资源简介

第四节　幂函数与二次函数
(1)通过具体实例，理解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律；(3)理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．　
重点一　幂函数
1．幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项．
2．常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
性质 定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数
单调性 在R上单调递增 在 上单调递减；在 上单调递增 在R上单调递增 在 上单调递增 在 和 上单调递减
[逐点清]
1．(多选)(必修第一册91页练习3题改编)下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都过(1,1)点
B．幂函数的图象都不经过第四象限
C．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D．幂函数必定是增函数或减函数中的一种
解析：AB　因为1α＝1，所以幂函数的图象都经过(1,1)，故A正确；当x>0时，xα>0，幂函数的图象都不经过第四象限，故B正确；y＝x的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，故C错误；y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D错误．故选A、B．
2．(必修第一册91页习题1题改编)已知α∈．若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1,1,3．又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1．
答案：－1
重点二　二次函数
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；在x∈上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
[逐点清]
3．(易错题)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
C．c D．
解析：C　∵f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，∴x1，x2关于f(x)的对称轴x＝－对称，∴x1＋x2＝－，∴f(x1＋x2)＝f＝－＋c＝c．故选C．
4．(易错题)已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：D　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D．
[记结论]
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”；
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．
2．二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]：
(1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；
(2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)；
(3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；
(4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)．
[提速度]
1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由结论1知即解得a>．
2．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________．
解析：f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－22＋＋3，∵0≤m≤4，∴0≤≤1，由结论2可知，当x＝时，f(x)取得最大值，∴＋3＝4，解得m＝2．
答案：2
幂函数的图象与性质
1．(2022·郑州调研)若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)
解析：C　设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，所以2＝4α，解得α＝．所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当02．(2022·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b解析：A　由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn．又点(2,8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，又ln π>1>2－＝>，所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a．
3．(2022·郑州质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________．
解析：由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2．
答案：2
1．对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．　
求二次函数的解析式
　(2022·武汉质检)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．
[解]　法一(利用二次函数的一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用二次函数的顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝．
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴f(x)＝a2＋8．
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用二次函数的零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，即＝8．
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
求二次函数解析式的策略
1．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝________．
解析：设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x．
答案：x2＋2x
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________．
解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－＝1和2＋＝3．所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4,3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1．故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3．
答案：x2－4x＋3
二次函数的图象和性质
考向1　二次函数的图象与性质
　 (1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
[解析]　(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a．根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，即5a(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－10>－，所以f(m＋1)>f(0)>0．
[答案]　(1)B　(2)C
1．研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
2．求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件．　
考向2　二次函数中的恒成立问题
　设函数f(x)＝mx2－mx－1．
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，得
即－4∴所求m的取值范围是(－4,0]．
(2)法一：要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
即使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0．
综上所述，m的取值范围是．
法二：当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<．
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．
综上所述，m的取值范围是．
由不等式恒成立求参数取值范围的思路
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数；
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．其中分离参数的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min．
1．已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[0,6]
C．[6，＋∞) D．(－∞，0]∪[6，＋∞)
解析：B　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴a(3＋x)2＋b(3＋x)＋c＝a(3－x)2＋b(3－x)＋c，∴x(6a＋b)＝0，∴6a＋b＝0，∴f(x)＝ax2－6ax＋c＝a(x－3)2－9a＋c．又∵f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a<0，∴f(x)的图象是以直线x＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0,6]．
2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1．由－m－1>0，得m<－1．因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数(　　)
A．是增函数　　　　　　 B．不是单调函数
C．是减函数 D．不能确定
解析：A　因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0．所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A．
2．(2022·济南质检)若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝(　　)
A．3 B．－3
C． D．－
解析：C　设f(x)＝xα，则＝2α＝3，∴f＝α＝．
3．(2022·浙江模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　　)
A．bab
C．b>a＋c，c2a＋c，c2>ab
解析：D　由题图知，a>0，b>0，c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，f(－1)＝a－b＋c<0，所以c＝－(a＋b)，b>a＋c，所以c2－ab＝[－(a＋b)]2－ab＝a2＋b2＋ab>0，即c2>ab．故选D．
4．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由题得f(x)＝－10＋2，x∈，令t＝sin x，则f(x)＝g(t)＝－102＋2，令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，由g(t)的图象，可知当－≤t≤0时，f(x)的值域为，所以－≤m≤0．故选B．
5．不等式x≤的解集是(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　在同一坐标系中作出函数y＝x与y＝的图象，如图所示：
当x＝时，解得x＝，由图象知x≤的解集是故选B．
6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
解析：ABD　由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A、B、D．
7．(多选)已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
解析：ABD　因为函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f(x)＝x3，A项，因为f(0)＝0，所以函数y＝x3的图象过原点，因此本说法正确；B项，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以函数y＝x3是奇函数，因此本说法正确；C项，因为y＝x3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D项，因为y＝x3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A、B、D．
8．已知函数f(x)＝4＋loga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在函数g(x)＝xα的图象上，则α＝________．
解析：令2x－3＝1，得x＝2，此时f(2)＝4，∴函数f(x)＝4＋loga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,4)，即P(2,4)，又∵点P在函数g(x)＝xα的图象上，∴2α＝4，∴α＝2．
答案：2
9．已知幂函数f(x)的部分对应值如表：
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，则α＝，∴α＝，∴f(x)＝x，不等式f(|x|)≤2等价于|x|≤2，∴|x|≤4，∴－4≤x≤4．∴不等式f(|x|)≤2的解集是[－4,4]．
答案：[－4,4]
10．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4．
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1．
由g(x)>2对任意的x∈R恒成立，得g(x)min>2(x∈R)．
∵g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3．
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
B级——综合应用
11．(2022·合肥质检)已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
解析：B　因为f(x)＞0的解集为(－1,3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以即令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1,0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，故m≥4，故选B．
12．(多选)若a＋b>0，函数f(x)＝(x－a)(x＋b)－1的零点为x1，x2(x1A．x1a
C．x1＋x2＝a－b D．x1＋x2＝b－a
解析：BC　设g(x)＝(x－a)(x＋b)，则g(a)＝g(－b)＝0，f(x1)＝g(x1)－1＝0，g(x1)＝1，同理g(x2)＝1，所以x1＋x2＝a＋(－b)＝a－b，由a＋b>0得a>－b且a>0，又x1a，故选B、C．
13．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
(2)试研究函数y＝的最值情况．
解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0．正确解答如下：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4，易知u≠0，
当0当u<0时，<0，即f(x)<0．
∴f(x)<0或f(x)≥，即f(x)既无最大值，也无最小值．
(2)∵x2＋x＋2＝2＋≥，∴0C级——迁移创新
14．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1．所以必有－1答案：(0,2)
15．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，求m的取值范围；
(3)设f(x)＝，若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．
解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a．
∵a>0，∴g(x)在[2,3]上单调递增，
∴
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，
∵存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，
∴g(x)min＝g(3)＝4<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，
即－mt＋2m2＋3>0对任意的t∈[0,5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数，
∴解得m∈(－∞，1)∪．
(3)由(1)得f(x)＝＝＝x＋－2，
∴f(2x)－k·2x＝2x＋－2－k·2x≥0，
令2x＝t，
则不等式可化为k≤1＋－，
∵不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，
∴k≤max，又∵1＋－＝2，
≤t≤2 ≤≤2，∴max＝1，
k≤1，即实数k的取值范围是(－∞，1]．