资源简介

第六节　对数与对数函数
(1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；(2)了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；(3)知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1)．　
重点一　对数
概念 如果 (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ，N叫做
性质 底数的限制a>0，且a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N
负数和零没有对数
1的对数是 ：loga1＝
底数的对数是 ：logaa＝
对数恒等式：a logaN＝
运算性质 loga(M·N)＝ a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝
logaMn＝ (n∈R)
换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)
[逐点清]
1．(多选)(必修第一册126页练习1题改编)下列各式正确的是(　　)
A．＝loga2　　　 B．lg 2＋lg 5＝1
C．(ln x)2＝2ln x D．lg＝lg x
解析：BD　A选项，由换底公式，可得＝log36＝1＋log32，故A错误；B选项，lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝1，故B正确；C选项，(ln x)2＝ln x×ln x≠2ln x，故C错误；D选项，lg ＝lg x＝lg x，故D正确．故选B、D．
2．(必修第一册126页练习3题改编)(log29)·(log34)＝________．
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4．
答案：4
重点二　对数函数的概念、图象与性质
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域：
值域：R
图象过定点 ，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0；当01时，恒有y<0；当00
在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0[逐点清]
3．(易错题)函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．
答案：1
4．(必修第一册140页习题4题改编)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是________(填序号)．
①a＞1，c＞1；②a＞1,0＜c＜1；
③0＜a＜1，c＞1；④0＜a＜1,0＜c＜1．
解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1．又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1．
答案：④
5．(易错题)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝．所以a＝2或a＝．
答案：2或
重点三　反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．y＝ax与y＝logax的函数图象关于y＝x对称．
[逐点清]
6．(必修第一册135页探究与发现问题2,3改编)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数图象过点(4,2)，则a＝(　　)
A．3　　　　　 　　　　 B．2
C．9 D．4
解析：B　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数图象过点(4,2)，指数函数图象过点(2,4)，可得4＝a2，解得a＝2，故选B．
[记结论]
1．换底公式的推广
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[提速度]
1．(多选)如图是三个对数函数的图象，则(　　)
A．a>1 B．0C．2b<2c<2a D．c解析：ABC　由结论2可知A、B、C正确．
2．log23·log34·log42＝________．
解析：由结论1知 log23·log34·log42＝log22＝1．
答案：1
对数的运算
1．(2021·天津高考)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　)
A．－1 B．lg 7
C．1 D．log710
解析：C　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故选 C．
2．计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝______．
解析：原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1＝4．
答案：4
3．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________．
解析：∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log32)＝3log32＋9log32＝2＋9log94＝2＋4＝6．
答案：6
1．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并．
2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
3．ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．　
对数函数的图象及应用
(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0(2)若不等式4x[解析]　(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1．函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1(2)若不等式4x[答案]　(1)A　(2)
1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________．
解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．则有解得0＜a≤，即a的取值范围为．
答案：
2．若本例(2)变为“已知不等式x2－logax<0对x∈恒成立”，则实数a的取值范围为________．
解析：由x2－logax<0得x2当a>1时，显然不成立；
当0要使x2即实数a的取值范围是．
答案：
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．
1．函数f(x)＝loga|x|＋1(0解析：A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A．
2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象如图所示可知a>1．
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用
考向1　比较对数式的大小
　设a＝log0．20．3，b＝log23，c＝log46，则(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
[解析]　因为a＝log0．20．3＜log0．20．2＝1，b＝log23＝log49，又c＝log46，log49＞log46＞log44＝1，所以b＞c＞a，故选D．
[答案]　D
比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
　
考向2　解对数方程或不等式
　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞loga))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,log －a ＞log2 －a ，))解得a＞1或－1＜a＜0．故选C．
[答案]　C
对数不等式的两种类型及求解方法
类型 求解方法
logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
　
考向3　对数函数性质的综合应用
　(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
[解析]　由得函数f(x)的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、C；当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B；当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函数f(x)单调递减，故选D．
[答案]　D
与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．　
1．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg(3x＋1)－1，则不等式f(x)>0的解集为(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－3,3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：D　当x≥0时，由f(x)＝lg(3x＋1)－1>0，得x>3．又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．故选D．
2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上单调递减，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，即解得a<，故实数a
的取值范围是11在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，即无解，综上可知，实数a的取值范围是．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝(　　)
A．2a＋2b　　　　　　　 B．a＋b
C．ab D．a＋b
解析：D　log415＝log215＝(log23＋log25)＝a＋b，故选D．
2．(2022·T8联考)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝(　　)
A．－5 B．－6
C．5 D．6
解析：C　由已知，函数y＝f(x)与函数y＝2x互为反函数，则f(x)＝log2x．由题设，当x＞0时，g(x)＝log2x－x，则g(8)＝log28－8＝3－8＝－5．因为g(x)为奇函数，所以g(－8)＝－g(8)＝5，故选C．
3．已知函数f(x)＝ln＋asin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝(　　)
A．－5 B．－3
C．－1 D．3
解析：C　根据题意，函数f(x)＝ln＋asin x＋2，则f(－x)＝ln＋asin(－x)＋2＝－ln－asin x＋2，则有f(x)＋f(－x)＝4，故f(m)＋f(－m)＝4，若f(m)＝5，则f(－m)＝－1，故选C．
4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v＝2 000ln．如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是(　　)
A．M＝e6m B．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6 D．＝e6－1
解析：D　依题意可知v＝2 000ln＝12 000，可得ln＝6，即1＋＝e6，可得＝e6－1．如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是＝e6－1．故选D．
5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　)
解析：D　由f(x)的图象可知06．(多选)已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是(　　)
A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)
C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|
解析：BD　函数f(x)＝log2x在[4,8]单调递增，f(4)＝log24＝2，f(8)＝log28＝3，所以f(x)值域为[2,3]．
对于选项A：y＝f(x)＋1值域为[3,4]，故选项A不正确；
对于选项B：因为f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，所以4≤x＋1≤8，可得3≤x≤7，f(x＋1)＝log2(x＋1)∈[2,3]，所以y＝f(x＋1)值域为[2,3]，故选项B正确；
对于选项C：y＝－f(x)值域为[－3，－2]，故选项C不正确；
对于选项D：y＝|f(x)|的值域为[2,3]，故选项D正确．故选B、D．
7．(多选)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在(－1,3)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f(x)的值域为R
解析：ACD　函数f(x)的定义域是(－1,3)，f(x)＝ln． 令t(x)＝＝－1(x≠3)，易知t(x)在(－1,3)上单调递增，所以t(x)>t(－1)＝0，所以f(x)＝ln t(x)在(－1,3)上单调递增，且值域为R．故A、D正确．当x∈(－2,2)时，1＋x∈(－1,3)，1－x∈(－1,3)，f(1＋x)＝ln，f(1－x)＝ln，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，f(1＋x)≠f(1－x)．所以y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．故B错误，C正确．故选A、C、D．
8．(2022·石家庄模拟)已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x．
答案：x
9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
解析：由得－2答案：(1,4)
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1解：(1)当x<0时，－x>0，
由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝(a>0，且a≠1)．
(2)∵－1∴loga①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；
②当0解得0综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．
B级——综合应用
11．已知函数f(x)＝|log2x|，当0A．2 B．
C．3 D．4
解析：D　如图所示，根据函数f(x)＝|log2x|的图象，得012．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么(　　)
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D． a＝2 020，满足f(x)在(0,1)上是减函数
解析：ACD　由题意，函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，即f(x)＝loga(1－x)在(0,1)上是减函数，因为y＝1－x是减函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得a>1，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝loga|x－1|＝loga(x－1)，因为y＝x－1是增函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，所以A正确，B错误；又由f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确；由a>1可知，当a＝2 020时，函数f(x)在(0,1)上是减函数，所以D正确．故选A、C、D．
13．(2022·泰安一模)已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)．写出一个满足上述条件的函数f(x)＝________．
解析：f(x)＝ln|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|＝f(x)，因此f(x)＝ln|x|符合题意．
答案：ln|x|(答案不唯一)
14．(2022·本溪高三模拟)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a<．
又a>0且a≠1，∴0∴实数a的取值范围为(0,1)∪．
(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．∵f(x)在区间[1,2]上单调递减，∴y＝logat在区间[1,2]上单调递增，∴a>1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．
C级——迁移创新
15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a解析：由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴－lg a＝lg b．即ab＝1,0答案：(0,1)
16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b] D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数
f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．
解：∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，
当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；
当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，
∴方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，∴ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0，
令u＝ax，u＞0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2＞0，且t2＞0，解得t∈∪．

展开更多......

收起↑