资源简介

函数的概念、性质与基本初等函数
函数模型及函数的综合应用
（一）核心知识整合
考点1：函数模型
1.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
“对勾”函数模型
2.三种增长型函数模型的性质比较
函数性质
在上的增减性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图像的变化 随x值的增大图像与y轴接近于平行 随x值的增大图像与x轴接近于平行 随值变化而不同
联系 存在一个，当时，有
3.“对勾”函数的性质
函数.
（1）该函数在和上单调递增，在和上单调递减.
（2）当时，时取得最小值；当时，时取最大值-.
[典型例题]
1.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是( )
A. B.
C.（，，且） D.（，，）
[答案]：C
[解析]　 由散点图的连线是曲线可知，B选项不符合题意；对于A选项，因为A中的函数是二次函数，其图象对称轴为y轴，与题中图象不符，故排除A；对于D选项，D中的函数图象过定点，且必穿过x轴，D选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象，故选C.
[变式训练]
1.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元（）时，奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：，，）( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] A选项中，当时，，超过2万元，不符；
B选项中，在上是增函数，时，，结合图象知，在上恒成立，故B符合；
C选项中，当时，，超过2万元，不符；
D选项中，当时，，
设，
则.
因此，超过2万元，不符.故选B.
考点2：函数的综合应用
1.解函数应用题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：
[典型例题]
1.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但若两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，分别表示两个原子负电荷中心相对各自原子核的位移，且和都远小于R，当远小于1时，，则U的近似值为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 本题考查新背景题的近似计算问题.根据题意，
，
因为和都远小于R，当远小于1时，，
所以
.故选B.
[变式训练]
1. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量(单位:毫克/升)与过滤时间(单位:时)之间的函数关系为(为正常数,为原污染物数量).该工厂某次过滤废气时,若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那么要按规定排放废气,至少还需要过滤( )
A.小时 B.小时 C.5小时 D.小时
[答案]：C
[解析] 前5个小时过滤掉了90%的污染物,又,,即,则由,得,得,即总共需要过滤10小时污染物的残留含量才不超过1%,还需过滤5小时,故选C.

展开更多......

收起↑