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第二节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
(1)理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x；(2)借助单位圆及三角函数的定义推导出诱导公式．　
重点一　同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
2．商数关系：tan α＝．
[逐点清]
1．(必修第一册184页练习1题改编)若sin α＝，<α<π，则tan α＝(　　)
A．－2 B．2
C． D．－
解析：D　∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－．
2．(必修第一册186页习题15题改编)已知tan α＝2，则＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：A　原式＝＝＝．
重点二　诱导公式
一 二 三 四 五 六
2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
sin α －sin α －sin α _ _ _
cos α －cos α cos α _ _ _
tan α tan α －tan α _
[注意]　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α k∈Z ”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
[逐点清]
3．(易错题)已知sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：D　sin＝cos＝cos＝．故选D．
[记结论]
同角三角函数的基本关系式的常见变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(2)sin α＝tan αcos α．
[提速度]
1．若＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝(　　)
A．0 B．2
C．4 D．0或4
解析：C　∵＝2，∴sin2θ＋4＝2cos θ＋2，∴sin2θ＋2＝2cos θ，由结论(1)可知，1－cos2θ＋2＝2cos θ，即(cos θ－1)(cos θ＋3)＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)，故有cos θ＝1，sin θ＝0．∴(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4×1＝4，故选C．
2．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
解析：·sin(α－π)·cos(2π－α)＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α．
答案：－sin2α
同角三角函数基本关系式的应用
考向1　知一求二问题
　(2022·北京模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
[解析]　因为cos α＝－且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－．故选D．
[答案]　D
考向2　弦切互化
(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　法一(通解)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以或所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ ＝－＝．故选C．
法二(优解)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝．故选C．
[答案]　C
考向3　sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系
　若sin θ－cos θ＝，且θ∈，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[解析]　由sin θ－cos θ＝，得1－2sin θcos θ＝，即2sin θcos θ＝－，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，又θ∈，∴sin θ＋cos θ<0，∴sin θ＋cos θ＝－，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－，故选A．
[答案]　A
1．利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的关系可实现和积转化．
2．注意方程思想与转化思想的应用．　
1．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：A　点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，故tan α＝－2，sin＝cos 2α＝＝＝－，故选A．
2．(2022·天津模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋＝________．
解析：由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝，∴tan α＋＝＋＝＝＝2．
答案：2
诱导公式的应用
　(2021·北京高考)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________．
[解析]　∵P(cos θ，sin θ)与Q，sin关于y轴对称，即θ，θ＋关于y轴对称，∴θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为．
[答案]　
1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名；
(2)用诱导公式，统一角；
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
3．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α．　
1．(2022·合肥模拟)已知＋β＝，cos α＝，则sin 2β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：C　因为2β＝2－α，＋β＝，所以sin 2β＝sin＝sin＝cos α＝．故选C．
2．(2022·广东联考)已知cos＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：B　cos＝cos＝－cos＝－．故选B．
诱导公式与同角关系式的综合应用
　(1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知－π(1)[解析]　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0，解得tan θ＝或tan θ＝－．又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ＝＝＝＝．
[答案]　D
(2)[解]　由已知，得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－．
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－．
＝
＝＝＝－．
利用诱导公式与同角三角函数关系解题的策略
基本思路 (1)分析结构特点，选择恰当的公式；(2)利用公式化成单角三角函数；(3)整理得最简形式
化简要求 (1)化简过程是恒等变换；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
1．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，则的值为________．
解析：∵sin(α＋π)＝，∴sin α＝－．又∵sin αcos α<0，∴cos α>0，cos α＝＝，∴tan α＝－．原式＝＝＝－．
答案：－
2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝________．
解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．已知α是第二象限角，角β的终边经过点，则β为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：D　∵cos(π＋α)＝－cos α，sin＝cos α，又α为第二象限角，∴cos α<0，－cos α>0，∴点位于第四象限，∵角β的终边经过点，∴β为第四象限角．故选D．
2．(2022·济南模拟)若角α的终边在第三象限，则＋＝(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：B　由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3，故选B．
3．(2022·曲靖模拟)已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：A　∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－，∵|θ|<，∴θ＝－．
4．若tan＝－，则cos 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：A　因为tan＝tan＝tan＝－，所以tan＝＝－，解得tan α＝4，则cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－．故选A．
5．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，cos A＝－cos(π－B)，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：B　由sin＝3sin(π－A)可得cos A＝3sin A，可得tan A＝，又06．(多选)下列化简正确的是(　　)
A．tan(π＋1)＝tan 1 B．＝cos α
C．＝tan α D．＝1
解析：AB　A选项：tan(π＋1)＝tan 1，故正确；
B选项：＝＝＝cos α，故正确；
C选项：＝＝－tan α，故不正确；
D选项：＝＝＝－1，故不正确．故选A、B．
7．(多选)(2022·衡水模拟)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
解析：ABC　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；sin ＝sin＝cos；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C．
8．已知sin＝－，且0解析：由0答案：
9．(2022·青岛模拟)已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为________．
解析：因为cos α－sin α＝－　①，所以1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝．所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝．又0<α<，所以sin α＋cos α>0．所以sin α＋cos α＝　②．由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，所以＝．
答案：
10．(2022·镇海质检)已知α是第三象限角，且f(α)＝．
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α．
∵cos＝－sin α，∴sin α＝－．∵α是第三象限角，∴cos α＝－＝－．∴f(α)＝－cos α＝．
(2)f(α)＝－cos＝－cos＝－．
B级——综合应用
11．(多选)(2022·佛山一中高三模拟)已知0<α<π，且sin α＋cos α＝m，则下列说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，α＝
B．当0C．当m＝1时，sin3α＋cos3α＝1
D．当α＝时，m<0
解析：ABCD　A中，当m＝0时，可得sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1，因为0<α<π，所以α＝，所以正确；
B中，当00，cos α<0，所以α∈，所以正确；
C中，当m＝1时，可得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，可得sin αcos α＝0，因为0<α<π，可得sin α>0，所以sin α＝1，cos α＝0，可得sin3α＋cos3α＝1，所以正确；
D中，当α＝，可得sin ＋cos ＝－<0，即m<0，所以D正确．故选A、B、C、D．
12．(2022·北京一模)已知函数f(x)＝sin 2x．若非零实数a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________．(只需写出一组)
解析：当a＝时，f＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f(x＋a)＝bf(x)对x∈R都成立．
答案：　－1
13．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为________．
解析：因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，所以f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β＝－3．
答案：－3
14．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sin α·－1．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．
解：(1)∵－<α<0，∴sin α<0，∴f(α)＝sin α－sin α·－1
＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α．
(2)法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，即2sin α·cos α＝－．
∴sin α·cos α＝－．
又－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，
∴sin α－cos α＝－．
法二：联立方程解得或
∵－<α<0，∴
∴sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－．
C级——迁移创新
15．(2022·聊城模拟)已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为(　　)
A．2 B．
C．1 D．2
解析：D　因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β，所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时等号成立．
16．(1)求证：＝；
(2)探究＝与sin2α＋cos2α＝1的内在联系，你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
解：(1)证明：法一：因为右边分母为cos α，故可将左边分子分母同乘以cos α．
左边＝＝＝＝＝右边．
法二：因为左边分母是1－sin α，故可将右边分子分母同乘以1－sin α．
右边＝＝＝＝＝左边．
法三：只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．
因为左边＝，右边＝＝＝，所以左边＝右边，原等式成立．
法四：只需证明左边－右边＝0即可．
因为－＝＝＝＝0，
所以＝．
(2)＝即为sin2α＋cos2α＝1的变形形式，但不等价．
因为＝成立时，α≠kπ＋，k∈Z，而sin2α＋cos2α＝1中α∈R，即由sin2α＋cos2α＝1 cos2α＝1－sin2α cos2α＝(1＋sin α)(1－sin α)，当cos α·(1－sin α)≠0时，上式两边同除cos α(1－sin α)可得＝．
还可利用同角三角函数的基本关系推导出以下关系式：
如sin4α＋cos4α＝1－2sin2α·cos2α也是sin2α＋cos2α＝1的一个变形，＝1＋tan2α是sin2α＋cos2α＝1和＝tan α的变形等．

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