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第八节　函数与方程
(1)结合学过的函数图象，会判断函数零点所在区间及零点个数，从而了解函数的零点与方程解的联系；(2)结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．　
重点一　函数的零点
1．零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)的图象与 函数y＝f(x)有 ．
[注意]　函数的零点不是函数y＝f x 图象与x轴的交点，而是y＝f x 图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
[逐点清]
1．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．2和0
C．0 D．－2和0
解析：B　由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2．故选B．
重点二　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
[注意]　函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
[逐点清]
2．(必修第一册155页习题2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
f(x) －4 －2 1 4 7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
解析：B　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3 这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函数在(2,3)内必有零点．故选B．
3． (必修第一册143页例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0　　 B．1
C．2　　 D．3
解析：B　f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
重点三　二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[逐点清]
4．(必修第一册146页练习2题改编)用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0．001，则结果计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0．1 B．|a－b|<0．001
C．|a－b|>0．001 D．|a－b|＝0．001
解析：B　精确度为0．001，应满足的条件为|a－b|<0．001，故选B．
[记结论]
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点；
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
2．f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
[提速度]
(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有(　　)
A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0
解析：ABD　取f(x)＝x2－1，区间取为[－2,2]，满足f(－2)f(2)>0，但是f(x)在[－2,2]内存在两个零点－1,1，A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为，满足ff＝×＝－<0，但是f(x)在内存在三个零点π，2π，3π，B错误；根据零点存在定理可知，D错误．故选A、B、D．
函数零点区间的判定
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1,2)　　　　　　　　　 B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
解析：B　函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．(2022·西安调研)函数f(x)＝log8x－的一个零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：B　∵f(1)＝－<0，f(2)＝log82－＝>0，∴f(1)f(2)<0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点在(1,2)内．
3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2．
答案：2
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断．　
函数零点个数的判定
　(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．18
[解析]　(1)法一：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
(2)由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，故原函数有10个零点．
[答案]　(1)B　(2)B
函数零点个数的判定方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；
(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　
1．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：C　由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e．因此函数f(x)共有2个零点．
2．(2022·泉州模拟)函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
解析：在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sin x的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点．
答案：6
函数零点的应用
考向1　根据函数零点个数求参数(范围)
　已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点， 则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
[解析]　画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0．综上，0[答案]　A
考向2　根据函数零点的范围求参数范围
(2022·苏州质检)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________．
[解析]　令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－，即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1,2)的图象有交点，又φ(x)＝2x－在(1,2)上单调递增，且φ(1)＝0，φ(2)＝3．∴0[答案]　(0,3)
考向3　探究函数多个零点(方程根)问题
　(1)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)＝f(4－x)，②f(x＋2)＝f(x)，③在[0,1]上表达式为f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log3|x|的零点个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为________．
[解析]　(1)由f(x)＝f(4－x)可得函数f(x)关于直线x＝2对称，由f(x＋2)＝f(x)可知函数f(x)是周期为2的函数，结合函数在[0,1]上的解析式和性质可绘制函数的图象，函数g(x)的零点满足f(x)＝log3|x|，在同一个坐标系中绘制函数y＝log3|x|的图象，观察可得，函数g(x)＝f(x)－log3|x|的零点个数为4．
(2)将函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sin πx图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的部分图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x＝对称，由图可知，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×＝12．
[答案]　(1)A　(2)12
函数零点应用问题的求解策略
(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；
(2)列式：根据函数零点存在定理或结合函数图象列式；
(3)结论：①求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围；②求出函数的多个零点．　
1．(2022·雅礼中学检测)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C．∪(1，＋∞) D．R
解析：C　作出函数f(x)的图象如图，因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，得2a>2或<2a≤1．解得a>1或2．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．
解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得答案：
直观想象——解嵌套函数的零点问题
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
　函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[解析]　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1．当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
[答案]　[－1，＋∞)
[点评]　(1)求解本题的关键是抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数；
(2)解含参数的嵌套函数方程问题，还应注意让参数的取值“动起来”，解题时要抓临界位置，动静结合．抓住两点：①转化换元；②充分利用函数的图象．
　已知函数f(x)＝ 其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．3
解析：A　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当01时，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或，当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，综上，g(x)共有四个零点．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2,0
C． D．0
解析：D　∵函数f(x)＝当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0．当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)，综上函数的零点为0．故选D．
2．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0．01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：C　开区间(0,1)的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n(n∈N*)次操作后，区间长度变为．令<0．01，解得n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7．
3．(2022·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：C　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2．
4．(2022·西安模拟)函数y＝x3和y＝x－2存在公共点P(x0，y0)，则x0的范围为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：B　由题意知，f(x)＝x3－x－2＝0有解，f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，有f(1)·f(2)<0，则解的范围为(1,2)，故选B．
5．(2022·汕头质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
解析：D　由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是．所以实数a的取值范围是．
6．(多选)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)＝x－log2x，0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　)
A．d＜a B．d＞b
C．d＞c D．d＜c
解析：ABD　由y＝x在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝x－log2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d．综合①②可得d＞c不可能成立．
7．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
解析：BCD　对于A：2x0＋x0＝x0无解，所以A不满足；对于B：x－x0－3＝x0，解得：x0＝3或x0＝－1，所以B满足题意；对于C：x0＋1＝x0，解得：x0＝>0，所以C满足题意；对于D：|log2x0|－1＝x0，在同一直角坐标系下画出函数f(x)以及y＝x的图象，可确定两个函数的图象有交点，即方程有解，所以D满足题意；故选B、C、D．
8．(2022·郑州模拟)函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数是________．
解析：由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]上的零点个数为3．
答案：3
9．若函数f(x)＝x＋x－a在[1,2]内有零点，则a的取值范围为______．
解析：因为y＝x，y＝x在[1,2]上均单调递减，所以f(x)在[1,2]上单调递减，函数f(x)在[1,2]内有零点，则即解得≤a≤．
答案：
10．(2022·宁波质检)设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)因为f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由0(3)由函数f(x)的图象可知，当0B级——综合应用
11．(2022·西安高三模拟)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，方程g(f(x))＝0解的个数不可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：D　因为x∈[－a，a]时，g(x)＝0有唯一解，不妨设唯一解为k，由g(x)图象可知k∈(0，a)，则由g(f(x))＝0可得f(x)＝k，因为k∈(0，a)，由f(x)图象可知，f(x)＝k可能有1根，2根，3个根，不可能有4个根，故选D．
12．(多选)已知函数f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1解析：BCD　由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示，
由图可知，x1＋x2＝－2，－213．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b．
(1)求证：a>0且－3<<－；
(2)求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，
∴c＝－a－b．∵3a>2c＝－3a－2b，
∴3a>－b．∵2c>2b，∴－3a>4b．
若a>0，则－3<<－；
若a＝0，则0>－b,0>b，不成立；
若a<0，则<－3，>－，不成立．
(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－，
当c>0时，f(0)>0，f(1)<0，
∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点；
当c＝0时，f(0)＝0，f(1)<0，f(2)＝4a＋2b＝a>0，
∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点；
当c<0时，f(0)<0，f(1)<0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c>0，
∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
C级——迁移创新
14．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax＋1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：B　∵f(x)＝ex－1＋x－2，∴f(x)在R上单调递增，又f(1)＝e0＋1－2＝0，∴f(x)有唯一零点为1，令g(x)的零点为x0，依题意知|x0－1|<1，即015．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2．
(2)令f(x)＝t，则有t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1≤1，而原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图所示，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是．
[真题展示]
　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A．c＜b＜a　　　　　　 B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．aC．b(3)(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0．20．3，b＝log20．3，则(　　)
A．a＋bC．a＋b<0[解析]　(1)∵a＝log52log93＝，故b>c>a．故选C．
(2)∵log53·log58<2＝2<2＝1，且log58>0，∴log53<＝log85．∴log53(3)∵a＝log0．20．3>log0．21＝0，b＝log20．3∴ab<0．∵＝＋＝log0．30．2＋log0．32＝log0．30．4，∴1＝log0．30．3>log0．30．4>log0．31＝0，∴0<<1，∴ab[答案]　(1)C　(2)A　(3)B
[试题分析]　上述三题均为对数比较大小类问题，有的试题还涉及到幂与对数的大小比较．该类问题的设置主要考查数学运算，逻辑推理核心素养及必备的理性思维及数学探究能力．求解此类问题的一般思路为：(1)同底但不同真数，可通过构造函数，利用单调性比较；(2)同真数但不同底，可通过作函数图象或换底公式转化解决；(3)真数不同底数也不同的，可将其转化为(1)(2)两种情况或借助中间量(如“1”“0”)等比较．此类试题简捷朴实，但蕴含着丰富的数学思想方法，对学生的理性思维素养要求较高，有很高的拓广探究价值．
[考题溯源与解法探究]
该类试题源于教科书必修第一册第141页习题13题第二问，比较下列三个值的大小：log23，log34，log45．
解法一(比较法)：
(1)比差法：log23－log34＝，∵ln 2ln 4<＝(ln )2<(ln 3)2，∴log23－log34>0．
log34－log45＝，∵ln 3ln 5<＝(ln )2<(ln 4)2，∴log34－log45>0．综上有：log23>log34>log45．
(2)比商法：＝＝＝>1，
＝＝＝>1，
综上有：log23>log34>log45．
[点评]　比较法是我们比较大小最常用的方法，换底通分后可以使用对数的运算法则，其中比差法中难点是利用均值不等式要对式子进行放缩重构，从而使两项合为一项，达到了比较大小的目的．
解法二(综合法)：
∵当n>1时，lg n·lg(n＋2)<2＝2<2＝lg2(n＋1)，即lg n·lg(n＋2)，即logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)，∴取n＝2和3可得log23>log34>log45．
[点评]　通过把比较三个对数值的大小上升为比较logn(n＋1)和log(n＋1)(n＋2)的大小，再利用基本不等式和放缩法确定大小关系．
解法三(等价转化法)：
不妨先证：log23>log34 证：log827>log916，∵log827>log927>log916，再证：log34>log45 证：log2431 024>log256625，∴log2431 024>log2561 024>log256625．
综上有：log23>log34>log45．
[点评]　通过对数运算性质等价变换提升数据的策略，使两个数据变为接近而又立见分晓的数值，其难度是如何提升数据，即将分子、分母同乘以某个数(扩大相同的倍数)，如log23→log827，log34→log916，这些数据提升的“度”都需要良好的数感、目标意识以及大胆的探索精神．
解法四(中间值法)：
∵log23>log22＝，log34∴log34<，
∵log34>log33 36<45，∴log34>，∴∵log45＝log2综上有：log23>log34>log45．
[点评]　中间值法是我们常见的求解对数大小比较的方法，对于既不同底且不同真数的对数，其中间值的寻找不仅依靠数感、经验、估算以及逻辑推理，还需要不断的尝试，可能比较难以发现．
解法五(性质分析法)：
∵随着x的增长，函数f(x)＝ln x增长的速度越来越慢，
故有ln 3－ln 2>ln 4－ln 3>ln 5－ln 4>0，又ln 3>ln 2，>>0，
有：> > log23>log34；
同理可得：>>0，> > log34>log45．
综上有：log23>log34>log45．
[点评]　本解法是从对数函数增长速度入手，再用数学语言精确刻画，符合我们用数学的语言表达世界，得到具体不等式，再通过合理构造，结合不等式性质，逆用换底公式，从而凑得题中三个对数的大小关系．
解法六(利用经典不等式法)：
∵>(b>a>0，m>0)(糖水不等式)，
∴log23＝>＝>＝log34，
log34＝>＝>＝log45，
综上有：log23>log34>log45．
[点评]　本法引用了教科书必修第一册第43页习题10题的结论，即糖水不等式>(b>a>0，m>0)，通过换底公式变形，目的是找到相近、相似的式子结构，求同存异，而比例式我们容易想到的就是糖水不等式，看待数学问题不能孤立去看待，要以整个学科高度理念去看待，通过糖水不等式，合理放缩就达到了需要的结果．
[教材拓广与应用]
纵观以上解法，此题可谓“低起点，思路广，深入难”，充分地考察了对数运算性质，对数函数性质，不等式性质等，解题策略多元，根据课程标准要求，应理解掌握对数的运算性质，探索对数函数的单调性并熟练应用．
拓广：已知函数f(x)＝logx(x＋n)，若n≥1时，证明：f(x)在(1，＋∞)或(0,1)上为单调递减函数．
证明：由题得，f(x)＝，f′(x)＝＝，
当x∈(1，＋∞)时，令g(x)＝xln x(x>1)，g′(x)＝1＋ln x>1，∴x∈(1，＋∞)，g(x)＝xln x单调递增，
故当x∈(1，＋∞)时，g(x＋n)>g(x)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
当x∈(0,1)时，xln x<0，(x＋n)ln(x＋n)>0，f′(x)＝<0，
∴当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减．
[高考还可这样考]
1．若a>b>c>1且acA．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logac
C．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac
解析：B　法一(特殊值法)：取a＝8，b＝4，c＝，则logab＝log84＝＝，logbc＝log4＝，logca＝log8＝6，故A、C不正确；logcb＝log4＝4，logba＝log48＝，logac＝log8＝，故B正确，D不正确，故选B．
法二(中间值法)：由于a>b>c>1，所以logablogcc＝1，从而A、C不正确；∵a>b>1，∴logba>logbb＝1，又∵a>c>1，∴logac1>logac．logcb－logba＝－＝．由已知得b2>ac>1，∴lg b2>lg a＋lg c，∴2lg b>lg a＋lg c，∴(lg b)2－lg a·lg c>2－lg a·lg c＝>0，即>0，∴logcb>logba，从而B正确，D不正确．
2．已知a＝log3a,3b＝logb，c＝logc，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．b解析：C　在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝x，y＝log3x，y＝3x，y＝logx的大致图象，如图所示．
因为a＝log3a,3b＝logb，c＝logc，所以a是y＝x与y＝log3x图象交点的横坐标；b是y＝3x与y＝logx图象交点的横坐标；c是y＝x与y＝logx图象交点的横坐标．由图象可得b3．(多选)已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，则(　　)
A．6z<3x<4y B．＋＝
C．x＋y>4z D．xy<4z2
解析：AC　由题意，可令3x＝4y＝12z＝m(m>1)，由指数对数互化得log3m＝x，log4m＝y，log12m＝z，由换底公式得：＝logm3，＝logm4，＝logm12，则有＋＝，故选项B错误；因为－＝logm12－logm9＝logm>0，所以x>2z，又－＝logm81－logm64＝logm>0，所以4y>3x，所以4y>3x>6z，故选项A正确；
因为＋＝，所以z＝，xy＝z(x＋y)，所以4z2－xy＝＝－<0，所以xy>4z2，则z(x＋y)>4z2，即x＋y>4z，所以选项C正确，选项D错误．故选A、C．

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