资源简介

祖暅原理与几何体的体积
【学习目标】
1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式．(重点)
2．能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点)
3．台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点)
【学习过程】
一、初试身手
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为 ( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
B [长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．]
2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( )
A．15π B．30
C．12π D．36π
C [圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.]
3．若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3．
288π [由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)．]
二、合作探究
1．求柱体的体积
【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解] V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
2．求锥体的体积
【例2】如图三棱台ABC A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1 ABC，三棱锥B A1B1C，三棱锥C A1B1C1的体积之比．
[思路探究] ―→S△ABC＝S，则S＝4S.
―→―→
[解] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S＝4S.
∴V＝S△ABC·h＝Sh，
V＝S·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴V＝V台－V－V
＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4．
3．求台体的体积
【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2．求正四棱台的体积．
[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．
[解] 如图所示，正四棱台ABCD A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1．O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，
OE＝AB＝10，
∴O1O＝＝12，
V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)
＝2 800 (cm3)．
故正四棱台的体积为2 800 cm3．
4．求球的体积
【例4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．
[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．
[解] 如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.
∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，
∴O′为正三角形ABC的中心，
∴AO′＝AB＝ (cm)．
设OA＝R，则OO′＝R，
∵OO′⊥截面ABC，
∴OO′⊥AO′，
∴AO′＝R＝ (cm)，∴R＝2(cm)，
∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．
即球的体积为π cm3，表面积为16π cm2．
5．组合体的表面积和体积
【例5】已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )
A．24－ B．24－ C．24－π D．24－
[思路探究] 解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．
A [该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3××π×12＝24－.]
【学习小结】
1．祖暅原理
（1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．
（2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．
名称 体积(V)
柱体 棱柱 Sh
圆柱 πr2h
锥体 棱锥 Sh
圆锥 πr2h
台体 棱台 h(S＋＋S′)
圆台 πh(r2＋rr′＋r′2)
球 πR3
【精炼反馈】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等． ( )
（2）锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( )
（3）由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． ( )
[答案] （1）× （2）√ （3）√
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
B [设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2．
又∵S侧＝4π，∴a＝2．
∴V圆柱＝π×2＝2π.]
3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
[由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.]
4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．
[解] 如图所示，正三棱锥S ABC．
设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC．
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝.
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9．
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