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第六节　余弦定理和正弦定理
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．　
重点一　正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)＝
[逐点清]
1．(易错题)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝________．
解析：由正弦定理知＝，则sin B＝＝＝．又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°．
答案：45°
重点二　余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C．
余弦定理的常见变形 (1)cos A＝；(2)cos B＝；(3)cos C＝
[逐点清]
2．(必修第二册44页例6改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝．故选C．
3．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
解析：D　由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．
重点三　三角形的面积公式
1．S△ABC＝aha(ha为边a上的高)．
2．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．
3．S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[逐点清]
4．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．
解析：由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2．
答案：2
[记结论]
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin．
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．
[提速度]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：A　由已知及正弦定理得sin C0，∴cos B<0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形．
2．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A
C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos C＝c
解析：ABC　由正弦定理、余弦定理及三角形中的射影定理得结论A、B、C正确．
利用正弦、余弦定理解三角形
考向1　求边长(角)
(2021·天津高考)在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝．
(1)求a的值；
(2)求cos C的值；
(3)求sin 的值．
[解]　(1)由正弦定理得sin A∶sin B＝a∶b＝2∶1，b＝，所以a＝2．
(2)同(1)可得c＝2，由余弦定理可得cos C＝＝＝．
(3)因为cos C＝＞0，则sin C＝ ＝，
所以sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，
cos 2C＝1－2sin2 C＝1－2×＝，
所以sin＝sin 2Ccos －cos 2Csin＝×－×＝．
1．正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
2．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．　
考向2　面积问题
　(2022·太原模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csin A＝4bsin C，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题．
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若△ABC的面积为2，点D在线段AB上，且BD＝2DA，求CD的长．
条件①：cos C＝；条件②：cos A＝．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解]　选择条件①cos C＝．
(1)证明：由3csin A＝4bsin C和正弦定理得3a＝4b，
由cos C＝和余弦定理得＝＝，
∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)得3a＝4b，b＝c，∵cos∠ACB＝，
∴sin∠ACB＝，
∴S△ABC＝absin∠ACB＝c2＝2，∴c＝b＝3，a＝4．
∵BD＝2DA，∴BD＝2，DA＝1，
∴CD2＝a2＋BD2－2a·BDcos B＝a2＋BD2－2a·BDcos∠ACB＝．
∴CD＝．
选择条件②cos A＝．
(1)证明：由3csin A＝4bsin C和正弦定理得3a＝4b，
由cos A＝和余弦定理得＝＝，
∴b＝c或b＝－c(舍去)，∴△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)得3a＝4b，b＝c，∵cos A＝，∴sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝b2＝2，∴c＝b＝3，a＝4．
∵BD＝2DA，∴BD＝2，DA＝1，
∴CD2＝b2＋AD2－2b·ADcos A＝，∴CD＝．
1．求三角形面积的方法
(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．　
　(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝．
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)∵c＝2bcos B，则由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，
∴sin 2B＝sin＝，∵C＝，∴B∈，2B∈，∴2B＝，解得B＝．
(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得＝＝＝，与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在．
若选择②：由(1)可得A＝，设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin＝R，c＝2R sin＝R，
则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，解得R＝2，则a＝2，c＝2，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为＝．
若选择③：由(1)可得A＝，即a＝b，则SΔABC＝absin C＝a2×＝，解得a＝，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为
＝＝．
判断三角形的形状
　(2022·衡水模拟)在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C 中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解]　由＝及正弦定理得＝，即ac＋a2＝b2＋bc，∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b．
若选①△ABC为等边三角形．
由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab．
∴cos C＝＝，
又C∈(0，π)，∴C＝．
∴△ABC为等边三角形．
若选②△ABC为等腰直角三角形，
∵bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＝c＝csin C，
∴sin C＝1，∴C＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．
判断三角形形状的2种途径
　
1．(2022·揭阳月考)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(　　)
A．钝角三角形　　　　　　 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：A　因为在△ABC中，满足sin2A＋sin B2＜sin2C，由正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，代入上式得a2＋b2＜c2，又由余弦定理可得cos C＝＜0，因为C是三角形的内角，所以C∈，所以△ABC为钝角三角形，故选A．
2．在△ABC中，若满足＝，则该三角形的形状为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：D　由正弦定理可得＝＝＝，所以sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A－sin 2B＝0，所以A＋B＝或A－B＝0，所以C＝或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选D．
解三角形中的最值(范围)问题
　(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[解]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．②
由①②得cos A＝－．因为0(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B．
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B
＝3＋2sin．
又0解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围．　
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A·sin B的最大值．
解：(1)由题意可知absin C＝×2ab cos C．
所以tan C＝．
因为0＜C＜π，所以C＝．
(2)由已知sin A·sin B＝sin A·sin(π－C－A)＝sin A·sin＝sin A·＝sin 2A－cos 2A＋＝sin＋．
因为0＜A＜，所以－＜2A－＜，
所以当2A－＝，即A＝时，sin A·sin B取最大值．所以sin A·sin B的最大值是．
三角函数与三角形中的最值问题
利用三角函数的性质求最值往往是高考中的热点，这类问题一般涉及到值域、单调性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围，或求最大值(最小值)有关问题上起着特殊的作用．如果试题本身对自变量的取值范围还有限制，则更应该充分注意．
一、与三角函数性质相关的最值问题
　已知函数f(x)＝2sin在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　)
A．　　　 B．1　　　　
C．2　　　 D．4
[解析]　当x∈时，ωx＋∈，这时ω＋>即ω>0．因为函数f(x)＝2sin在区间上单调递增，正弦函数在上递增，所以可得ω＋≤，解得ω≤2，从而有0<ω≤2，因此ω的最大值为2，故选C．
[答案]　C
二、转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)型的最值问题
　已知函数f(x)＝asin x－2cos x的一条对称轴为x＝－，f(x1)＋f(x2)＝0，且函数f(x)在(x1，x2)上具有单调性，则|x1＋x2|的最小值为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　由题，f(x)＝asin x－2cos x＝sin(x＋θ)，θ为辅助角， 因为对称轴为x＝－，所以f＝－a－3，即＝，解得a＝2 ，所以f(x)＝4sin，又因为f(x)在(x1，x2)上具有单调性，且f(x1)＋f(x2)＝0，所以x1，x2两点必须关于正弦函数的对称中心对称，即＝＝kπ(k∈Z)，所以x1＋x2＝2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，|x1＋x2|取最小为，故选A．
[答案]　A
三、转化为二次函数型的最值问题
　函数f(x)＝2sin＋cos 2x的最大值为(　　)
A．1＋ B．
C．2 D．3
[解析]　因为f(x)＝2sin＋cos 2x，所以f(x)＝2sin＋sin 2＝2sin＋2sincos，令θ＝x＋，g(θ)＝2sin θ＋2sin θcos θ，则g′(θ)＝2cos θ＋2cos 2θ＝2(2cos2θ－1)＋2cos θ＝4cos2θ＋2cos θ－2，令g′(θ)＝0，得cos θ＝－1或cos θ＝，当－10，所以当cos θ＝时，g(θ)取得最大值，此时sin θ＝，所以g(θ)max＝2×＋2××＝，故选B．
[答案]　B
四、转化为三角函数型的最值问题
　已知x2＋y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
[解析]　设中间三项为a，b，c，则2b＝x＋y，所以b＝，c＝＝ ，所以后三项的和为b＋c＋y＝＋＋y＝，又因为x2＋y2＝4，所以可令x＝2cos θ，y＝2sin θ，所以＝(cos θ＋3sin θ)＝sin(θ＋φ)≤(φ为辅助角)，故选C．
[答案]　C
五、解三角形中的最值与范围问题
　在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求a＋c的取值范围．
[解]　(1)由已知条件，得bcos A＋acos B＝bsin C．
由正弦定理，得sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin Bsin C，
即sin(A＋B)＝sin Bsin C．
又在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0，
所以sin B＝．因为B是锐角，所以B＝．
(2)由正弦定理，得＝＝＝＝4，
则a＝4sin A，c＝4sin C．
所以a＋c＝4sin A＋4sin C＝4sin A＋4sin
＝6sin A＋2cos A＝4sin．
由0所以所以6[点评]　涉及求边的取值范围问题的一般思路
(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值；
(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用不等式求出范围或最值．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·泰安模拟)在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝，则tan A＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：D　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2BC·AC cos C＝32＋22－2×3×2×＝4，所以AB＝2，因为AB＝BC，所以A＝C，所以cos A＝cos C＝，tan A＝，故选D．
2．在△ABC中，A＝，AB＝，AC＝4，则BC边上的高的长度为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　由A＝，AB＝，AC＝4，得S△ABC＝×4××＝，由余弦定理得：BC＝＝，BC边上的高的长度为＝．故选A．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝bcos C且c＝6，A＝，则△ABC的面积为(　　)
A．36 B．27
C．20 D．18
解析：D　在△ABC中，a＝bcos C，所以sin A＝sin Bcos C，又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝0，因为B，C∈，所以sin C≠0，所以cos B＝0，所以B＝，又因为c＝6，a＝6tan A＝6，所以△ABC的面积为S△ABC＝ac＝18，故选D．
4．(2022·耀华模拟)已知△ABC的面积为S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：D　依题意△ABC的面积为S＝(b2＋c2)，则bcsin A＝(b2＋c2)，2bcsin A＝b2＋c2，由于0＜A＜π，0＜sin A≤1，所以0＜2bcsin A≤2bc，由基本不等式可知b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立，所以sin A＝1，A＝，△ABC是等腰直角三角形．故选D．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，A∈．△ABC面积为4，则sin C＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为b＝3c＝6，△ABC的面积为4＝bcsin A＝6sin A，解得sin A＝，因为A∈，所以cos A＝，在△ABC中，由余弦定理可得a＝＝4，因为＝，所以sin C＝．故选B．
6．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．若acos A＝bcos B，则△ABC为等腰三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解
C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos B
D．若cos 2A＋cos 2B－cos 2C＜1，则△ABC为锐角三角形
解析：BC　对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝90°，∴△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，asin B＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×＝20，即asin B＜b＜a，∴△ABC必有两解，故B正确；对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B＞，即＞A＞－B＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A＞sin＝cos B，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C＜1，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即a2＋b2－c2＞0，∴cos C＞0，即C为锐角，不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误．故选B、C．
7．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)，则下列选项正确的是(　　)
A．a＝2b B．cos A＝
C．sin B＝ D．△ABC为钝角三角形
解析：ACD　因为asin A＝4bsin B，所以a2＝4b2，所以a＝2b，故A正确；因为ac＝(a2－b2－c2)＝·(－2bccos A)，且a＝2b，所以2bc＝－2bccos A，所以cos A＝－，故B错误；因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以sin A＝＝，又因为a＝2b，所以sin A＝2sin B，所以sin B＝，故C正确；由cos A＝－＜0可知A∈，所以△ABC为钝角三角形，故D正确；故选A、C、D．
8．(2021·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝________．
解析：由题意△EFD为等边三角形，则∠EDA＝，所以∠BDA＝，根据条件△AFC与△BDA全等，所以AF＝BD＝1在△ABD中，AD＝3，BD＝1，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos∠BDA＝32＋12－2×1×3×＝13，所以AB＝．
答案：
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为，则△ABC的内切圆的半径为________．
解析：由题意得△ABC的面积S＝bcsin A＝bc＝，故bc＝4．因为A＝60°，b＋c＝6，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝24，所以a＝2，△ABC的周长为6＋2，设△ABC的内切圆的半径为r，则(a＋b＋c)r＝×r＝，所以r＝－．
答案：－
10．在①(a－c)(sin A＋sin C)＝b(sin A－sin B)；②2ccos C＝acos B＋bcos A；③△ABC的面积为c(asin A＋bsin B－csin C)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C；
(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝，求a，b的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：(1)选择①，根据正弦定理得(a－c)(a＋c)＝b(a－b)，
整理得a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝．
因为C∈(0，π)，所以C＝．
选择②，根据正弦定理有sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
所以sin(A＋B)＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C．
因为C∈，所以sin C≠0，从而有cos C＝，
故C＝．
选择③，因为casin B＝c(asin A＋bsin B－csin C)，
所以asin B＝asin A＋bsin B－csin C，由正弦定理得ab＝a2＋b2－c2，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
又因为C∈(0，π)，所以C＝．
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，
即b2＝1＋3－2cos∠ADC．
在△BCD中，BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC，
即a2＝1＋3－2cos∠BDC．
因为∠ADC＋∠BDC＝π，
所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，
所以a2＋b2＝8．
由C＝及c＝2，得a2＋b2－4＝ab，所以ab＝4，
从而a2＋b2－2ab＝0，
所以a＝b＝2．
B级——综合应用
11．(多选)(2022·长治模拟)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，以下结论正确的是(　　)
A．AB＝8 B．＝
C．AB＝6 D．△ABD的面积为
解析：BCD　如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0＜α＜，所以cos α＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝ADcos α＝，在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0＜α＜，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确，故选B、C、D．
12．(2022·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)(　　)
A．65．46 km B．85．09 km
C．74．35 km D．121．12 km
解析：A　如图所示，由题意可得AC＝46 km，∠ACB＝16．28°，∠BAC＝132．57°，由正弦定理可得＝，即＝，解得BC＝·sin 132．57°≈×0．74≈65．46．故选A．
13．(2022·淮安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当b＝________时，满足条件“a＝1，A＝30°”的△ABC有两个．(仅写出一个b的具体数值即可)
解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝b，若满足条件的△ABC有两个，则b＜1且1＝a＜b，所以1＜b＜2．
答案：((1,2)内任一数即可)
14．(2022·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝________，a＋b＝________．
解析：∵(3b－a)cos C＝ccos A，∴利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B．又∵sin B≠0，∴cos C＝，则C为锐角，∴sin C＝．由△ABC的面积为3，可得absin C＝3，∴ab＝9．由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(a＋b)2＝ab＝33，∴a＋b＝．
答案：9　
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)已知＝，
则由正弦定理可得＝，
即sin Bcos A＝(2sin C－sin A)cos B，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos B，即sin C＝2sin Ccos B，
∵sin C≠0，∴cos B＝，又0＜B＜π，则B＝．
(2)由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
即22＝a2＋c2－2accos ，
即4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，
当且仅当a＝c时，等号成立，ac≤＝4(2＋)，
∴△ABC的面积为S＝acsin B≤×4(2＋)×＝2＋．
∴△ABC的面积的最大值为2＋．
C级——迁移创新
16．(2022·大庆模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b2＋c2－bc＝3，则△ABC面积的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　由于a＝，b2＋c2－bc＝3，cos A＝＝，且A∈(0，π)，所以A＝，那么外接圆半径为R＝×＝1，所以S△ABC＝bcsin A＝·2Rsin B·2Rsin＝sin B＝sin Bcos B＋sin2B＝sin 2B＋＝＋＝sin＋．由于△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜，017．(2022·济南三模)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinsin＝－．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围．
解：(1)因为sinsin＝－，
所以＝－，即sin Acos A－sin2A－cos2A＝－，
所以sin 2A－(1－cos 2A)－(1＋cos 2A)＝－，整理可得sin 2A＋cos 2A＝，
所以可得sin＝，
因为A∈(0，π)，可得2A＋∈，
所以2A＋＝，可得A＝．
(2)由正弦定理＝＝，且a＝1，A＝，
所以b＝sin B，c＝sin C；
所以a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)＝1＋＝1＋2sin．
因为△ABC为锐角三角形，
所以得
解得＜B＜，所以所以1＋2sin∈(1＋，3]，
即△ABC周长的取值范围是(1＋，3]．

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