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第二课时　简单的三角恒等变换
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．　
重点一　半角公式
sin ＝± ，cos ＝± ，tan ＝± ．上述三个式子称为半角公式(不要求记忆)，符号由所在象限决定．
[逐点清]
1．(易错题)cos 15°＝(　　)
A． 　　　　　　 B．
C．± D．±
解析：A　因为15°是第一象限角，所以cos 15°>0，由半角的余弦公式可知cos 15°＝ ．
2．(易错题)若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．－
解析：A　因为α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ ＝．
重点二　积化和差与和差化积公式
1．积化和差公式
cos α·cos β＝；
sin α·sin β＝－；
sin α·cos β＝；
cos α·sin β＝．
2．和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos ；
sin α－sin β＝2cos sin ；
cos α＋cos β＝2cos cos ；
cos α－cos β＝－2sin sin ．
[逐点清]
3．(易错题)sin 54°－sin 18°＝________．
解析：sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝2×＝＝＝＝．
答案：
4．(易错题)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝________．
解析：cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)＝2××cos 26°＋＋cos 26°＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－．
答案：－
[记结论]
1．半角正切公式的有理化
借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式，可以得到：
tan ＝＝．
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理形式．
2．万能公式
sin α＝；cos α＝；tan α＝．
由上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值，因此以上公式称为万能公式．
[提速度]
1．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
解析：A　∵α是第三象限角，∴是第二、四象限角，∴tan <0．由结论2知cos α＝＝－，∴tan ＝－3，∴＝＝－．
2．tan ＝________．
解析：由结论1知，tan ＝＝＝－1．
答案：－1
三角函数式的化简与证明
考向1　三角函数式的化简
化简：(1)；
(2)．
[解]　(1)原式＝＝＝＝tan 2α．
(2)原式＝
＝
＝＝．
三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．　
考向2　三角函数恒等式的证明
　求证：sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]＝sin β．
[证明]　∵sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]
＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)，
∴sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]
＝sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)－cos α· sin(α＋β)＋sin β
＝cos αsin(α＋β)－sin αcos(α＋β)＋sin β
＝sin(α＋β－α)＋sin β
＝sin β＋sin β
＝sin β．
故原式成立．
证明三角函数恒等式的三种方法
(1)如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定最简单；
(2)如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形；
(3)在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”代换为sin2α＋cos2α或tan 45°等．　
1．化简：sin(60°－α)sin αsin(60°＋α)．
解：原式＝sin α(cos 2α－cos 120°)
＝sin αcos 2α＋sin α
＝(sin 3α－sin α)＋sin α
＝sin 3α．
2．已知sin β＝msin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝tan α．
证明：∵m≠1，α＋β≠kπ＋，α≠kπ＋，k∈Z，sin β＝msin(2α＋β)，
∴sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，
即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝msin(α＋β)cos α＋mcos(α＋β)sin α，
∴(1－m)sin(α＋β)cos α＝(m＋1)cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝tan α．
三角函数式的求值
考向1　给角求值
(1)＝(　　)
A．1　　　 B．　　　　
C．　　　 D．2
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________．
[解析]　(1)原式＝＝＝＝．
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－＝－＝－
＝－＝－＝－．
[答案]　(1)C　(2)－
考向2　给值求值
　(2022·南开模拟)若tan α＋＝，α∈，则sin＋cos2α＝________．
[解析]　∵tan α＋＝，α∈，∴tan α＝3或tan α＝(舍)，则sin＋cos2α＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋·＝sin 2α＋cos 2α＋＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0．
[答案]　0
考向3　给值求角
　已知0<α<<β<π且sin α＝，cos(β－α)＝，则β＝(　　)
A． B． C． D．
[解析]　因为sin α＝，且0<α<<β<π，所以0<β－α<π，因为cos(β－α)＝，所以0<β－α<，所以cos α＝ ＝，sin(β－α)＝＝，所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－，因为<β<π，所以β＝．故选D．
[答案]　D
研究三角函数式的求值问题，解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．　
1．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)
A． B．－
C．或－ D．－或
解析：B　由题意得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0，又α，β∈，故α，β∈
，所以－π<α＋β<0，又tan(α＋β)＝＝＝．所以α＋β＝－．故选B．
2．(2022·临沂模拟)已知cos＝－，则sin＝________．
解析：∵cos＝－，∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝，∴sin＝sin＝cos＝．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．已知cos(π＋θ)＝，若θ是第二象限角，则tan ＝(　　)
A．2 B．
C．－ D．
解析：B　因为cos(π＋θ)＝，所以cos θ＝－，又θ是第二象限角，所以sin θ＝，所以tan ＝＝．故选B．
2．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝(　　)
A．－ B．
C． D．3
解析：B　因为tan 60°＝，所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝，故选B．
3．(2022·南京联考)已知0<α<<β<π，且tan α＝，tan β＝－，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由题意可知，tan(α＋β)＝＝－1，因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以α＋β＝．故选B．
4．函数f(x)＝4cos2x－4cos4x＋sin xcos x的最小值是(　　)
A．－ B．
C． D．
解析：A　f(x)＝4cos2x－4cos4x＋sin xcos x＝4cos2x(1－cos2x)＋sin xcos x＝4sin2xcos2x＋sin xcos x＝sin22x＋sin 2x＝2－，因此，当且仅当sin 2x＝－时，f(x)取最小值－，故选A．
5．(2022·淄博模拟)设a＝sin246°，b＝cos235°－sin235°，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．a解析：D　因为sin 45°tan 60°＝，所以c>；显然，b2＝>2，所以c>，即c>a，所以b6．(多选)已知cos α＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．－
解析：CD　由cos α＝得sin α＝±．＝＝＝＝2(sin α＋cos α)，所以当sin α＝时，原式＝；当sin α＝－时，原式＝－．故选C、D．
7．(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　)
A．cos α＝－ B．sin α－cos α＝
C．β－α＝ D．cos αcos β＝－
解析：BC　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1 cos2α＝ cos α＝，故A错误；
(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；
因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；
由cos(α＋β)＝－ cos αcos β－sin αsin β＝－，又cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选B、C．
8．计算＝________．
解析：＝－＝－＝－＝2．
答案：2
9．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________．
解析：因为α，β均为锐角，所以－<α－β<．又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝．又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝．所以β＝．
答案：
10．化简：－2cos(α＋β)．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝＝．
B级——综合应用
11．(2022·杭州模拟)设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
解析：A　∵2α－β＝，∴β＝2α－，∴＝1，即＝1，∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1，故选A．
12．(2022·安庆期末)“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式tan θ＝＝，第一个括号为 ________，第二个括号为________．
解析：如图所示，设△ABC外接圆半径为1，CM＝sin 2θ，在Rt△AMC中，tan θ＝＝＝，在Rt△CMB中，tan θ＝＝＝．
答案：1＋cos 2θ　1－cos 2θ
13．已知sin 2α＝，则＝________．
解析：＝，由积化和差公式可得，sin(α＋15°)cos(α－15°)＝(sin 2α＋sin 30°)，sin(α－15°)cos(α＋15°)＝[sin 2α＋sin(－30°)]＝(sin 2α－sin 30°)，所以＝＝＝11．
答案：11
14．(2022·昆明一模)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝．
(1)求证：sin α cos β＝5cos α sin β；
(2)若已知0＜α＋β＜，0＜α－β＜，求cos 2α的值．
解：(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，①
3sin αcos β－3cos αsin β＝1，②
②－①得sin αcos β－5cos αsin β＝0，
则sin αcos β＝5cos αsin β．
(2)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，0＜α＋β＜，0＜α－β＜，
∴cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝．
C级——迁移创新
15．(多选)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论一定正确的是(　　)
A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α＋β)＝1
C．sin2＋sin2＝1 D．sin2α＋cos2β＝1
解析：AD　因为tan(α＋β)＝，且tan(α＋β)＝tan α＋tan β，所以1－tan α·tan β＝1，即tan α·tan β＝0，所以α＝k1π(k1∈Z)或β＝m1π(m1∈Z)，sin(α＋β)＝sin(k1π＋m1π)＝0(k1，m1∈Z)，故A正确；cos(α＋β)＝cos(k1π＋m1π)＝±1(k1，m1∈Z)，故B错误；sin2＋sin2＝sin2＋sin2，令k1＝m1＝1，则sin2＋sin2＝2，故C错误；由A知sin(α＋β)＝0，则α＋β＝nπ(n∈Z)，故sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2(nπ－α)＝sin2α＋cos2α＝1(n∈Z)，故D正确．故选A、D．
16．(2022·北京月考)如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当a固定，θ变化时，求的最小值．
解：设QR＝x，则在Rt△BPQ中，BQ＝，在Rt△CSR中，RC＝xtan θ．
由＋x＋xtan θ＝a，
解得x＝，
∴QR＝，
∴S1＝AB·AC＝acos θ·asin θ＝a2sin θcos θ，
S2＝QR2＝
∴＝＝
＝＋sin 2θ＋1，
令t＝sin 2θ，∵0<θ<，∴0<2θ<π，则t＝sin 2θ∈(0,1]，令g(t)＝＝＋t＋1，
∴g′(t)＝－＋<0，∴函数g(t)在(0,1]上递减，
因此当t＝1时，g(t)有最小值，g(t)min＝g(1)＝，
此时sin 2θ＝1，θ＝，∴当θ＝时，取得最小值，最小值为．

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