＋∞)上为增函数，若y＝－2＋是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数的值域为[a，b]，即所以a，b是方程x＝－2＋的两个不相等的实根，整理方程得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，所以存在区间[－2，－1] [－2，＋∞)，使得函数y＝－2＋的值域为[－2，－1]，所以函数y＝－2＋是闭函数，所以D正确，故选B、D．
16．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．
解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，不合题意；
当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a．
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a]．
(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即m(a)＝
②当0≤x≤2时，
F(x)＝f(x)≤max{f(0)，f(2)}＝2＝F(2)，
当2≤x≤6时，
F(x)＝g(x)≤max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}＝max{F(2)，F(6)}．
所以M(a)＝

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