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第四节　三角函数的图象与性质
(1)能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最值、图象与x轴交点等)．　
重点一　用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
[注意]　函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点 最值点 .
[逐点清]
1．(必修第一册199页例1改编)函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是(　　)
解析：B　当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝0；当x＝π时，y＝1；当x＝时，y＝2；当x＝2π时，y＝1．结合正弦函数的图象可知B正确．故选B．
重点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 R
周期性 2π
奇偶性 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 x＝kπ＋ 无
[注意]　 1 正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调； 2 求函数y＝Asin ωx＋φ 的单调区间时要注意A和ω的符号，应首先化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.
[逐点清]
2．(易错题)函数f(x)＝定义域为(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：C　由题意，函数f(x)＝有意义，则满足2cos x－1≥0，即cos x≥．解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为(k∈Z)．故选C．
3．(多选)(必修第一册207页练习3题改编)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：ABC　由题意，可得f(x)＝－cos x，对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；对于选项B，y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以选项B正确；对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确，选项D错误．故选A、B、C．
[记结论]
与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
[提速度]
1．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．
C．1 D．
解析：A　由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴ T＝π，∴ ＝π，∴ ω＝2．故选A．
2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，则f的值为________．
解析：f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)＝2sin，∵f(x)为R上的奇函数，由结论2可知φ－＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin 2x，∴f＝2sin＝－．
答案：－
第一课时　三角函数的图象与性质(一)
三角函数的定义域
1．(2022·金陵三模)函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0．利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
2．若y＝tan，则该函数定义域为__________．
解析：函数y＝tan中，令2x－≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以该函数的定义域为．
答案：
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象．　
三角函数的值域(最值)
　(1)(2022·宁波质检)函数y＝sin x－cos的值域为________；
(2)(2022·云南模拟)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
[解析]　(1)因为y＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，所以函数y＝sin x－cos的值域为[－， ]．
(2)因为x∈，所以sin x∈．又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋，所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2．即函数的值域为．
[答案]　(1)[－， ]　(2)
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(4)形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解求值域(最值)．　
1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：A　因为0≤x≤9，所以－≤－≤，所以－≤sin≤1，则－≤y≤2．所以ymax＋ymin＝2－．
2．函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤．∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－， ]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－．∴函数的值域为．
答案：
三角函数的单调性
考向1　求三角函数的单调区间
　(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．取k＝0，则－≤x≤．因为?，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．
[答案]　A
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．　
考向2　根据单调性求参数
　已知f(x)＝2sin2－1(ω>0)，若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为________．
[解析]　因为f(x)＝2sin2－1＝－cos，f(x)在上单调递增，所以解得0<ω≤．
[答案]　
对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．　
1．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B．
C． D．π
解析：A　f(x)＝cos x－sin x＝cos，由题意得a>0，因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，所以解得02．函数y＝2sin＋1的单调递增区间为________．
解析：y＝2sin＋1＝－2sin＋1，求它的单调递增区间，即求函数y＝sin的单调递减区间．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z．故所求函数的单调递增区间为，k∈Z．
答案：，k∈Z
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：D　由函数y＝lg(tan 2x)有意义得tan 2x>0，所以kπ<2x2．(2022·蚌埠月考)函数f(x)＝sin的值域是(　　)
A．[－1,1] B．
C． D．
解析：B　由0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，由正弦函数的性质知f(x)∈．故选B．
3．(2022·黑龙江模拟)函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
解析：D　y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝结合选项知，D正确．
4．已知α＝，a＝sin α，b＝log2sin α，c＝(sin α)－1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．c解析：D　∵α＝，∴01，∴b5．(2022·衡水模拟)函数f(x)＝sin2x＋cos x的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
解析：B　因为f(x)＝sin2x＋cos x＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，由x∈得cos x∈[0,1]，所以当cos x＝时，f(x)max＝．故选B．
6．(多选)(2022·临沂月考)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在区间上单调递增
解析：AD　A项，函数的最小正周期为T＝＝2π，所以－2π是函数f(x)的一个周期，故本结论是正确的；
B项，当x＝时，f＝sin＝0，该函数值不是函数的最值，故本结论是错误的；
C项，当x＝－时，f＝sin＝－1≠0，故本结论是错误的；
D项，当x∈时，∈，所以函数f(x)＝sin单调递增，故本结论是正确的．故选A、D．
7．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的可能值是(　　)
A． B．
C． D．π
解析：AC　由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以08．(2022·潍坊一中质检)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
解析：∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴g(t)＝－2t2－3t＋1＝－22＋．又函数g(t)的图象的对称轴为直线t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，g(t)有最小值－4．即f(x)有最小值－4．
答案：－4
9．已知ω>0，函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f(x)在区间上的单调递减区间是________．
解析：因为函数f(x)＝sin的最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin ，令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的减区间为，k∈Z，又x∈，则f(x)在区间上的单调递减区间是．
答案：
10．已知函数f(x)＝cos，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解：(1)f(x)的最小正周期T＝＝＝π．
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
(2)∵x∈，则2x－∈，
故cos∈，f(x)＝cos∈[－1， ]，
∴f(x)max＝，此时cos＝1，即2x－＝0，即x＝；
f(x)min＝－1，此时cos＝－，即2x－＝，即x＝．
B级——综合应用
11．(2022·中山月考)已知函数f(x)＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有(　　)
A．f(sin A)>f(sin B) B．f(cos A)>f(cos B)
C．f(sin A)>f(cos B) D．f(cos A)>f(sin B)
解析：D　∵A，B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B>，∴0<－Bf(sin A)，同理f(cos A)>f(sin B)，所以C错，D对，因为角A，B的大小关系不确定，所以A、B项不正确．故选D．
12．(多选)(2022·金陵月考)若函数f(x)＝sin与g(x)＝cos都在区间(a，b)(0A． B．
C． D．
解析：AB　当x∈(0，π)时，2x－∈，所以当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递减；当x∈(0，π)时，x＋∈，所以当x＋∈，即x∈时，g(x)单调递减，因为∩＝，所以≤a13．“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin(ωx＋φ)的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则函数的单调递增区间的是(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　∵相邻最大值与最小值之间的水平距离为，∴T＝，则T＝π，∴ω＝＝2，即y＝4sin(2x＋φ)，又图象过点，则sin＝，∵|φ|<，∴φ＋＝，∴φ＝，即y＝4sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数的单调递增区间为，k∈Z，∵ ，∴是函数的单调递增区间．故选B．
14．(2022·潍坊模拟)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f(x)取得最大值，即f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z．∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值．
答案：
15．设函数f(x)＝sin x，x∈R．
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．
解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin xcos θ＋
cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0．
又θ∈[0,2π)，所以θ＝或．
(2)y＝2＋2
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos．
因此函数的值域是．
第二课时　三角函数的图象与性质(二)
三角函数的周期性
1．(多选)(2022·海南模拟)下列函数中，以4π为周期的函数有(　　)
A．y＝tan B．y＝sin
C．y＝sin |x| D．y＝cos |x|
解析：AD　y＝tan ，则T＝＝4π， 故A正确；函数y＝sin 的最小正周期为8π，故B不正确；函数y＝sin |x|不是周期函数，故C不正确；y＝cos |x|＝cos x，最小正周期为2π，所以4π也是它的一个周期，故D正确．故选A、D．
2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数g(x)＝的最小正周期为(　　)
A．π B．2π
C．4π D．
解析：A　根据函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象，可得＝－＝ T＝π＝ ω＝2．点是五点作图的第二个点，则2×＋φ＝ φ＝－，∴f(x)＝cos，∴g(x)＝＝，易知y＝g(x)与y＝cos＋的最小正周期相同，均为T＝＝π．故选A．
3．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1解析：由题意得1<<2，k∈N，∴答案：2或3
\
三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法；
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝；
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．　
三角函数的奇偶性与对称性
　(1)(2022·晋城模拟)已知函数f(x)＝tan x－sin xcos x，现有下列四个命题：
①f(x)的最小正周期为π；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于对称；
④f(x)的图象关于(π，0)对称．
其中所有真命题的序号是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①②③④ D．①②④
(2)若直线x＝为函数f(x)＝sin(x＋φ)·sin x的一个对称轴，则常数φ的一个取值为________．
[解析]　(1)因为y＝tan x与y＝sin xcos x＝sin 2x的最小正周期均为π，所以f(x)的最小正周期是π．因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．因为f(π－x)＝－tan x＋sin xcos x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于对称．因为f(2π－x)＝－tan x＋sin xcos x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于(π，0)对称．所以①②③④均正确．故选C．
(2)由于f(x)＝sin(x＋φ)·sin x的一个对称轴为x＝，所以f(π－x)＝sin(π－x＋φ)sin(π－x)＝sin(x－φ)·sin x＝f(x)，即sin(x＋φ)＝sin(x－φ)，即sin φcos x＝0对任意x均成立，所以sin φ＝0，故φ的一个取值为0(kπ，k∈Z均可)．
[答案]　(1)C　(2)0(kπ，k∈Z均可)
1．三角函数奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
2．对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．　
若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f ＝f．则其解析式可以是f(x)＝________．(写出一个满足条件的解析式即可)
解析：因为对于任意的x∈R，都有f＝f，所以函数的图象关于直线x＝对称．又由于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)＝cos 3x．因为f(－x)＝cos(－3x)＝cos 3x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．令3x＝kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
答案：cos 3x(答案不唯一)
三角函数性质的综合应用
　(2022·北京月考)已知函数f(x)＝asin－2cos2(a>0)，且满足________．
从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，③f(x)的图象过点．这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解]　(1)函数f(x)＝asin－2cos2＝asin－cos－1＝asin－cos－1＝asin＋sin－1＝(a＋1)sin－1，
若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1，则函数f(x)的最小正周期为T＝＝π．
若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f(x)的最小正周期为T＝＝π，
所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，所以f(x)＝2sin－1．
若选择条件③f(x)的图象过点，则f＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1．所以f(x)＝2sin－1，则函数f(x)的最小正周期为T＝＝π．
(2)令f(x)＝1，得sin＝1，解得2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z．
若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或，所以实数m的取值范围是．
探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x，x∈R(y＝tan x)的性质求解．对于y＝asin x＋bcos x型的函数，首先用辅助角公式将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．　
设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝．因为ω>0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z．
又0<φ<，所以φ＝．
故f(x)＝tan．
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)，知f(x)＝tan．
由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为．
三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．
一、三角函数的周期T与ω的关系
　为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A．98π　　 B．π
C．π　　 D．100π
[解析]　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π．故选B．
[答案]　B
[点评]　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．
二、三角函数的单调性与ω的关系
　 已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　法一：由题意得
则又ω>0，所以
所以k＝0，则0<ω≤，故选B．
法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B．
[答案]　B
[点评]　根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．
三、三角函数的对称性、最值与ω的关系
　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
[解析]　由题意显然ω≠0．若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥．若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2．综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪．
[答案]　(－∞，－2]∪
[点评]　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
1．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2　　　　　 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
解析：A　∵函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A．
2．已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________(结果用区间表示)．
解析：f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．当k＝0时，≤π，即≤ω，当k＝1时，＋≥2π，ω≤．综上，≤ω≤．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．函数f(x)＝2tan的对称中心是(　　)
A． B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
解析：D　令2x－＝(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，故函数的对称中心为，k∈Z．故选D．
2．函数y＝的图象与函数y＝sin (－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：D　在同一坐标系中作y＝与y＝sin (－4≤x≤8)的图象如图所示，则函数y＝关于点(2,0)对称，同时点(2,0)也是函数y＝sin (－4≤x≤8)的对称点，由图象可知，两个函数在[－4,8]上共有8个交点，两两关于点(2,0)对称，设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2×2＝4，所以8个交点的横坐标之和为4×4＝16．故选D．
3．设函数f(x)＝sin－cos的最小正周期为T，则f(x)在(0，T)上的零点之和为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　因为f(x)＝sin＝sin，所以T＝π．令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以f(x)在(0，T)上的零点为，，则所求零点之和为＋＝．故选A．
4．若函数f(x)＝2sin (n>0)图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f(1)＝(　　)
A． B．2
C．－2 D．－
解析：A　设相邻最高点和最低点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝2，y2＝－2，又函数f(x)＝2sin (n>0)为奇函数，∴x1＝－x2，当＝ x＝时，函数取得最大值2，∴x1＝，x2＝－，由题，函数f(x)＝2sin (n>0)图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，∴2＋(2)2＝n2 n＝4，则f(1)＝2sin ＝．故选A．
5．若关于x的方程2cos2x－sin 2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的值不可能为(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D．0
解析：B　由2cos2x－sin 2x＝－m可得2·－sin 2x＝－m，化简可得cos＝－，即y＝cos的图象和直线y＝－只有1个交点．又x∈，则2x＋∈．当2x＋＝－，即x＝－时，可得y＝cos＝；当2x＋＝0，即x＝－时，可得y＝1；当2x＋＝，即x＝时，可得y＝0．要使得y＝cos的图象和直线y＝－只有1个交点，可得－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－16．(多选)(2022·长沙月考)给出下面四个结论，其中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝tan是奇函数，且f(x)的最小正周期为2
B．函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，x∈R的最大值为2，当且仅当φ＝＋kπ，k∈Z时f(x)为偶函数
C．函数f(x)＝tan(－x)的单调增区间是，k∈Z
D．函数f(x)＝sin，x∈[－2π，2π]的单调减区间是
解析：ABD　因为f(x)＝tan＝tan x，所以其是奇函数，最小正周期为＝2，故A正确；
函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，x∈R的最大值为2，当且仅当φ＝＋kπ，k∈Z时f(x)＝±2cos 2x为偶函数，故B正确；
f(x)＝tan(－x)＝－tan x，其单调递减区间为，k∈Z，无单调增区间，故C错误；
f(x)＝sin＝－sin，令2kπ－≤x－≤2kπ＋，解得4kπ－≤x≤4kπ＋，与x∈[－2π，2π]的公共部分为，故D正确．故选A、B、D．
7．(多选)设函数f(x)＝，则(　　)
A．f(x)＝f(x＋π)
B．f(x)的最大值为
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递减
解析：AD　f(x＋π)＝＝＝f(x)，故A正确；
∵f(x)＝＝，∴f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，解得sin 2x＝－，cos 2x＝±．∴f(x)max＝＞，故B错误；
当x∈时，2x∈，此时－4sin 2x－1∈(－1,3)，∴f′(x)有正有负，f(x)在上不单调，故C错误；
当x∈时，2x∈，此时－4sin 2x－1∈(－5，－1)，f′(x)＜0恒成立，f(x)在单调递减，故D正确．
8．已知f(x)＝tan x·(ex＋e－x)＋6，f(t)＝8，则f(－t)＝________．
解析：∵f(x)－6＝tan x·(ex＋e－x)，∴f(－x)－6＝tan(－x)·(e－x＋e－(－x))＝－tan x·(ex＋e－x)＝－[f(x)－6]，即f(x)－6为奇函数，∴f(－t)－6＝－f(t)＋6，故f(－t)＝12－f(t)＝12－8＝4．
答案：4
9．已知x∈，函数y＝3cos x的图象与函数y＝8tan x的图象交于点P，点P在x轴上的垂足为P1，直线PP1交y＝sin x于点P2，则|P1P2|＝___________．
解析：作出图象，如图所示，则|P1P2|即为sin x的值，因为8tan x＝3cos x，即3cos x＝，所以3sin2x＋8sin x－3＝0，解得sin x＝或sin x＝－3(舍)，所以|P1P2|＝．
答案：
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足下列3个条件中的2个条件：
①函数f(x)的周期为π；
②x＝是函数f(x)的对称轴；
③f＝0且在区间上单调．
(1)请找出这2个条件，并求出函数f(x)的解析式；
(2)若x∈，求函数f(x)的值域．
解：(1)由①可得＝π ω＝2；
由②得＋φ＝kπ＋ φ＝kπ＋－，k∈Z；
由③得＋φ＝mπ φ＝mπ－，m∈Z，≥－＝ ≥ 0<ω≤3；
若①②成立，则ω＝2，φ＝，f(x)＝sin．
若①③成立，则φ＝mπ－＝mπ－，m∈Z，不合题意．
若②③成立，则kπ＋－＝mπ－ ω＝12(m－k)－6，m，k∈Z，由③中的0<ω≤3得m－k∈，与m，k∈Z矛盾，所以②③不成立．
所以只有①②成立，f(x)＝sin．
(2)由题意得，0≤x≤ ≤2x＋≤ ≤f(x)≤1，
所以函数f(x)的值域为．
B级——综合应用
11．(2022·大庆模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A．(5,8) B．(5,8]
C．(5,11] D．[5,11)
解析：B　由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，因为x∈，可得<ωx＋<(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，所以ω的取值范围为(5,8]．故选B．
12．(多选)(2022·山西月考)下列关于函数y＝tan的说法错误的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：ACD　A项，令kπ－B项，最小正周期T＝＝π，B正确；
C项，令x＋＝，即x＝－＋(k∈Z)，函数y＝tan关于点(k∈Z)成中心对称，C错误；
D项，正切函数没有对称轴，则函数y＝tan也没有对称轴，D错误，故选A、C、D．
13．(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是________．
解析：由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝sin(－x)＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，③为真命题．当sin x<0时，f(x)<0，所以④为假命题．
答案：②③
14．(2022·滕州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝π．
(2)由(1)知h(x)＝2sin．
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或t＝．
(3)当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，即f(x)－3C级——迁移创新
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足|x0|≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是(　　)
A．
B．
C．∪
D．
解析：C　y＝2sin(2x－φ)，令2x－φ＝＋kπ，k∈Z，∴图象的对称轴为x＝＋＋，k∈Z．∵|x0|≤，∴≤，k∈Z，∴－－kπ≤φ≤－－kπ(k∈Z)，又|φ|≤，∴当k＝0时，－≤φ≤－；当k＝－1时，≤φ≤，∴φ的取值范围是∪．故选C．
16．(2022·日照模拟)已知函数f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x．
(1)当x∈时，求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值；
(2)设g(x)＝3－2m＋mcos(m>0)，则是否存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立？
解：(1)f(x)＝cos4x＋2sin xcos x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
∵x∈，∴2x＋∈．
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－．
(2)∵x1∈，∴2x1＋∈，
∴sin∈，即f(x1)∈[1,2]．
∵x2∈，∴2x2－∈，
∴cos∈．
又m>0，∴g(x2)＝3－2m＋mcos∈．
假设存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，则此方程组无解．
故满足题意的实数m不存在．

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