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人教A版2019高中数学必修第二册
8.6 空间直线、平面的平行
8.5.2直线与平面平行
问题：空间中直线与平面的位置关系有哪些？
a
a
A
a
a
a
a
复习回顾
直线与平面相交
直线与平面平行
直线在平面外
问题1：直线与平面的位置关系有哪些？
直线在平面内
生活中的线面平行
生活中的线面平行
天花板所在的平面
生活中的线面平行
探究活动：
活动1：如图（1），将矩形纸片ABCD对折，折痕EF,令平面ABEF与桌面重合，将矩形CDEF绕直线EF旋转，观察旋转过程中直线CD桌面a的位置关系.
F
E
（1）
（2）
活动2：如图（2），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，令平面ABEF与桌面重合，将梯形CDEF绕直线EF旋转，观察旋转过程中直线CD桌面a的位置关系.
E
F
思考：CD与折痕EF满足什么关系时？转动中能保持线CD//a ？
在门扇的旋转过程中:
直线AB在门框所在的平面外
直线CD在门框所在的平面内
直线AB与CD始终是平行的
C
A
B
D
生活实例
开门过程中门外侧边缘线AB与门框所在的平面平行
1. 文字语言： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
2. 图形语言：
3. 符号语言：
a
b
α
三者缺一不可！
直线与平面平行的判定定理
直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行的依据.
线线平行
线面平行
推出
A
B
C
D
E
F
例题2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面。
已知：如图,空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点。
求证：EF||平面BCD.
∵ E、F分别是AB、AD的中点,
教材138页
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
解：
BD1//平面AEC. 理由如下：
连接BD，交AC于点O，连接EO.
∵点E，O分别是DD1，DB的中点，
∴BD1//EO，
∴BD1//平面AEC.
又BD1 平面AEC，BD1 平面AEC，
C1
A
C
B1
B
M
N
A1
练习 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1C.
F
证明：设A1C1中点为F,连结NF，FC．
∵N为A1B1中点，
M是BC的中点
∴NFCM为平行四边形,
故MN∥CF
B1C1
∴NF
＝
∥
＝
∥
又∵BC
B1C1
，
∴MC
＝
∥
1/2B1C1
即MC
NF
＝
∥
而CF
平面AA1C1C,
MN
平面AA1C1C
∴ MN∥平面AA1C1C
平行四边形的对边平行
总结1 证明直线与平面平行可以运用线面平行判定定理；
线线平行 线面平行
总结2 运用定理的条件是要满足六个字，
“面外、面内、平行”
运用定理的关键是找平行线。找平行线又经常会用到三角形中位线定理，平行四边形。
刚才，得到了一条直线与平面平行的充分条件.反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢？
这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件. 接下来我们就来研究在直线a平行于平面α的条件下，可以推出什么结论呢？
α
a
如图，由定义可知，直线a //平面α，那么a与α无公共点，即a与α内的任何直线都无公共点. 这样，直线a与平面α内的直线只能是异面或平行. 那么，在什么条件下，直线a与平面α内的直线平行呢？
α
a
b
β
若a//α，过直线a的平面β与平面α相交于b，则a//b.
若a//α，过直线a的平面β与平面α相交于b，则a//b.
α
a
b
β
证明：
如图示，已知a//α，a β， α∩β=b. 求证：a//b.
∵α∩β=b，
∴b α.
又a//α，
∴a与b没有公共点.
又a， b β，
∴a//b.
1. 文字语言：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
作用：
判定直线与直线平行的重要依据。
关键：
寻找平面与平面的交线。
直线与平面平行的性质定理
简述为：线面平行 线线平行
2. 图形语言：
3. 符号语言：
α
a
b
β
例题 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF//平面ABC，则EF与BC的位置关系如何？
例3 如右图的一块木料中，棱BC平行面A'C'.
(1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开, 在木料表面应该怎样画线
(2) 所画的线与平面AC是什么位置关系
解：(1)如右图，在平面A'C内，过点P作直线EF，使EF//B'C'，并分别交棱A'B', D'C' 于点E, F. 连接BE, CF, 则EF, BE, CF就是应画的线.
(2)∵BC//平面A'C', 平面BC'∩平面A'C'=B'C',
∴BC//B'C'. 由(1)知，EF//B'C'，∴EF//BC.
而BC在平面AC内，EF 在平面AC外，
∴EF//平面AC，
显然BE, CF都与平面AC相交.
练习. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证: 另一条也平行于这个平面.
a
a
b
如图, 已知直线 a、b 和平面 a,
且 a//b, a//a. 求证: b//a.
证明:
过直线 a 作平面 b∩a = m,
m
∵a//a,
∴a//m,
又 a//b,
b//m,
m a, b a,
b//a.
【课时小结】
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.
1. 线面平行的判定定理
a
b
a
b a,
a a,
b//a,
b∥a.
2. 线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
l∥a,
l b,
b∩a = m
l∥m.
a
m
b
l

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