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第七节　函数的图象
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数；(2)会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题．　
重点一　利用描点法作函数图象
[逐点清]
1．(易错题)(必修第一册73页习题7题改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
解析：C　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
重点二　函数图象的变换
[逐点清]
2．(必修第一册159页复习参考题1题改编)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1　　　　　　 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析：D　依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到．∴y＝exy＝e－xy＝e－(x＋1)＝e－x－1，∴f(x)＝e－x－1．
3．(易错题)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－|f(x)|
解析：B　观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|)．
[记结论]
1．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
2．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
[提速度]
1．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：B　法一：y＝ln x图象上的点P(1,0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B．
法二：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝ln x的图象上，∴y＝ln(2－x)．故选B．
2．已知y＝f(x)，x∈R，有下列4个命题：
①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的命题为________．(填序号)
解析：由结论1知①正确，由结论2知②正确，对于③，∵f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，③正确．对于④，∵f(x)为奇函数，可得f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，④正确．
答案：①②③④
作函数的图象
作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|．
[解]　(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数；
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．　
作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|x2－4x＋3|．
解：(1)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．
(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．
函数图象的辨识
　(2021·天津高考)函数y＝的图象大致为(　　)
[解析]　易得y＝为偶函数，故可排除A、C，当x＝2时，y＝＞0，故可排除D选项．故选B．
[答案]　B
函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．　
1．(2022·成都诊断)函数f(x)＝xcos的图象大致为(　　)
解析：A　根据题意，f(x)＝xcos＝xsin x，定义域为R，关于原点对称．有f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，即函数y＝f(x)为偶函数，排除B、D．当x∈(0，π)时，x>0，sin x>0，有f(x)>0，排除C．只有A适合．
2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)
解析：D　法一：先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D．
法二：由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C．故选D．
函数图象的应用
考向1　研究函数的性质
　(多选)关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象过原点
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减
D．f(x)是定义域上的增函数
[解析]　f(x)＝＝＝1＋，将f(x)＝的图象向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位即可得到f(x)＝，图象如图：
观察图象可得A、C正确，故选A、C．
[答案]　AC
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．　
考向2　解不等式(方程)
　(2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析]　函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象(图略)，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．
[答案]　D
1．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
2．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．　
考向3　求参数的取值范围
　已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
[解析]　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线
g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为．
[答案]　
利用函数图象求参数问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数问题．　
1．(多选)已知函数f(x)＝|lg x|，则(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)值域为[0，＋∞)
C．f(x)在(0，＋∞)上递增 D．f(x)有一个零点
解析：BD　画出f(x)＝|lg x|的函数图象如图，由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0，＋∞)，故B正确；
f(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确．故选B、D．
2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01．
答案：(1，＋∞)
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2020·天津高考)函数y＝的图象大致为(　　)
解析：A　法一：令f(x)＝，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C、D，由f(1)>0，排除B，故选A．
法二：令f(x)＝，由f(1)>0，f(－1)<0，故选A．
2．已知指数函数f(x)＝ax，将函数f(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则a的值是(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：D　由题意可得g(x)＝3ax，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数f(x)＝3ax－2，又因为f(x)＝ax，所以，ax＝3ax－2，整理可得a2＝3，因为a>0且a≠1，解得a＝．故选D．
3．如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的(　　)
解析：C　观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项C符合要求，故选C．
4．函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,1]
C．(0,1) D．[－1,0)
解析：C　因为函数y＝|x|－m有两个零点，所以y＝|x|与y＝m的图象有两个交点，又因为y＝|x|是偶函数，当x＞0时，y＝x，函数图象如图所示，当0＜m＜1时，两函数有两个交点．故选C．
5．已知函数f(x)＝|2x－1|，当af(c)>f(b)，则必有(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．2－a<2c D．1<2a＋2c<2
解析：D　作出函数的图象，∵af(c)>f(b)，则必有a<0,0|2c－1|，∴1－2a>2c－1，得2a＋2c<2，且2a＋2c>1，即1<2a＋2c<2．故选D．
6．(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
解析：AC　f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．
7．(2022·襄阳模拟)若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________．
解析：f(x)＝＝a＋，关于点(1，a)对称，故a＝1．
答案：1
8．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________．
解析：在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．
答案：{－1}∪(0，＋∞)
9．已知函数f(x)＝试讨论方程f(x)－a＝0的根的个数？
解：作出函数f(x)的图象如图，
方程f(x)－a＝0的根的个数，即为函数y＝f(x)与y＝a的交点个数，由图知，
当a>4时，方程无实数根；当a＝4或a≤0时方程有1个实数根；
当1B级——综合应用
10．已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B．[0,1]
C．[－1,0] D．(－1,0)
解析：C　作出y＝|f(x)|，y＝ax在[－1,1]上的图象如图所示，因为|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]上恒成立，所以y＝|f(x)|的图象在y＝ax的图象的上方(可以部分点重合)，且|f(－1)|＝|1－2|＝1，令3x－2＝0，得x＝，所以A(－1,1)，B，根据图象可知：当y＝ax经过点A(－1,1)时，a有最小值，amin＝－1，当y＝ax经过点B时，a有最大值，amax＝0，综上可知a的取值范围是[－1,0]，故选C．
11．(多选)f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示，令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是(　　)
A．若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称
B．若a＝－1，－2C．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有两个实根
D．若a≥1，－2解析：BD　当a<0时，f(x)关于原点对称，根据图象平移知g(x)＝af(x)＋b关于点(0，b)对称，A错误；
a＝－1时，方程g(x)＝0 f(x)＝b，－2a≠0，b＝2时，g(x)＝0 f(x)＝－，若使方程g(x)＝0有两个根，由图知，必有－＝±2 a＝±1，其他的非零a值均不满足，故C错误；
a≥1，－212．(2022·北京质检)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1答案：(2,2 021)
13．已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2解析：由图象可知不等式－2答案：1
14．如图，函数y＝f(x)的图象由曲线段OA和直线段AB构成．
(1)写出函数y＝f(x)的一个解析式；
(2)提出一个能满足函数y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．
解：(1)当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，设曲线段OA的解析式为C：f(x)＝2x＋k，由O(0,0)，A(2,3)在曲线段OA上，可知f(x)＝2x－1，
当2得解得
此时f(x)＝－x＋5，所以f(x)＝
(2)答案不唯一，合理即可．
离上课时间还有5分钟时，小明用了2分钟急速跑(先慢后快)到距离教室3百米的操场找小华来上课，然后两个人用了3分钟时间匀速走到教室．
C级——迁移创新
15．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)＝则f(x)的“姊妹点对”有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：C　根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)交点个数即可．如图所示，当x＝1时，0<<1，观察图象可得，它们有2个交点．故选C．
16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,logx，x>1，))g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围是________．
解析：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，
即f(x)max≤g(x)min．
如图，作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,logx，x>1))的图象，观察图象可知，当x＝时，f(x)max＝．
因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，
所以g(x)min＝|k－2|，
所以|k－2|≥，
解得k≤或k≥．
故实数k的取值范围是∪．
答案：∪

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