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第2章 一元二次函数、方程和不等式
§2.1等式性质与不等式性质
1.作差法比较大小
；；.
2.不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（可加性）
（4）（可乘性）；
（5）（同向可加性）
（6）（正数同向可乘性）
（7）（正数乘方法则）
§2.2基本不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
变形公式：
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式： ；
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”.
典型例题
例题1．（2015·四川省南充市第一中学高一学业考试）若，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】取特值，例如，可知A错误；C错误；取，可知B错误；
由可得，两边同除以可得，故D正确.
例题2．（2022·浙江·高二学业考试）设x，y为正数，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B【解析】，
因为x，y为正数，所以（当且仅当时取等号，即当时取等号），
因此，
例题3．（2019·浙江·高三学业考试）若正数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D【解析】∵x，y均为正数，，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴，所求最大值为．
例题4．（2018·浙江·镇海中学高二学业考试）若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C【解析】实数a，b满足ab＞0， 则， 当且仅当且，即或时等号成立．
例题5．（2018·天津·静海一中高二学业考试（文））
（1）若，且，则的取值范围是______.
（2）若，，且，则的取值范围是______.
（3）已知，且，则的最小值是______.
（4）已知实数，，若，，且，则的最小值______.
（5）已知实数，，若，，则的最小值______.
【答案】 ； ； ； ； .
【解析】（1）若，且，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的取值范围是；
（2），，由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的取值范围是；
（3），
当且仅当，即
或时，等号成立，
的最小值是；
（4），，且，
设，且
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值是；
（5），，
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值.
对点练习
1．（2022·北京·高三学业考试）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时取“=”.
2．（2021·江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B【解析】由题得
当且仅当时取等.所以的最小值为2.
3．（2021·北京·高二学业考试）已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【解析】根据题意，，则，
当且仅当，即时等号成立，即的最小值是4；
4．（2021·浙江·高二学业考试）若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D【解析】由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
5．（2020·贵州·高二学业考试）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C【解析】由重要不等式可得：，当且仅当即或时等号成立，
所以的最小值为，
6．（2020·河北·高二学业考试）若实数，满足，则的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为实数，满足，为使取得最大值，必有，同号，
因为，当且仅当，即或时，等号成立，
所以，因此的最大值为.
7．（2019·河北·高二学业考试）若正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】将变形得，
则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
8．（2015·四川省南充市第一中学高一学业考试）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C【解析】
又，
当且仅当即时取等号，
的最小值为4，则的最小值为2.
9．（2017·贵州·贵阳六中高一学业考试）已知，若不等式恒成立，则的最大值等于
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B【解析】因为，如果不等式恒成立，即
，，所以
10．（2019·浙江·高二学业考试）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________.
【答案】 3
【解析】根据题意，正数a、b满足，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为3，此时.
11．（2021·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知，，，则的最小值为__________．
【答案】【解析】由，得，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
12．（2018·广东·高二学业考试）已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
【答案】36【解析】f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，
由题意知＝3，∴a＝36.
13．（2020·全国·高三学业考试）已知x ，且，则的最大值为___________
【答案】或【解析】因为且，
所以，即，
当且仅当，即且时取等号，
此时取最大值为.
14．（2021·山东·高二学业考试）已知，，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，解得，当且仅当，时，等号成立．
15．（2021·辽宁大连·高三学业考试）已知，则的最小值为_____________.
【答案】6【解析】，，
当且仅当时，取“”，
所以的最小值为6，
16．（2021·山东·高三学业考试）已知，求函数的最小值是______．
【答案】2【解析】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号.
17．（2020·福建·高三学业考试）若正数x，y满足，则的最小值是__________．
【答案】5
【解析】由条件，两边同时除以，得到，
那么
等号成立的条件是，即，即.
所以的最小值是5，
18．（2017·天津·高二学业考试）已知，则的最小值为___________.
【答案】【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
19．（2020·安徽·高二学业考试）已知，则的最大值是__________.
【答案】4.【解析】因为，故，
则，
当且仅当，即时，取得最大值4.
20．（2020·江苏省通州高级中学高二学业考试）设，则当取得最小值时，x的值是______.
【答案】
解：∵，则1﹣x＞0，
由基本不等式可得＝，
当且仅当，即当时，等号成立.
21．（2019·浙江·高二学业考试）已知正实数a，b满足a＋2b＝2，则的最小值为________.
【答案】【解析】因为a＋2b=2，
所以===
=＋＋≥＋=，
当且仅当a=，b=时取等号，所以的最小值为.
22．（2020·广东·深圳第三高中高三学业考试）若，，且，则的最小值是________.
【答案】16【解析】，当且仅当时取等号
§2.3二次函数与一元二次方程.不等式
的图象
的根 没有实数根
的解集 R
的解集
典型例题
例题1．（2021·广西·高二学业考试）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】，
解得，
所以不等式的解集为.
例题2．（2019·浙江·高二学业考试）设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m【答案】B【解析】不等式变形为，方程的两根为，显然由得，所以不等式的解为．
例题3．（2017·内蒙古·海拉尔第一中学高三学业考试）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立，
所以，，
又因为的对称轴为，所以在上单调递减，
所以，所以，
例题4．（2020·江苏省通州高级中学高二学业考试）不等式的解集为，则a，c的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C【解析】不等式的解集为
所以是方程的两个实数根
所以，则
例题5．（2020·福建·高二学业考试）已知函数.若对任意，，且，均有，则实数的取值范围______.
【答案】
【解析】依题意分析可知，函数在上为单调函数，
所以或，即或.
故答案为：.
对点练习
1．（2021·福建·高二学业考试）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】或，的图象是开口向上的抛物线，
所以不等式的解集是．
2．（2021·北京·高二学业考试）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】由，解得，即原不等式的解集为；
3．（2011·陕西·高一学业考试）在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．－1C．－【答案】C【解析】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得，
4．（2021·湖北·高二学业考试）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，，，
5．（2021·江西省南丰县第二中学高一学业考试）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】当时，即，此时恒成立，满足条件；
当时，因为对任意实数都成立，
所以，解得，
综上可知，，
6．（2011·陕西·高一学业考试）不等式的解集是，则（ ）
A． B．10 C． D．14
【答案】A【解析】由题意知，方程的两根分别为、，
由根与系数的关系可得：，解得： ，
所以，
7．（2020·北京·高二学业考试）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】的对称轴是，
由题意，
8．（2022·浙江·高三学业考试）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C【解析】由等价于，进而可求出不等式的解集.
【详解】由题意，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
9．（2015·内蒙古·高二学业考试）若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D解析】设，
由题意得：，
解之得实数的取值范围为：.
10．（2016·内蒙古·高二学业考试）若函数对都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由都有恒成立
当时，恒成立
当时，则
综上所述：
11．（2016·湖南·高一学业考试）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B【解析】：根据图像可得不等式的解集为.
12．（2020·全国·高一学业考试）关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为关于x的不等式的解集为，
所以，又，
所以，
解得，因为，所以.
13．（2019·浙江·高二学业考试）不等式的解集为_____________；不等式的解集为_____________．
【答案】
【解析】不等式，
即，故：，
或，不等式的解集是；
解得：不等式的解集是．
故答案为：；
14．（2016·黑龙江·高二学业考试）不等式的解集是，则______．
【答案】
【解析】由题设，，可得，
∴.
15．（2021·山东·高三学业考试）已知函数，在区间上不单调，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】函数对称轴为，
因为函数在区间上不单调，所以，
解得，所以实数的取值范围是，
16．（2017·上海·高三学业考试）若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为__________
【答案】
【解析】的对称轴为
（1）当时，即， ，解得：不符合题意，舍去；
（2）当，即， ，符合题意，故；
综上可知，的取值范围为
17．（2020·全国·高一学业考试）已知函数的定义域为，则的取值范围为_______ .
【答案】
【解析】由于函数的定义域为，不等式对任意的恒成立，
当时，恒成立，即符合题意；
当时，则，得，解得.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
18．（2011·山东潍坊·高二学业考试）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.
【答案】【解析】关于的不等式的解集为，
则的图象在轴上方，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
19．（2015·四川省南充市第一中学高一学业考试）已知不等式的解集为或，则________.
【答案】
由，得，
等价于，
不等式的解集为或，
和为方程的两个实数根，
，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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