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直线与平面平行
【学习目标】
借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养。
【学习重难点】
1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题。
2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题。
【学习过程】
一、初试身手
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于（ ）
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是（ ）
A．a α，b α，a∥b
B．b α，a∥b
C．b α，c α，a∥b，a∥c
D．b α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
3．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________。
二、合作探究
1．直线与平面的位置关系
【例】 下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b α，则a∥α；③若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线。
其中说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．直线与平面平行的判定与性质
[探究问题]
（1）如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD（不落在α内）是否都和平面α平行？
[提示] 平行。
（2）若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
[提示] 不是。
（3）若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
[提示] 若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个。这些平面与α的交线与直线a之间相互平行。
【例】 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形。
[思路探究] 应用线面平行的性质定理。
【母题探究】
1．若本例条件不变，求证：＝。
2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积。
【学习小结】
1．直线与平面的平行
位置 关系 直线a在 平面α内 直线a与平 面α相交 直线a与平 面α平行
公共点 有无数个 公共点 有且只有一 个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
2．直线与平面平行的判定及性质
定理 条件 结论 图形语言 符号语言
判 定 不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 这条直线和这个平面平行 ________l l∥α
性质 一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交 这条直线和这两个平面的交线平行 l∥m
【精炼反馈】
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行。 （ ）
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （ ）
（3）直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α。 （ ）
（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行。 （ ）
2．如图所示，在三棱锥S MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________。
4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行。
答案：
【学习过程】
一、初试身手
1．B [因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补。
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°。]
2．A [由直线与平面平行的判定定理知选A．]
3．相交 [直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF 平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交。]
二、合作探究
1．【例】B [对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误。
对于②，∵直线a∥b，b α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误。
对于③，∵a∥b，b α，∴a α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确。]
2．【例】[解] 因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，
知AB∥MN。
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ。同理可得MQ∥NP。
所以截面MNPQ是平行四边形。
【母题探究】
1．[解] 由例题解知：PQ∥AB，
∴＝。
又QM∥DC，∴＝，
∴＝。
2．[解] 由例题解知，四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，
∴四边形MNPQ是矩形。
又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.
【精炼反馈】
1．[答案] （1）× （2）× （3）× （4）×
[提示] （1）错误。若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行。
（2）错误。当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（2）错。
（3）错误。直线l也可能与平面α相交。
（4）错误。在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（4）错。
2．A [∵E、F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN。同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG。]
3．135° [由等角定理可知β＝135°。]
4．[解] 已知：a∥b，a α，b β，α∩β＝l。求证：a∥b∥l。
证明：如图所示，∵a∥b，b β，∴a∥β，
又a α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，
∴a∥b∥l。
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