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云南省昆明市安宁市2022年初中学业水平考试第一次模拟测试数学试题
一、单选题
1．（2021·鄂尔多斯）在实数 中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．-1 D．
【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，
∴-1＜0＜|-2|＜
∴最小的数为：-1
故答案为：C
【分析】先求出-1＜0＜|-2|＜ ，再求出最小的数即可。
2．（2021·大连）如图， ， ，垂足为E，若 ，则 的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
3．（2022·安宁模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；二次根式的加减法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的减法、完全平方公式、负指数幂、积的乘方和幂的乘方逐项判断即可。
4．（2021·济宁）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法，其中正确的是（　　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形
【答案】A
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：圆柱体的左视图是矩形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。
5．（2022·安宁模拟）如图，已知、是的两条直径，，那么（　　）
A．62° B．56° C．42° D．28°
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
、是的两条直径，
，
，
，
．
故答案为：D.
【分析】连接AC，先证明AD//BC，再利用平行线的性质可得。
6．（2022·安宁模拟）要使分式有意义，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件可得。
7．（2022·安宁模拟）新定义运算：，则方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
方程即为
方程的根的情况是：有两个相等的实数根
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程的根的判别式求解即可。
8．（2022·安宁模拟）下列说法不正确的是（　　）
A．在“双减”政策下，某校为了解八年级500名学生的睡眠时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则样本容量是200
B．“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件
C．调查江苏卫视大型科学竞技真人秀《最强大脑》节目的收视率，应采用全面调查
D．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A. 在“双减”政策下，某校为了解八年级500名学生的睡眠时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则样本容量是200，不符合题意；
B. “画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件，不符合题意；
C. 调查江苏卫视大型科学竞技真人秀《最强大脑》节目的收视率，范围广，应采用抽样调查，符合题意；
D. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据样本容量的定义、必然事件的定义、全面调查的优缺点及利用频率估算概率逐项判断即可。
9．（2022·安宁模拟）观察下列等式：，，，，…，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由已知可知，，，……
第个式子为：
则．
故答案为：B．
【分析】根据前几项的数据与序号的关系可得规律，再将n的2021代入计算即可。
10．（2022·安宁模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，
解得，故．
故答案为：A．
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据角平分线的性质可得DC=DH，再利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
11．（2022·安宁模拟）关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵
∴
∵不等式的解集为x＜2，
∴2a≥2，即a≥1．
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再结合不等式组的解集为可得2a≥2，再求出a的取值范围即可。
12．（2021·泸县）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论： （其中R为△ABC的外接圆半径）成立.在△ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
由题意可知 ，
∴ ，
∴S圆= .
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= ，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD= ，
∴AD=OAcos30°，
∴OA= ，
∴S圆= .
故答案为：A.
【分析】法一：利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数，然后代入可求出R的值；然后利用圆的面积公式可求出结果；法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，利用圆周角定理求出∠AOB的度数，即可求出∠OAB的度数，利用解直角三角形求出AD的长及OA的长；然后利用圆的面积公式可求解.
二、填空题
13．（2022·安宁模拟）的平方根是　 　．
【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：的平方根为±=±．
故答案为：±．
【分析】利用平方根的性质求解即可。
14．（2015八上·郯城期末）化简： =　 　．
【答案】x+2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
= ﹣
=
=x+2．
故答案为：x+2．
【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．
15．（2021·呼和浩特）正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，若A点坐标为 ，则 　 　．
【答案】-8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 和 过点A
故答案为 ．
【分析】先求出，，再计算求解即可。
16．（2021·鄂尔多斯）如图，小梅把一顶底面半径为 的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为 的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为　 　 ．
【答案】30
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面周长=2π×10=20π（cm），
∴ ，即：r=30，
故答案是：30．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
17．（2022·安宁模拟）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵
∴
∴
∵
故答案为：
【分析】先求出∠ACD=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用线段的和差可得。
18．（2021·沈阳）如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线BC上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则的长是　 　．
【答案】或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，，，
，，
，
为直角三角形，
①当点D位于点左侧时，如图：
设直线交BE于点M，
，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点D位于点右侧时，如图：
与①同理，此时，
，
解得：，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【分析】结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点C的位置要进行分类讨论。
三、解答题
19．（2022·安宁模拟）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
四、八年级抽取学生的测试成绩统计表
20．（2022·安宁模拟）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
【答案】（1）8；8
（2）解：七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率
∴七年级学生的党史知识掌握得较好；
（3）解：从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有500人×80%＝400人，
八年级达到优秀的人数可能有500人×60%＝300人，
所以两个年级能达优秀的总人数可能会有700人；
【知识点】简单事件概率的计算；众数
【解析】【解答】(1)根据题意可知：
七年级学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
其中8出现的次数最多，
众数为8，
八年级学生的成绩的中位数为：第8个，成绩为8
则中位数为8，
＝8， ＝8；
故答案为：8，8.
【分析】（1）直接根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据成绩优秀率直接对比即可；
（3）用各年级的总人数分别乘以各年级测试成绩的优秀率即可求解。
21．（2021·鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是　 　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）总共由4张海报，即由四种情况，抽到B海报的情况为1，因此利用概率公式即可求解；
（2）先利用树状图求出所有情况的数量，再算出符合要求的情况数，最后利用概率公式求解即可。
22．（2021九上·砚山期末）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，，垂足为E，点F在AD的延长线上，，垂足为．
（1）求证：四边形CEHF是菱形；
（2）已知四边形CEHF的周长为，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD．
∵，，
∴．
∵H为对角线AC的中点，
∴．
∵，
∴△CEH是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形CEHF是菱形．
（2）解：连接BD，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=BC，
∴∠BCA=∠EAC．
∵四边形CEHF是菱形，周长为16，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴菱形ABCD的面积．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 AC平分∠BAD ，再求出 △CEH是等边三角形， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠BCA=∠EAC，再利用锐角三角函数和菱形的面积公式计算求解即可。
23．（2022·安宁模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求的半径长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
（2）证明：∵是的切线，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
（3）解：，
，
，，
，
，
的半径长．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明OD//CA，再结合可得，从而得到EF是的切线；
（2）先证明，再结合可得，再结合可得；
（3）根据相似三角形的性质可得，再将数据代入可得，再利用线段的和差可得，从而得到圆的半径。
24．（2021九上·郑州期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝
，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克.已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）.
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；
（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
【答案】（1）；27
（2）解：由题意，第x天的销售量为42+6（x﹣1）＝6x+36，
∴第x天的售价为y＝ ，
∴当1≤x＜20时，
W＝（﹣ x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x2+102x+720，
当20≤x＜30时，
W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216，
综上，W＝ ，且x为正整数，
（3）解：当1≤x＜20，W＝1224时，
﹣3x2+102x+720＝1224，
解得：x1＝6，x2＝28，
∵﹣3＜0，
∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x为正整数，
∴x可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天，
当20≤x≤30，W＝1224时，
36x+216＝1224，
解得：x＝28，
∵36＞0，
∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x为正整数，
∴x可取28，29，30共3天，
14+3＝17（天），
综上，当天利润不低于1224元的共有17天.
【知识点】分段函数；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）∵第14天的售价为34元/千克，
∴当x＝14时，y＝34，
∵1＜14＜20，
∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m中，
14m﹣82m＝34，
解得：m＝﹣
，
∵第27天的售价为27元/千克，
∴当x＝27时，y＝27，
∵27＞20，
∴把y＝27代入y＝n中，
得：n＝27，
故答案为：﹣
，27；
【分析】（1）根据第14天的售价为34元/千克可得当x＝14时，y＝34，代入y＝mx﹣82m中求解就可得到m的值；根据第27天的售价为27元/千克可得当x＝27时，y＝27，代入y＝n中可得n的值；
（2） 由题意可得：第x天的销售量为42+6(x-1)＝6x+36，根据m、n的值可得第x天的售价，然后根据(售价-进价)×售价= 总利润可得W与x的关系式；
（3）令W=1124，求出x的值，结合一次函数、二次函数的性质求解即可.
25．（2022·安宁模拟）如图，抛物线与轴交于点、（与的左侧），交轴的负半轴于点，，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线对称轴与轴的交点，点是第三象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的结论下，绕点旋转直线得到直线，当直线经过点时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点，到直线的距离分别为，，当最大时，求直线旋转的角度．
【答案】（1）解：∵点的坐标为
∴OB=1，
∵，
∴OC=3
∵点C在轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（0，-3），
把点B、C坐标代入，得：
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵
∴抛物线顶点坐标为
∴
∴
设，连接OP，如图①
∴
∵
∴当时，的面积有最大值，此时
（3）解：过点P作EF//l，过点C作于点M，如图，
根据题意可知，，
在中，，
∴当点M与点P重合时CM最大，即
∵//l，点M与点P重合
∴
∵
∴，
由（2）得，当点P的坐标为时，的面积有最大值，最大值为
∴
∴
在中，
∴∠
∴当最大时，直线l旋转的角度是45°
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点B、C的坐标代入可得b、c的值；
（2）设，连接OP，利用割补法可得，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点P作EF//l，过点C作于点M，利用勾股定理求出CD和PC的长，再利用，求出，再利用余弦的定义可得，从而得到∠NDC=45°，即可得到当最大时，直线l旋转的角度是45°。
1 / 1云南省昆明市安宁市2022年初中学业水平考试第一次模拟测试数学试题
一、单选题
1．（2021·鄂尔多斯）在实数 中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．-1 D．
2．（2021·大连）如图， ， ，垂足为E，若 ，则 的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．90°
3．（2022·安宁模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021·济宁）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法，其中正确的是（　　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形
5．（2022·安宁模拟）如图，已知、是的两条直径，，那么（　　）
A．62° B．56° C．42° D．28°
6．（2022·安宁模拟）要使分式有意义，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·安宁模拟）新定义运算：，则方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
8．（2022·安宁模拟）下列说法不正确的是（　　）
A．在“双减”政策下，某校为了解八年级500名学生的睡眠时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则样本容量是200
B．“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件
C．调查江苏卫视大型科学竞技真人秀《最强大脑》节目的收视率，应采用全面调查
D．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个
9．（2022·安宁模拟）观察下列等式：，，，，…，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·安宁模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（　　）
A．3 B． C． D．
11．（2022·安宁模拟）关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（2021·泸县）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论： （其中R为△ABC的外接圆半径）成立.在△ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022·安宁模拟）的平方根是　 　．
14．（2015八上·郯城期末）化简： =　 　．
15．（2021·呼和浩特）正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，若A点坐标为 ，则 　 　．
16．（2021·鄂尔多斯）如图，小梅把一顶底面半径为 的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为 的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为　 　 ．
17．（2022·安宁模拟）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为　 　．
18．（2021·沈阳）如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线BC上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则的长是　 　．
三、解答题
19．（2022·安宁模拟）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
四、八年级抽取学生的测试成绩统计表
20．（2022·安宁模拟）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
21．（2021·鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是　 　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
22．（2021九上·砚山期末）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，，垂足为E，点F在AD的延长线上，，垂足为．
（1）求证：四边形CEHF是菱形；
（2）已知四边形CEHF的周长为，求菱形ABCD的面积．
23．（2022·安宁模拟）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求的半径长．
24．（2021九上·郑州期末）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝
，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克.已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）.
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；
（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
25．（2022·安宁模拟）如图，抛物线与轴交于点、（与的左侧），交轴的负半轴于点，，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线对称轴与轴的交点，点是第三象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的结论下，绕点旋转直线得到直线，当直线经过点时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点，到直线的距离分别为，，当最大时，求直线旋转的角度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，
∴-1＜0＜|-2|＜
∴最小的数为：-1
故答案为：C
【分析】先求出-1＜0＜|-2|＜ ，再求出最小的数即可。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；二次根式的加减法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的减法、完全平方公式、负指数幂、积的乘方和幂的乘方逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：圆柱体的左视图是矩形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
、是的两条直径，
，
，
，
．
故答案为：D.
【分析】连接AC，先证明AD//BC，再利用平行线的性质可得。
6．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件可得。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
方程即为
方程的根的情况是：有两个相等的实数根
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程的根的判别式求解即可。
8．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A. 在“双减”政策下，某校为了解八年级500名学生的睡眠时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则样本容量是200，不符合题意；
B. “画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件，不符合题意；
C. 调查江苏卫视大型科学竞技真人秀《最强大脑》节目的收视率，范围广，应采用抽样调查，符合题意；
D. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据样本容量的定义、必然事件的定义、全面调查的优缺点及利用频率估算概率逐项判断即可。
9．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由已知可知，，，……
第个式子为：
则．
故答案为：B．
【分析】根据前几项的数据与序号的关系可得规律，再将n的2021代入计算即可。
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，
解得，故．
故答案为：A．
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据角平分线的性质可得DC=DH，再利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
11．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵
∴
∵不等式的解集为x＜2，
∴2a≥2，即a≥1．
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再结合不等式组的解集为可得2a≥2，再求出a的取值范围即可。
12．【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
由题意可知 ，
∴ ，
∴S圆= .
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= ，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD= ，
∴AD=OAcos30°，
∴OA= ，
∴S圆= .
故答案为：A.
【分析】法一：利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数，然后代入可求出R的值；然后利用圆的面积公式可求出结果；法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，利用圆周角定理求出∠AOB的度数，即可求出∠OAB的度数，利用解直角三角形求出AD的长及OA的长；然后利用圆的面积公式可求解.
13．【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：的平方根为±=±．
故答案为：±．
【分析】利用平方根的性质求解即可。
14．【答案】x+2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
= ﹣
=
=x+2．
故答案为：x+2．
【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．
15．【答案】-8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 和 过点A
故答案为 ．
【分析】先求出，，再计算求解即可。
16．【答案】30
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面周长=2π×10=20π（cm），
∴ ，即：r=30，
故答案是：30．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
17．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵
∴
∴
∵
故答案为：
【分析】先求出∠ACD=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用线段的和差可得。
18．【答案】或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，，，
，，
，
为直角三角形，
①当点D位于点左侧时，如图：
设直线交BE于点M，
，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点D位于点右侧时，如图：
与①同理，此时，
，
解得：，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【分析】结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点C的位置要进行分类讨论。
20．【答案】（1）8；8
（2）解：七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率
∴七年级学生的党史知识掌握得较好；
（3）解：从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有500人×80%＝400人，
八年级达到优秀的人数可能有500人×60%＝300人，
所以两个年级能达优秀的总人数可能会有700人；
【知识点】简单事件概率的计算；众数
【解析】【解答】(1)根据题意可知：
七年级学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
其中8出现的次数最多，
众数为8，
八年级学生的成绩的中位数为：第8个，成绩为8
则中位数为8，
＝8， ＝8；
故答案为：8，8.
【分析】（1）直接根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据成绩优秀率直接对比即可；
（3）用各年级的总人数分别乘以各年级测试成绩的优秀率即可求解。
21．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）总共由4张海报，即由四种情况，抽到B海报的情况为1，因此利用概率公式即可求解；
（2）先利用树状图求出所有情况的数量，再算出符合要求的情况数，最后利用概率公式求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD．
∵，，
∴．
∵H为对角线AC的中点，
∴．
∵，
∴△CEH是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形CEHF是菱形．
（2）解：连接BD，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=BC，
∴∠BCA=∠EAC．
∵四边形CEHF是菱形，周长为16，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴菱形ABCD的面积．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 AC平分∠BAD ，再求出 △CEH是等边三角形， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠BCA=∠EAC，再利用锐角三角函数和菱形的面积公式计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
（2）证明：∵是的切线，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
（3）解：，
，
，，
，
，
的半径长．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明OD//CA，再结合可得，从而得到EF是的切线；
（2）先证明，再结合可得，再结合可得；
（3）根据相似三角形的性质可得，再将数据代入可得，再利用线段的和差可得，从而得到圆的半径。
24．【答案】（1）；27
（2）解：由题意，第x天的销售量为42+6（x﹣1）＝6x+36，
∴第x天的售价为y＝ ，
∴当1≤x＜20时，
W＝（﹣ x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x2+102x+720，
当20≤x＜30时，
W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216，
综上，W＝ ，且x为正整数，
（3）解：当1≤x＜20，W＝1224时，
﹣3x2+102x+720＝1224，
解得：x1＝6，x2＝28，
∵﹣3＜0，
∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x为正整数，
∴x可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天，
当20≤x≤30，W＝1224时，
36x+216＝1224，
解得：x＝28，
∵36＞0，
∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x为正整数，
∴x可取28，29，30共3天，
14+3＝17（天），
综上，当天利润不低于1224元的共有17天.
【知识点】分段函数；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）∵第14天的售价为34元/千克，
∴当x＝14时，y＝34，
∵1＜14＜20，
∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m中，
14m﹣82m＝34，
解得：m＝﹣
，
∵第27天的售价为27元/千克，
∴当x＝27时，y＝27，
∵27＞20，
∴把y＝27代入y＝n中，
得：n＝27，
故答案为：﹣
，27；
【分析】（1）根据第14天的售价为34元/千克可得当x＝14时，y＝34，代入y＝mx﹣82m中求解就可得到m的值；根据第27天的售价为27元/千克可得当x＝27时，y＝27，代入y＝n中可得n的值；
（2） 由题意可得：第x天的销售量为42+6(x-1)＝6x+36，根据m、n的值可得第x天的售价，然后根据(售价-进价)×售价= 总利润可得W与x的关系式；
（3）令W=1124，求出x的值，结合一次函数、二次函数的性质求解即可.
25．【答案】（1）解：∵点的坐标为
∴OB=1，
∵，
∴OC=3
∵点C在轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（0，-3），
把点B、C坐标代入，得：
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵
∴抛物线顶点坐标为
∴
∴
设，连接OP，如图①
∴
∵
∴当时，的面积有最大值，此时
（3）解：过点P作EF//l，过点C作于点M，如图，
根据题意可知，，
在中，，
∴当点M与点P重合时CM最大，即
∵//l，点M与点P重合
∴
∵
∴，
由（2）得，当点P的坐标为时，的面积有最大值，最大值为
∴
∴
在中，
∴∠
∴当最大时，直线l旋转的角度是45°
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点B、C的坐标代入可得b、c的值；
（2）设，连接OP，利用割补法可得，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点P作EF//l，过点C作于点M，利用勾股定理求出CD和PC的长，再利用，求出，再利用余弦的定义可得，从而得到∠NDC=45°，即可得到当最大时，直线l旋转的角度是45°。
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