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第一节　导数的概念及运算
(1)通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景；(2)通过函数图象直观理解导数的几何意义；(3)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；(4)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；(5)能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．　
重点一　平均变化率与瞬时变化率
1．平均变化率
(1)定义式：＝；
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比；
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢；
(4)几何意义：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图象上两点，则＝，平均变化率表示割线P1P2的斜率．
2．瞬时变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，则称这个值为y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作＝ ．
[逐点清]
1．(选择性必修第二册62页练习3题改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3　　　　　　　 B．3
C．6 D．－6
解析：D　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝
(－3Δt－6)＝－6．
重点二　导数的概念及其几何意义
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ．
2．导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝
3．函数f(x)的导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，f′(x)称为f(x)的导函数，f′(x)＝ ．
4．f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，则[f′(x0)]′＝0．
[注意]　 1 函数y＝f x 的导数f′ x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′ x |反映了变化的快慢，|f′ x |越大，曲线在这点处的切线越“陡”； 2 曲线y＝f x 在点P x0，y0 处的切线是指以P为切点，斜率为k0＝f′ x0 的切线，是唯一的一条切线．
[逐点清]
2．(选择性必修第二册65页例1改编)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝________．
解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2．
答案：－2
重点三　导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝
f(x)＝sin x f′(x)＝ _
f(x)＝cos x f′(x)＝ _
f(x)＝ex f′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ _
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
2．导数的运算法则
(1)函数和、差、积、商的导数
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
①[f(x)±g(x)]′＝ ；
②[f(x)g(x)]′＝ ；
③′＝(g(x)≠0)．
(2)简单复合函数的导数
由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[逐点清]
3．(多选)(选择性必修第二册75页例1改编)下列结论中不正确的是(　　)
A．若y＝cos ，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
解析：ACD　对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；
对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．故选A、C、D．
4．(易错题)曲线y＝x＋sin x＋1在x＝0处的切线方程为________．
解析：因为y＝x＋sin x＋1，所以x＝0时，y＝1，即切点为(0,1)，y′＝1＋cos x，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝1＋cos 0＝2，所以切线方程为y＝2x＋1．
答案：y＝2x＋1
[记结论]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(1)′＝－；
(2)′＝－(f(x)≠0)；
(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
[提速度]
　观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________．
解析：由结论1，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案：－g(x)
平均变化率与瞬时变化率
1．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误．
答案：①②③
2．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________(由大到小排列)．
解析：∵1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图象得kOA2>1．
答案：3>2>1
1．用平均变化率、瞬时变化率求解或解读生产生活中发生的某些变化情况已成为考查数学应用的热点，特别是在物理中的应用更为突出．
2．变化率的正、负反映该变化过程是增加还是减少，变化率绝对值的大小反映该变化过程的快慢．　
导数的运算
1．(多选)下列求导数的运算中正确的是(　　)
A．′＝1－ B．(3ln x)′＝
C．′＝ D．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析：AB　A选项x′＝1，′＝(x－1)′＝－x－2＝－，相加即可，正确；B选项系数不变，只对ln x求导，正确；C选项是除法的求导公式，′＝＝，故错误；D选项是乘法的求导公式，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故错误．故选A、B．
2．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26　　 B．29
C．215　　 D．212
解析：D　∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212．
3．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________．
解析：f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2．
答案：e2
导数运算的原则和方法
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂形式，再求导；
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．　
导数的几何意义及应用
考向1　求切线方程
　(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
[解析]　法一：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．故选B．
法二：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C、D．又f(1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除A．故选B．
[答案]　B
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．　
考向2　由曲线的切线(斜率)求参数的范围
　(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)
A．eb＜a B．ea＜b
C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea
[解析]　法一(通解)：设切点(x0，y0)，y0＞0，则切线方程为y－b＝ex0(x－a)，由得ex0(1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程ex0(1－x0＋a)＝b有两个不同的解．设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以当x＜a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，当x＜a时，a－x＞0，所以f(x)＞0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，
因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜ea．故选D．
法二(优解)：过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0＜b＜ea．故选D．
[答案]　D
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题的注意点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．　
考向3　公切线问题
　设曲线y＝ln x与y＝(x＋a)2有一条斜率为1的公切线，则a＝(　　)
A．－1　　 B．－
C．　　 D．
[解析]　因为y＝ln x，所以y′＝，又因为切线的斜率为1，所以y′＝＝1，解得x＝1，y＝0，所以切线方程为y＝x－1，因为y＝(x＋a)2，所以y′＝2x＋2a＝1，解得x＝－a，代入切线方程得y＝－－a，再将代入y＝(x＋a)2，解得a＝－，故选B．
[答案]　B
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．　
1．(2022·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(3，＋∞)
C． D．(0,3)
解析：A　f′(x)＝2e2x－2ex＋a，依题意知f′(x)＝3有两个实数解，即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，令t＝ex，∴t>0，∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图象有两个交点，φ(t)＝－2t2＋2t＋3＝－22＋，∵t>0，∴φ(t)max＝φ＝，又φ(0)＝3，故32．若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋－2，x>0．又4x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝时取“＝”．∴a≥4－2＝2．∴a的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为(　　)
A．－ cm/s　　　　 B． cm/s
C．－ cm/s D． cm/s
解析：B　由题意得，h′(t)＝＝，所以h′(3)＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B．
2．设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，其中＝－P，Q′是Q的导数，则商品价格P的取值范围是(　　)
A．(0,10) B．(10,20)
C．(20,30) D．(20，＋∞)
解析：B　根据题意得＝－P＝－＝，由>1得－1>0，即>0，解得103．(2022·内江期末)曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．－1
解析：C　设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则解得所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此，f′(1)－f(1)＝1－3＝－2．故选C．
4．(2022·青岛模拟)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 022(x)＝(　　)
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：C　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x．故选C．
5．(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)C．f(3)－f(2)>f′(3)
D．f(3)－f(2)解析：BCD　f′(x0)的几何意义是f(x)在x＝x0处的切线的斜率．由题图知f′(2)>f′(3)>0，故A错误，B正确．设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则f(3)－f(2)＝＝kAB，由题图知f′(3)6．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
解析：AC　若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C．
7．已知点P在曲线y＝x3－x上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．
解析：∵y＝x3－x，∴y′＝3x2－1≥－1，∴tan α≥－1，∵0≤α<π，∴过P点的切线的倾斜角的取值范围是α∈∪．
答案：∪
8．(2022·南平二模)请写出与曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝________．
解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处的切线方程为y＝1，所有在点(0,1)处的切线方程为y＝1的函数都是正确答案．
答案：x2＋1(答案不唯一)
9．(1)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程；
(2)已知f(x)在R上可导，F(x)＝f(x3－1)＋f(1－x3)，求F′(1)的值．
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋2．设切线的斜率为k．可知原点在曲线上．
①当切点是原点时，k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x．
②当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)(x0≠0)，则有y0＝x－3x＋2x0，
k＝＝x－3x0＋2， (ⅰ)
又因为k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2． (ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)得x0＝，k＝＝－．
所以所求曲线的切线方程为y＝－x．
综上，所求曲线的切线方程为y＝2x或y＝－x．
(2)由题知F′(x)＝3x2f′(x3－1)－3x2f′(1－x3)，则F′(1)＝3f′(0)－3f′(0)＝0．
B级——综合应用
10．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为(　　)
A．　 B．　　　
C．　　 D．
解析：C　如图所示，若使|PQ|取得最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y′＝－cos x，令y′＝，可得cos x＝－，∵0≤x≤π，解得x＝．故选C．
11．(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x
解析：ABC　对于A，由f(x)＝sin x＋cos x，得f′(x)＝cos x－sin x，则f″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)，因为x∈，所以f″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)<0，所以此函数是凸函数；对于B，由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝－2，则f″(x)＝－，因为x∈，所以f″(x)＝－<0，所以此函数是凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，则f″(x)＝－6x，因为x∈，所以f″(x)＝－6x<0，所以此函数是凸函数；对于D，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝－e－x＋xe－x，则f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝(2－x)e－x，因为x∈，所以f″(x)＝(2－x)e－x>0，所以此函数不是凸函数，故选A、B、C．
12．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________．
解析：函数f(x)＝ln(1＋x)，则f′(x)＝，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x．∴ln 2 022－ln 2 021＝ln＝f，根据以直代曲，x＝非常接近切点x＝0．∴可以将x＝代入切线近似代替f，即f≈．
答案：y＝x　
13．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
C级——迁移创新
14．已知函数f(x)＝x2＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象是(　　)
解析：A　对f(x)求导，得f′(x)＝x－sin x，则k＝f′(t)＝g(t)＝t－sin t．由f′(－t)＝－f′(t)，可知f′(t)为奇函数，即k＝g(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D；又当t＝时，g＝－sin ＝－1<0，排除C．故选A．
15．(2022·郑州名校联考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0．
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2．
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1．
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9．
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2．
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9．
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1．
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9．
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0．

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