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第三节　三角恒等变换
第一课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
(1)经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；(2)能推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换．　
重点一　两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．cos(α－β)＝ _ _ _ _ (C(α－β))．
2．cos(α＋β)＝ _ _ _ _ (C(α＋β))．
3．sin(α－β)＝ _ _ _ _ (S(α－β))．
4．sin(α＋β)＝ _ _ _ _ (S(α＋β))．
5．tan(α－β)＝(T(α－β))．
6．tan(α＋β)＝(T(α＋β))．
[逐点清]
1．(必修第一册219页例4改编)计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________．
解析：原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝．
答案：
2．(易错题)若tan α，tan β是方程x2－6x＋7＝0的两个根，则tan(α＋β)＝__________．
解析：由于tan α，tan β是方程x2－6x＋7＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝6，tan α·tan β＝7，所以tan(α＋β)＝＝＝－1．
答案：－1
重点二　二倍角公式
1．基本公式
(1)sin 2α＝ _ _ ；
(2)cos 2α＝ ＝ ＝ ；
(3)tan 2α＝．
2．公式变形
(1)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcos α＝sin 2α；
(2)升幂公式：cos 2α＝ ＝ ；1＋sin α＝2；1－sin α＝2．
[逐点清]
3．(多选)(2022·南京月考)下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．
解析：BCD　A项，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
B项，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；
C项，1－2sin215°＝cos 30°＝；
D项，＝＝×tan 30°＝×＝．故选B、C、D．
4．(2020·江苏高考)已知sin2＝，则sin 2α的值是________．
解析：因为sin2＝，所以＝，＝，得sin 2α＝．
答案：
[记结论]
1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)；tan α·tan β＝1－＝－1．
2．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－等．
[提速度]
1．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝(　　)
A．222 B．223
C．211 D．212
解析：A　由结论1知tan 1°＋tan 44°＝1－tan 1°tan 44°，(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°tan 44°＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 1°tan 44°＝2．所以(1＋tan 1°)·(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝222．故选A．
2．(2022·烟台三模)已知tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan(π－2α)＝________．
解析：由结论2可知：2α＝(α＋β)＋(α－β)，tan(π－2α)＝－tan 2α，∴tan 2α＝＝＝1，∴tan(π－2α)＝－1．
答案：－1
和、差、倍角公式的直接应用
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　法一(通解)：因为cos ＝sin ＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝．故选D．
法二(优解)：因为cos＝，cos＝，所以cos2－cos2＝2－2＝．故选D．
2．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　因为α∈，所以tan 2α＝＝ ＝ 2cos2α－1＝4sin α－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sin α sin α＝ tan α＝．
3．已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________．
解析：由题可得m＝＝＝＝＝－．
答案：－
应用和、差、倍角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　
和、差、倍角公式的逆用及变形用
1．(2022·T8联考)已知tan 20°＋λcos 70°＝3，则λ的值为(　　)
A．　　 B．2 C．3　　 D．4
解析：D　由已知，＋λsin 20°＝3，则sin 20°＋λsin 20°cos 20°＝3cos 20°，从而sin 40°＝3cos 20°－sin 20°＝2sin(60°－20°)＝2sin 40°，所以λ＝4，故选D．
2．在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________．
解析： 由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝．
答案：
3．若sin x＋cos x＝，则tan＝________．
解析：由sin x＋cos x＝，得2sin＝，即sin＝，所以cos＝±，所以tan ＝±，即tan ＝tan＝±．
答案：±
和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)；
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[注意]　tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　
简单的三角恒等变换
考向1　角的变换
　(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B．
[答案]　B
三角函数公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　
考向2　名的变换
　(2022·广州月考)已知sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[解析]　由题sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝cos＝－cos＝－．故选A．
[答案]　A
三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．　
1．(2022·六安期末)已知sin α－sin β＝1＋，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：A　由题(sin α－sin β)2＝＋，(cos α－cos β)2＝，故两式相加有2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋，故cos(α－β)＝－，故选A．
2．若α，β为锐角，且cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，则cos α＝________．
解析：因为α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，所以0<α＋β<，0<2α＋β<，则sin(α＋β)＝＝，sin(2α＋β)＝＝，cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝×＋×＝．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：C　依题意可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)>0，所以－cos C>0，所以cos C<0，所以C为钝角．故选C．
2．(2022·临汾质检)已知sin＝，则cos＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　cos＝cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝．故选B．
3．已知α满足sin＝，则＝(　　)
A．3 B．－3
C． D．－
解析：D　∵sin＝＝(sin α＋cos α)，即sin α＋cos α＝，平方可得1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－，故＝×＝sin 2α＝－，故选D．
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(　　)
A．－ B．
C．－3 D．3
解析：D　由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝3．故选D．
5．(2022·本溪一模)角α和β满足sin(α＋β)＝2sin(α－β)，则tan·tan β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．3
解析：A　因为sin(α＋β)＝2sin(α－β)，所以sin α·cos β＋cos α·sin β＝2sin α·cos β－2cos α·sin β，所以sin α·cos β＝3cos α·sin β，故tan·tan β＝·＝＝－．故选A．
6．(多选)(2022·南京月考)下列说法正确的是(　　)
A．cos2α＝
B．1－sin α＝2
C．sin α＋cos α＝sin
D．＝
解析：ABD　∵cos 2α＝2cos2α－1，∴cos2α＝，故A正确；
1－sin α＝sin2＋cos2－2sin cos ＝2，故B正确；
sin α＋cos α＝sin，故C错误；
＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝，故D正确．故选A、B、D．
7．(多选)若sin ＝，α∈(0，π)，则(　　)
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin＝
D．sin＝
解析：AC　∵sin ＝，α∈(0，π)，∴∈，cos ＝ ＝．则cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正确；
sin α＝2sin cos ＝2××＝，故B错误；
sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝，故C正确；
sin＝sin cos －cos sin ＝×－×＝，故D错误．故选A、C．
8．若cos 2x＝，则sin x＝__________．
解析：∵cos 2x＝1－2sin2x＝，可得sin2x＝，故sin x＝±．
答案：±
9．(2022·北京模拟)已知tan α＝2，则cos＝________．
解析：cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝＝＝－．
答案：－
10．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－．
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α．
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－．
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2．
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]
＝＝－．
B级——综合应用
11．(2022·厦门模拟)函数f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：B　因为f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数，作出函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象如图，
由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
12．(多选)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是(　　)
A．水深为12尺 B．芦苇长为15尺
C．tan ＝ D．tan＝－
解析：ACD　设BC＝x，则AC＝x＋1，∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；tan θ＝，由tan θ＝，解得tan ＝(负值已舍去)，C正确；∵tan θ＝，∴tan＝＝－，D正确．故选A、C、D．
13．(2022·运城模拟)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)＝________．
解析：由tan α－tan β＝3，得－＝3，即＝3．∴sin(α－β)＝3cos αcos β．又知α－β＝，∴cos αcos β＝．而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－．∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－．
答案：－
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是．
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，所以sin α＝，又α为锐角，所以cos α＝．因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－．
(2)因为sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，sin α＝>，所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，所以2α－β＝－．
C级——迁移创新
15．在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B．
(1)当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(2)当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(3)由(1)，(2)你能得到什么结论，并证明你的结论；
(4)已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．
解：(1)当A＝30°，B＝30°时，
P＝sin(30°＋30°)＝sin 60°＝，
Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，
R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝，∴P(2)当A＝30°，B＝45°时，
P＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝×＋×＝，
Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝，
R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝，
∵P－Q＝－＝<0，∴P∵Q－R＝－＝<0，∴Q∴P(3)由(1)，(2)猜想P∵C为钝角，∴0∴A<－B，B<－A，
∴cos A>cos＝sin B，
cos B>cos＝sin A，
∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q．
∵P－Q＝sin(A＋B)－sin A－sin B
＝sin Acos B＋cos Asin B－sin A－sin B
＝sin A(cos B－1)＋sin B(cos A－1)<0，
∴P综上可得P(4)任意交换两个角的位置，y的值不变．证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴＝－．
y＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan ＋tan ＋tan ，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变．

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