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　导数与函数的极值、最值
(1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；(2)会用导数求函数的极大值、极小值；(3)会求闭区间上函数的最大值、最小值．　
重点一　函数的极值
1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x) ，右侧f′(x) ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的 ．
2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x) ，右侧f′(x) ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的 ．
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
[逐点清]
1．(多选)(选择性必修第二册92页练习1题改编)己知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)在x＝－4时取极小值
B．f(x)在x＝－2时取极大值
C．x＝1．5是f(x)极小值点
D．x＝3是f(x)极小值点
解析：AC　由导函数f′(x)的图象可得，当x＝－4时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以f(x)在x＝－4时取极小值，所以A正确；当x＝1．5时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以x＝1．5是f(x)极小值点，所以C正确；而x＝－2和x＝3，左右两边的导数值同号，所以x＝－2和x＝3不是函数的极值点，所以B、D错误．故选A、C．
2．(易错题)若y＝aln x＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________．
解析：∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1，函数在x＝1和x＝2处有极值，∴f′(1)＝0，f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0，＋4b＋1＝0，∴a＝－，b＝－．
答案：－　－
重点二　函数的最值
1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的 ，f(b)为函数的 ；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的 ，f(b)为函数的 ．
[逐点清]
3．(选择性必修第二册93页例6改编)函数g(x)＝x2在区间[1,2]上的最小值和最大值分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．
解析：根据函数的单调性及最值的定义可得g(x)＝x2在[1,2]上单调递增且连续，则g(x)max＝4，g(x)min＝1．g(x)＝x2在(1,2)上不存在最小值，也不存在最大值．
答案：1,4　不存在
[记结论]
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
[提速度]
1．函数f(x)在区间(a，b)内可导，x0∈(a，b)，则“f′(x0)＝0”是“x0为函数f(x)的极值点”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　由结论1可知选B．
2．函数f(x)＝xln x在上的最大值是________．
解析：由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)＝0，则得x＝，当＜x≤e2时，f′(x)＞0，所以f(x)在上递增，由结论3可知，f(x)的最大值为f(e2)＝e2ln e2＝2e2．
答案：2e2
利用导数研究函数的极值问题
考向1　根据函数图象判断函数极值
　
(2022·郑州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
[解析]　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0．由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
[答案]　D
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．　
考向2　求函数的极值
　已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋，其中a∈R．若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y－1＝0平行．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[解]　(1)由已知，可得f′(x)＝x2＋ax－2．
∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，
∴f′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1．经验证，a＝－1符合题意．
(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋，f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，且f(－1)＝2；
当x＝2时，f(x)取得极小值，且f(2)＝－．
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．　
考向3　已知极值(点)求参数的值或范围
　已知函数f(x)＝x3－ax2＋．若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a的取值范围是________．
[解析]　f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝．当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)无极值，不合题意．当a>0时，f(x)在x＝处取得极小值，在x＝0处取得极大值，则a－1<00，所以0[答案]　(－9,0)∪(0,1)
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．　
1．已知函数f(x)＝－ax在(1，＋∞)上有极值，则实数a的取值范围为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
解析：B　f′(x)＝－a，设g(x)＝＝－，∵函数f(x)在区间(1，＋∞)上有极值，∴f′(x)＝g(x)－a在(1，＋∞)上有变号零点，即g(x)＝a在(1，＋∞)上有解，令＝t，由x＞1可得ln x＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－2＋≤，解得a≤．又当a＝时，f′(x)＝－＝＝－≤0在(1，＋∞)上恒成立，则f(x)在(1，＋∞)上单调递减，无极值点，故舍去，所以a的取值范围是．故选B．
2．设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b，从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，从而由条件可知－＝－，解得a＝3，又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12．
(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上是增函数，当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)在(－2,1)上是减函数，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
从而f(x)在x＝－2处取到极大值f(－2)＝21，在x＝1处取到极小值f(1)＝－6．
利用导数研究函数的最值问题
　已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
[解]　函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋＝．
①若k≤0，则在上恒有f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递减．
②若0由k<，得>e，则x－<0在上恒成立，
所以<0在上恒成立，
所以f(x)在上单调递减．
综上，当k<时，f(x)在上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1．
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．　
已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1．
当00；当x>1时，f′(x)<0．
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(x)max＝f(1)＝－1．
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1．
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈．
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0从而f(x)在上单调递增，在上单调递减，∴f(x)max＝f ＝－1＋ln．
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，即a＝－e2．∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2．
函数极值和最值的综合问题
　(2021·天津高考)已知a＞0，函数f(x)＝ax－x·ex．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明f(x)存在唯一极值点；
(3)若存在a，使得f(x)≤a＋b对于任意的x∈R成立，求实数b的取值范围．
[解]　(1)因为f(0)＝0，f′(x)＝a－(x＋1)ex，所以f′(0)＝a－1，所以函数在(0，f(0))处的切线方程为
(a－1)x－y＝0．
(2)证明：若证明f(x)仅有一个极值点，即证f′(x)＝a－(x＋1)ex＝0，只有一个解，
即证a＝(x＋1)ex只有一个解，
令g(x)＝(x＋1)ex，只需证g(x)＝(x＋1)ex的图象与直线y＝a(a＞0)仅有一个交点，
g′(x)＝(x＋2)ex，
当x＝－2时，g′(x)＝0，
当x＜－2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当x＞－2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x＝－2时，g(－2)＝－e－2＜0．
当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
当x→－∞时，g(x)→0－，
画出函数g(x)＝(x＋1)ex的图象大致如下，
因为a＞0，所以g(x)＝(x＋1)ex的图象与直线y＝a(a＞0)仅有一个交点，∴命题论证．
(3)由题意可得，存在a∈(0，＋∞)，使得ax－xex≤a＋b对于任意的x∈R恒成立，
即存在a∈(0，＋∞)，使得－b≤xex＋a(1－x)对于任意的x∈R恒成立，
令h(x)＝xex＋a(1－x)，即存在a∈(0，＋∞)，－b≤h(x)min，
h′(x)＝(x＋1)ex－a，h″(x)＝(x＋2)ex(h″(x)为h′(x)的导数)．
由(2)得x＜－2时，h′(x)单调递减，x＞－2时单调递增，
当x→＋∞时，h′(x)→＋∞，
当x→－∞时，h′(x)＜0，
所以存在x＝x0(x0＞－2)，使得函数h′(x0)＝(x0＋1)·ex0－a＝0，
即(x0＋1)ex0＝a，
当x＜x0时h(x)单调递减，当x＞x0时h(x)单调递增，
当x＝x0时，h(x)min＝h(x0)＝x0ex0＋a(1－x0)＝(1－x＋x0)ex0，
h′(x0)＝(－x－x0＋2)ex0＝－(x0＋2)(x0－1)ex0，
当－2＜x0＜1时，h′(x0)＞0，则h(x0)单调递增，当x0＞1时，h′(x0)＜0，则h(x0)单调递减．
当x0＝1时，h(x0)max＝h(1)＝e，
因为存在a∈(0，＋∞)，－b≤h(x0)，即－b≤h(x0)max，即－b≤e，
所以b的取值范围为[－e，＋∞)．
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max，则不等式f(x)(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．　
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由f′＝－a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－，b＝－2．
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是．
(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，由(1)知，当x＝－时，f＝＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)，即c2>2＋c．
解得c<－1或c>2．
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax＋a(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥ x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．
解：(1)∵f′(x)＝＋x－a(x>0)，
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f′(x)≥0，
即＋x－a≥0恒成立，∴a≤min，
而x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取“＝”，
∴a≤2．
即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a的取值范围是(－∞，2]．
(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，
且f′(x)＝＋x－a＝(x>0)，
∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根，
由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，
∴f(x2)－f(x1)＝ln＋(x－x)－a(x2－x1)
＝ln－(x－x)＝ln－(x－x)
＝ln－，
设t＝(t≥ )，令h(t)＝ln t－(t≥ )，
则h′(t)＝－＝－<0，
∴h(t)在[，＋∞)上单调递减，
∴h(t)≤h()＝，
故f(x2)－f(x1)的最大值为．

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