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[真题展示]
(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解]　(1)由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a．
结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6．
在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝，所以sin C＝＝，
所以S△ABC＝absin C＝×4×5×＝．
(2)设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角．
所以cos C＝＜0 a2＋b2＜c2 a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2 (a＋1)(a－3)＜0，
因为a为正整数，所以a＝1,2．
当a＝1时，b＝2，c＝3，不能构成三角形，舍去．
当a＝2时，b＝3，c＝4，满足条件．
综上，当a＝2时，△ABC为钝角三角形．
　(2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝．
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
[解]　(1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0．
所以2＝0，cos A＝．由于0(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．
由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin
＝sin ．
即sin B－cos B＝，sin＝．
由于0[试题分析]　两个题目主要涉及应用正、余弦定理解三角形，题目求解的关键在于边角互化及两个定理的运用，边角互化就是解三角形的金钥匙，(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正、余弦定理是转化的桥梁．
[考题溯源与解法探究]
(必修第二册第54页习题22题)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c．
本题不仅是教科书的练习题，也是2012年新课标的高考真题，高考题来源于教材．应用边角互化时无论使用哪种互化，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种情形的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
[高考还可这样考]
　在①cos C(acos B＋bcos A)＝csin C；②asin ＝csin A；③(sin B－sin A)2＝sin2C－sin Bsin A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当________时，求sin A·sin B的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：若选①，由正弦定理，得cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin Csin C，
即cos Csin(A＋B)＝sin Csin C，
∵sin C≠0，∴tan C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝．∴A＋B＝，
∴sin A·sin B＝sin A·sin
＝sin A·
＝sin A·cos A＋sin2A
＝sin 2A＋(1－cos 2A)
＝sin＋，
∵A∈，∴2A－∈，
∴当A＝时，sin A·sin B取得最大值为．
若选②，由正弦定理，得sin Asin ＝sin Csin A，
∵sin A≠0，∴cos ＝sin C＝2sin cos ，
∵cos ≠0，∴sin ＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝．
下同选①．
若选③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，
即a2＋b2－c2＝ba，∴cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝．
下同选①．

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