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第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
(1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；(2)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．　
重点一　角的概念的推广
1．定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形．
2．分类：
3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
[逐点清]
1．(必修第一册175页习题2题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ－45°(k∈Z)　　　 B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：C　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C．
重点二　弧度制的定义和公式
1．定义：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
2．公式
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 l＝
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
[注意]　有关角度与弧度的两个注意点
1 角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用； 2 利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
[逐点清]
2．(必修第一册176页习题11题改编)一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为(　　)
A．20 cm B．14 cm
C．10π cm D．8π cm
解析：C　秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为×2π＝，因此，秒针的端点所走的路线长为×12＝10π(cm)．故选C．
重点三　任意角的三角函数
设α是一个任意角，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 ＝sin α， ＝cos α，＝tan α(x≠0)．
[逐点清]
3．(易错题)已知角θ的终边过点P(－12，m)，cos θ＝－，则m的值为(　　)
A．－5 B．5
C．±5 D．±8
解析：C　由三角函数的定义可知cos θ＝＝－，解得m＝±5．
[记结论]
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．象限角
3．轴线角
[提速度]
1．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0　
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
解析：D　法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D．
法二：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A、B、C，故选D．
2．终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是______．(用角度表示)
解析：终边落在第一象限角平分线上所有角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在第三象限角平分线上所有角的集合为B＝{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}，所以终边在第一、三象限角平分线上角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}
象限角与终边相同的角
1．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　因为直线y＝－x的倾斜角是，tan α＝－，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为或，即．故选D．
2．(2022·济南月考)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
解析：C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C．
3．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
解析：∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．综上，是第一或第三象限角．
答案：一或三
1．确定nα，(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或的范围，然后根据n的可能取值讨论确定nα或的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法)．
2．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．　
扇形的弧长及面积公式的应用
一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．已知α＝，R＝10 cm，求扇形的面积．
[解]　由已知得α＝，R＝10 cm，
∴S扇形＝α·R2＝××102＝(cm2)．
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　
1．(2022·佛山三模)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A．　　　 B．
C．3　　　 D．
解析：D　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝．
2．(2022·襄阳模拟)已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________cm2．
解析：设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则2r＋l＝8(0答案：4
三角函数的定义及其应用
考向1　三角函数的定义
　(1)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2022·临沂模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　(1)点P(4，y)到坐标原点的距离r＝＝，所以sin θ＝＝＝－，解得y＝－3或y＝3(舍)，所以tan θ＝＝＝－，故选C．
(2)由题意得点P(－8m，－3)，r＝，所以cos α＝＝－，解得m＝±，又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝．
[答案]　(1)C　(2)C
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值．
解决方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．
解决方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
解决方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．　
考向2　三角函数值符号的判定
　(1)若α为第二象限角，则cos 2α，cos ，中，其值必为正的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
(2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]　(1)由题意知，2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，则4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α可正可负也可为零．因为kπ＋<(2)由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，因为＝－cos ，所以cos <0，综上可知，为第二象限角．
[答案]　(1)A　(2)B
三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin α在一、二象限为正，cos α在一、四象限为正，tan α在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin α在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin ＝1>0，cos π＝－1<0．　
1．已知单位圆上在第一象限内的一点P沿圆周逆时针旋转到点Q，若点Q的横坐标为－，则点P的横坐标为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由单位圆上第一象限一点P沿圆周逆时针旋转到点Q，点Q的横坐标为－，所以cos∠xOQ＝－，即∠xOQ＝＋2kπ(k∈Z)，所以∠xOP＝＋2kπ(k∈Z)，设点P的横坐标为x0，则x0＝cos∠xOP＝cos＝cos ＝．故选B．
2．已知α为第二象限角，则(　　)
A．2sin2α－1<0 B．sin α(1＋cos α)>0
C．sin αcos α>0 D．sin αtan α>0
解析：B　∵α为第二象限角，∴00，sin αcos α<0，sin αtan α<0．故选B．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　 B．2　　　　　
C．3　　　　 D．4
解析：C　①中－是第三象限角，从而①错．②中＝π＋，则是第三象限角，从而②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．(2022·福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为(　　)
A．π B．－π
C．π D．－π
解析：B　分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，∴－840°×＝－π，故选B．
3．若α是第二象限角，则(　　)
A．cos(－α)>0 B．tan >0
C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<0
解析：B　若α是第二象限角，则cos(－α)＝cos α<0，故A错误；为第一、三象限角，则tan >0，故B正确；sin(π＋α)＝－sin α<0，故C错误；cos(π－α)＝－cos α>0，故D错误．故选B．
4．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原点顺时针旋转到达点Q(3,4)的位置，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：D　依题意可知Q(3,4)在角α－的终边上，所以sin＝＝，故选D．
5．(2022·淄博模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
解析：A　∵<2<3<π<4<，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0．
6．(多选)(2022·长沙长郡中学高三模拟)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　)
A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°
C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°
解析：AC　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由α和β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以满足条件的为A、C．故选A、C．
7．(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S2，圆心角为α2，当S1与S2的比值为≈0．618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么(　　)
A．α1≈127．5° B．α1≈137．5°
C．α2＝(－1)π D．＝
解析：BCD　设扇形的半径为R，由＝＝＝，故D正确；由α1＋α2＝2π，所以α2＋α2＝2π，解得α2＝(－1)π，故C正确；由≈0．618，则－1≈1．236，所以α2＝(－1)π≈1．236×180°≈222．5°，所以α1≈360°－222．5°＝137．5°，故B正确．故选B、C、D．
8．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________．
解析：依题意，得cos α＝＝x<0，由此解得x＝－．
答案：－
9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值．
解：(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为OM＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±．
又α为第四象限角，故m<0，
所以m＝－，sin α＝＝＝－．
B级——综合应用
10．在平面直角坐标系中，已知点P(cos t，sin t)，A(2,0)，当t由变化到时，线段AP扫过形成图形的面积等于(　　)
A．2 B． C． D．
解析：C　当t＝时，设点P在B处，当t＝时，设点P在C处，如图所示，线段AP扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，因为BC∥x轴，所以S△COA＝S△BOA S△COD＝S△BDA，所以线段AP扫过形成图形的面积等于扇形BOC的面积，S扇形BOC＝×12×＝．故选C．
11．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为．
答案：
12.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段弧上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α解析：因为tan α答案：
13．(2022·合肥模拟)若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝．
综上，sin θ＋cos θ＝±．
(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；
当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0．
综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
C级——迁移创新
14．(多选)(2022·武汉质检)在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点p(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sos θ＝，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y＝sos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是(　　)
A．该函数的值域为[－，]
B．该函数的图象关于原点对称
C．该函数的图象关于直线x＝对称
D．该函数为周期函数，且最小正周期为2π
解析：AD　A中，由三角函数的定义可知x0＝rcos x，y0＝rsin x，所以y＝sos x＝＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，所以是正确的；
B中，y＝sos x＝sin，所以f(0)＝sin＝1≠0，所以函数关于原点对称是错误的；
C中，当x＝时，f＝sin＝sin π＝0≠±，所以图象关于直线x＝对称是错误的；
D中，y＝sos x＝sin，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确的．故选A、D．
15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
解：(1)由题意得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
∴θ＝(0(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50，
装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，
∴花坛的面积与装饰总费用的比y＝(0令t＝17＋x，则t∈(17,27)，则y＝－≤－ ＝，
当且仅当t＝，即t＝18时，y取得最大值，最大值为，此时x＝1，θ＝．
故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．

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