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第三节　函数的奇偶性与周期性
(1)结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义；(2)会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；(3)了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．　
重点一　函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
[注意]　 1 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件； 2 若f x ≠0，则奇 偶 函数定义的等价形式如下：①f －x ＝f x f －x －f x ＝0 ＝1 f x 为偶函数；②f －x ＝－f x f －x ＋f x ＝0 ＝－1 f x 为奇函数.
[逐点清]
1．(多选)(必修第一册84页例6改编)下列说法中正确的是(　　)
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数
D．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0
解析：AB　由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于C，由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，错误；对于D，由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，错误．故选A、B．
2．(2022·衡水月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　　　　　　　 B．
C． D．－
解析：B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝．又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝．
3．(2022·象州模拟)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：由题图可知，当00；当20．综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
答案：(－2,0)∪(2,5]
重点二　函数的周期性
1．周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[逐点清]
4．(易错题)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(2)＋f(3)的值为________．
解析：因为函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，f(x＋T)＝f(x)，所以f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(3)＝f(0)＝0，所以f(2)＋f(3)＝－2．
答案：－2
[记结论]
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
[提速度]
1．已知函数f(x＋1)是偶函数，当10恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．b解析：A　由结论3，函数关于x＝1对称，当10，则f(x2)>f(x1)，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴a＝f＝f＝f＝f，∵3>>2>1，∴b2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝________．
解析：由结论2知T＝4，f(9)＝f(1)＝1．
答案：1
函数的奇偶性
考向1　函数奇偶性的判断
　(1)已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞)
(2)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
[解析]　(1)将函数f(x)＝x·|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减，故选C．
(2)法一(通解)：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝．
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．故选B．
法二(优解)：f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B．
[答案]　(1)C　(2)B
判断函数奇偶性的方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　
考向2　函数奇偶性的应用
　(1)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b．若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
[解析]　(1)由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0　①．由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②．根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2．根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×2－2＝．
(2)法一(通解)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1．
法二(优解)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．
[答案]　(1)D　(2)1
与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解；
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式；
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数 f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．　
1．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________．
解析：因为f(x)在定义域上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝，即＝，根据等式恒成立可得，k＝±1．
答案：±1
2．(2022·长沙一模)已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2．若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析：令g(x)＝ax3＋bx5，则g(x)为奇函数，当x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0，又f(x)＝g(x)＋2，∴M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2，∴M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4．
答案：4
函数的周期性
1．(2022·成都质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：A　由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f＝f＝f＝－f＝－．
2．(2022·青岛质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________．
解析：由题意得，f＝f＝－4×2＋2＝1．
答案：1
3．(2022·成都模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
解析：因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．
答案：7
1．求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．　
函数性质的综合应用
考向1　函数的单调性与奇偶性相结合
　已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25．1)，b＝g(20．8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b[解析]　易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0．∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又3>log25．1>2>20．8，且a＝g(－log25．1)＝g(log25．1)，∴g(3)>g(－log25．1)>g(20．8)，则c>a>b．
[答案]　C
1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．
2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解．　
考向2　函数的奇偶性与周期性和对称性相结合
　已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－6)＝0，则f(2 022)＝________．
[解析]　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 022)＝f(6＋252×8)＝f(6)＝f(－6)＝0．
[答案]　0
函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．　
考向3　函数单调性、奇偶性和周期性相结合
　(多选)设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)
A．y＝f(x)是周期为2的函数
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)在[0,1]上是增函数
D．f＝0
[解析]　因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝2，所以A正确；
因为f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x＋2)，所以对称轴x＝＝1，即关于x＝1对称，所以B正确；
由函数f(x)为偶函数图象关于y轴对称，又在[－1,0]上是增函数，所以在[0,1]上单调递减，故C不正确；
因为f(x＋1)＝－f(x)，令x＝－可得f＝－f，即f＝－f，所以f＝0，所以D正确．故选A、B、D．
[答案]　ABD
解决单调性、奇偶性与周期性的综合问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．　
1．(2022·贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：B　依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4．又22．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：A　∵f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数．∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1．从而<1，解得－13．(2022·福建质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f(x)的结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)在(0,2)上单调递减；
③f(x)满足f(x)＝f(4－x)；
④f(x)＝cos是满足条件的一个函数．
其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．
解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，故有f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故①正确．由f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故③正确．f(x)＝cos是定义在R上的偶函数，(1,0)是它的图象的一个对称中心，可得④正确．取f(x)＝－cos时满足题设条件，但它在(0,2)上单调递增，故②错误．
答案：①③④
数学抽象——函数奇偶性的拓广性质及应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果．以下归纳出函数奇偶性的拓广及应用．
[性质1]　若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．
[性质2]　已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0．
[性质3]　若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
　(1)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的范围是(　　)
A．　　　　　 B．∪(1，＋∞)
C． D．∪
(2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
[解析]　(1)易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1) f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得(2)函数f(x)的定义域为R，f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．
[答案]　(1)A　(2)2
设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)
A．{x|x<－2或x>4}　　 B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
解析：B　由f(x)＝x3－8，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0．所以由已知条件可知f(x－2)>0 f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得x<0或x>4．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是(　　)
A．y＝－|f(x)|　　　 B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
解析：B　对A，y＝－|f(x)|中，－|f(－x)|与|f(x)|不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对B，y＝g(x)＝xf(x2)中，因为g(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，所以函数为奇函数，故正确；对C，y＝－f(－x)中，－f(x)与f(－x)不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对D，y＝f(x)＋f(－x)为偶函数，故错误．故选B．
2．(2022·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
解析：B　设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13．又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．
3．(2022·白银模拟)已知f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，则“m<－”是“f(m)>0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　因为f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，ax－2x＋a－x－2－x＝0，(ax－2x)＝0恒成立，(2a)x＝1，a＝，f(x)＝2－x－2x为R上的减函数，且f(0)＝0，所以f(m)>0时，m<0，因此“m<－”是“f(m)>0”的充分不必要条件．故选B．
4．(2022·湖北高三月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]　　　　　　　 B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：A　根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1．由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以2≥2x≥－2，解得－1≤x≤1，故选A．
5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
解析：BD　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．
6．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　)
A．f(0)＝1 B．f(x)是周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋5)为偶函数
解析：BD　因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确．故选B、D．
7．(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，故f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1．
答案：－x2－x＋1
8．已知实数a，b满足(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，则a＋b＝________．
解析：因为(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，所以(a－1)5＋2 020(a－1)3＝(3－b)5＋2 020(3－b)3，令f(x)＝x5＋2 020x3，则f(x)在R上为单调递增的奇函数，又f(a－1)＝f(3－b)，所以a－1＝3－b，所以a＋b＝4．
答案：4
9．设函数y＝f(x)的定义域为R，则下列命题：
①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．
其中正确命题的序号为________．
解析：y＝f(x＋2)是将函数y＝f(x)的图象向左平移两个单位长度得到的，故y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，①错误，②正确；若f(x－2)＝f(2－x)，由＝0得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，③错误，④正确．
答案：②④
10．(2022·重庆模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8．
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．
B级——综合应用
11．已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
解析：D　因为定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)内单调递增，所以f(x)满足在(－∞，0)内单调递减，又f(3)＝0，所以f(－3)＝f(3)＝0．作出函数f(x)的草图如图，由>0，得>0，得>0，所以或所以或解得x>1或－50的解集为(－5,0)∪(1，＋∞)．故选D．
12．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则(　　)
A．f(x－1)为奇函数
B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋2)为偶函数
解析：ABC　由题意知：f(－x－1)＋f(x＋1)＝0且f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0，∴f(1－x)＝f(－1－x)，即f(x－1)＝f(x＋1)，可得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，且f(x－1)，f(x＋2)为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f(x＋1)＝f(x＋3)，即f(x＋3)为奇函数，C正确．故选A、B、C．
13．已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f(1＋x)＝f(1－x)．请写出一个满足以上条件的f(x)＝________．
解析：由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x)关于直线x＝1对称，所以开口向下，对称轴为x＝1，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件．
答案：－x2＋2x(答案不唯一)
14．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4．
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4．
C级——迁移创新
15．(1)已知函数f(x)，x∈R，若 a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若 x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明：(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0．
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．

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