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第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
(1)了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响；(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．　
重点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝
[逐点清]
1．(易错题)函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，　　　　　　 B．2，，
C．2，， D．2，，－
解析：A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为．
重点二　用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 0
[逐点清]
2．(必修第一册239页练习1题改编)函数y＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的简图是(　　)
解析：D　y＝sin(－2x)，x∈[0,2π]，可得函数的最小正周期为π，函数y的图象为两个周期，故A、B均错；由x∈可得2x∈，y＝sin(－2x)＜0，故选D．
重点三　由函数y＝sin x的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
[注意]　1．两种变换的区别
(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
2．变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看“角ωx＋φ”的变化．
[逐点清]
3．(易错题)(多选)要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　)
A．每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
B．每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
D．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
解析：BC　先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确．先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，所以C选项正确，D选项错误．故选B、C．
[记结论]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
[提速度]
　(2022·南开期中)将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
解析：将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin 2x，再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sin＝sin．
答案：sin
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
　已知函数f(x)＝2sin．
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
[解]　(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈．
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象．
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．　
　把函数f(x)＝2sin x的图象向左平移φ个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，记函数h(x)＝f(x)·g(x)．
(1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)画出函数y＝h(x)在区间上的大致图象．
解：(1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，
根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋mπ(m∈Z)，即φ＝＋mπ(m∈Z)，
又0＜φ＜，所以φ＝，则g(x)＝2sin，
则h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin x·sin＝4sin x＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1，
则函数y＝h(x)的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝h(x)的单调增区间是(k∈Z)．
(2)列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h(x) 2 1 －1 1 3 2
故y＝h(x)在区间上的大致图象是：
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
　(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
[解析]　由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f(x)＝2cos，所以f＝2cos＝－．
[答案]　－
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象，确定其解析式的步骤：
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
(3)求φ，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间．如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解．　
1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝sin　　　 B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：A　由题图知，＝＝－＝，解得ω＝2，将最大值点代入f(x)＝sin(2x＋φ)得，sin＝1，解得φ＝＋2kπ，又|φ|＜，则φ＝，即f(x)＝sin．故选A．
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示：
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最大值及函数取最大值时相应的x值．
解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2．∵∴φ＝，即函数解析式为f(x)＝2sin．
(2)根据图象变换原则得g(x)＝2sin，∵x∈，∴4x＋∈，∴2sin∈[－，2]，当4x＋＝，即x＝时，函数g(x)在区间上取得最大值为2．
三角函数图象与性质的综合应用
考向1　综合应用
　(多选)将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)
A．最大值为，图象关于直线x＝－对称
B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为π
D．图象关于点成中心对称
[解析]　将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x 的图象．对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为＝π，故C正确；当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．
[答案]　BCD
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)．　
考向2　三角函数的零点(方程根)
　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
[解析]　∵2sin2x－sin 2x＋m－1＝0，∴1－cos 2x－sin 2x＋m－1＝0，即cos 2x＋sin 2x－m＝0，∴2sin＝m，即sin＝，∵x∈，∴2x＋∈，设2x＋＝t，t∈，则sin t＝在t∈上有两个不同的实数根，即y1＝sin t，y2＝，t∈的图象有两个不同的交点，如图．由图象可知，－1＜＜－，即－2＜m＜－1．所以m的取值范围是(－2，－1)．
[答案]　(－2，－1)
巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)的问题
解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．　
1．(多选)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为(1,0)，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．φ＝
B．f(x)的最小正周期为6
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)在上单调递减
解析：ABC　由函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象与y轴交于点，所以cos φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，A正确；由f(x)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，即y＝f(1)＝0，所以ω＋＝2kπ＋，k∈Z，又由图象得1＜＜2，解得＜ω＜，所以ω＝，所以f(x)＝cos，求得f(x)的最小正周期为T＝6，B正确；f＝cos＝－1，所以x＝是f(x)的一条对称轴，C正确；令2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，解得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，所以函数f(x)在，k∈Z上单调递减，D错误．故选A、B、C．
2．若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，求f(x)的最小正周期．
解：因为f(0)＝f，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z)．又f(x)在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤(k∈Z)，所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·宁波仿真)将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．
C．－ D．
解析：D　由题意可得g(x)＝f＝sin＝sin，因此，g＝sin＝sin ＝．故选D．
2．(2022·南昌模拟)方程2sin＝1在区间[－2π，2π)上解的个数是(　　)
A．4　　　 B．6
C．8　　　 D．9
解析：C　原方程化为sin＝，在同一坐标系内作出函数y＝sinx∈[－2π，2π)的图象与直线y＝，如图．观察图象知：在x∈[－2π，2π)时函数y＝sin的图象与直线y＝有8个公共点，所以方程2sin＝1在区间[－2π，2π)上有8个解．故选C．
3．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)在[－π，π]上的大致图象如图所示，则f(x)的最小正周期为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由题意，可得f＝2sin＝0，可得－ω＋＝2kπ，k∈Z，解得ω＝－9k，k∈Z且ω＞0，又由π－＜×＜＋，即＜＜，解得＜ω＜2，当且仅当k＝0时，ω＝满足题意，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝．故选B．
4．(2022·合肥模拟)函数f(x)＝sin(ω＞0)图象向右平移个单位长度后所得函数图象与函数f(x)的图象关于x轴对称，则ω的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：C　由题意知＝T＝·，得ω＝8k＋4，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值为4．故选C．
5．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
解析：BC　由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin．由于y＝sin＝sin＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，但当x＝0时，y＝sin＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选B、C．
6．(多选)(2022·佛山月考)如图所示，点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0)图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若M，且·＝0，则(　　)
A．N B．ω＝1
C．P D．φ＝
解析：BC　由题知P的纵坐标为，又·＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN，所以MN＝2yP＝π，所以f(x)的周期T＝2π，所以＝2π，ω＝1，，故B正确；所以xP＝xM＋＝，故C正确；xN＝xM＋＝，故A错误；将P代入函数解析式可得sin＝1，φ＝＋2kπ(k∈Z)，故D错误．故选B、C．
7．(2022·合肥月考)某地一天0～24时的气温y(单位：℃)与时间t(单位：h)的关系满足函数y＝6sin＋20(t∈[0,24])，则这一天的最低气温是________℃．
解析：∵t∈[0,24]，∴t－∈，当t－＝－，即t＝2时，ymin＝－6＋20＝14．
答案：14
8．(2022·重庆月考)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x向左平移个单位长度后，所得图象在区间(0，m)上单调递增，则m的最大值为________．
解析：f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，向左平移个单位长度，得g(x)＝2sin＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，所以mmax＝．
答案：
9．(2022·北京高三模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)同时满足下列四个条件中的三个：①f＝1；②f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由y＝sin x－cos x的图象平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2．
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若曲线y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，求m的取值范围．
解：(1)三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为y＝sin x－cos x＝sin，所以A＝，ω＝1；
若满足③：因为＝，所以T＝＝π，所以ω＝2；
若满足④：A＝2；
由此可知，若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是①③④．
(2)由③④知：f(x)＝2sin(2x＋φ)，
由①f＝1，可得2sin＝1，所以sin＝，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z或＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z或φ＝2kπ＋，k∈Z，
又因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，
不妨令2x－＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，
当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝，
所以若要y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，只需m∈，
所以m的取值范围是．
B级——综合应用
10．(多选)若将函数f(x)＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在上的最大值为1
C．x＝是函数g(x)图象的对称轴
D．g(x)在区间上单调递减
解析：ABC　由题意可知g(x)＝cos＝cos，所以g(x)的最小正周期为π，A正确；当x∈时，2x－∈，g(x)的最大值为1，故B正确；当x＝时，2x－＝0，为函数g(x)图象的对称轴，故C正确；当x∈时，2x－∈，g(x)不单调，故D错误．故选A、B、C．
11．已知f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝________；f(x)在区间[0,2 021π]内有________条对称轴．
解析：f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin＝2sin(2ωx＋2φ)，由题图可知f(0)＝，即sin 2φ＝，由于点(0，)在单调递增的区间内，故2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，根据题意知φ＝；由图象过点，则有ω＋＝2π，解得ω＝2．故f(x)＝2sin，则令4x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z．令0≤＋≤2 021π，即－≤k≤8 084－．所以f(x)在[0,2 021π]内有8 084条对称轴．
答案：　8 084
12．已知函数f(x)＝10sin ·cos ＋10cos2．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2．
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．
解：(1)因为f(x)＝10sin cos ＋10cos2＝5sin x＋5cos x＋5＝10sin＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π．
(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．
已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13．
所以g(x)＝10sin x－8．
②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞．
由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝．
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞．
因为y＝sin x的最小正周期为2π，
所以当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞．
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞．
故存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．

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