资源简介

平面的基本事实与推论
【学习目标】
1．通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养。
【学习重难点】
1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法。
2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题。
【学习过程】
一、初试身手
1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
3．根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________。
二、合作探究
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
（1）A∈α，B α；
（2）l α，m α，m∩α＝A，A l；
（3）P∈l，P α，Q∈l，Q∈α。
点、线共面问题
【例2】 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内。
[思路探究] 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况。
【学习小结】
平面的基本事实及推论
公理 内容 图形 符号
基本 事实1 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l
推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)。
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)。
【精炼反馈】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）三点可以确定一个平面。 ( )
（2）一条直线和一个点可以确定一个平面。 ( )
（3）四边形是平面图形。 ( )
（4）两条相交直线可以确定一个平面。 ( )
2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________。
3．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行。
求证：a，b，c三条直线必过同一点。
答案：
【学习过程】
一、初试身手
1．A [MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN。]
2．D [不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确。]
3．[答案] ∈ AC
二、合作探究
【例1】[解] （1）点A在平面α内，点B不在平面α内。
（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上。
（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
图形分别如图（1），（2），（3）所示。
图（1） 图（2） 图（3）
【例2】
[解] 已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面。
证明：（1）若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O d，
∴经过d与点O有且只有一个平面α。
∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，
∴A、B、C三点在平面α内。
由公理1知a、b、c都在平面α内，
故a、b、c、d共面。
（2）若a、b、c、d无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，
∴经过a、b有且仅有一个平面α，
∴B、C∈α。由公理1知c α。
同理，d α，从而有a、b、c、d共面。
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内。
【精炼反馈】
1．[答案] （1）× （2）× （3）× （4）√
[提示] （1）错误。不共线的三点可以确定一个平面。
（2）错误。一条直线和直线外一个点可以确定一个平面。
（3）错误。四边形不一定是平面图形。
（4）正确。两条相交直线可以确定一个平面。
2．C [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]
3．[证明] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ。
由于直线a和b不平行，
∴a、b必相交。
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈B．
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α。
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P。
∴a，b，c三条直线相交于同一点。
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