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广东省广州市增城区2022年九年级中考一模数学试题
一、单选题
1．（2022·增城模拟）实数 的绝对值是（　　）
A． B．5 C．0 D．±5
2．（2022·增城模拟）下列正多边形中，对称轴最多的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·增城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·灌云月考）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点 与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
5．（2022·增城模拟）一组数据2，4，5，3，2的中位数是（　　）
A．5 B．3.5 C．3 D．2.5
6．（2022·增城模拟）一种药品原价每盒25元经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都相同为 ，则 满足方程（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020·如皋模拟）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα ，则小车上升的高度是（　　）
A．5m B．6m C．6.5m D．12m
8．（2021八下·利辛期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2022·增城模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C=50°，则∠AOD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．70° D．80°
10．（2022·增城模拟）如图，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角ΔABC，∠BAC=90°，则直线BC的解析式为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·增城模拟）不等式 的解集是　 　．
12．（2018八上·自贡期末）分解因式： =　 　.
13．（2022·增城模拟）一个圆锥的母线长为3，底面的半径为1，则该圆锥的侧面积为　 　．（结果保留π）
14．（2021·天河模拟）如图，点E是矩形 边上一点， 于点F，若 ，则 的长为　 　．
15．（2022·增城模拟）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转60°，得到 ，连接 交 于点 ，则 与 的周长之和为　 　．
16．（2022·增城模拟）如图，点 是正方形 的对角线 延长线上的一点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，则下列结论中，正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
三、解答题
17．（2020七下·厦门期末）解方程组：
18．（2022·增城模拟）如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN．
19．（2022·增城模拟）已知A＝（a﹣ ）÷ ．
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝ 的图象的交点，求A的值．
20．（2022·增城模拟）2022年2月4日，北京冬奥会正式拉开帷幕，小明同学非常喜欢冰球、短道速滑、自由式滑雪、冰壶、花样滑冰这五个项目，他也想知道大家对这五个项目的喜爱程度，于是他对所在小区的居民做了一次随机调查统计，让每个人在这五个项目中选一项最喜欢的，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（其中A冰球、B短道速滑、C自由式滑雪、D冰壶、E花样滑冰）
（1）请补全条形统计图；
（2）由于小明同学能够观看比赛的时间有限，所以他只能从这五个项目中随机选两个项目观看，用列举法求小明选到项目B，C的概率．
21．（2022·增城模拟）如图，已知反比例函数 （ 为常数）．
（1）点 为该反比例函数图象上的两点，直接写出 和 的大小关系；
（2）设点 是图象上的一点，过点 作 轴于点 ． 为坐标原点，若 ， ．求 的值并直接写出不等式 的解集．
22．（2022·增城模拟）为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来小涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．
（1）求第一批足球每个的进价是多少元？
（2）若商店将第一批足球以售价70元，第二批足球以售价80元全部售出，则其盈利多少元？
23．（2022·增城模拟）如图，在 中， ．
（1）尺规作图：以 为直径作 交 于点 ，交 于点 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，
①连接 ，求证： ；
②设 相交于点 ，若 ，求 的值．
24．（2022·增城模拟）已知抛物线 的顶点为 ．
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）经过探究发现，随着 的变化，顶点 在某直线 上运动，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，求 的面积；
（3）若抛物线与直线 的另一交点为 ，以 为直径的圆与坐标轴相切，求 的值．
25．（2022·增城模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3．
（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC =
BD．求AC + OD的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：实数﹣5的绝对值是：5．
故答案为：B．
【分析】根据绝对值的性质可得答案。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形有三条对称轴，故本选项不符合题意；
B、正方形有4条对称轴，故本选项不符合题意；
C、正五边形有5条对称轴，故本选项不符合题意；
D、正六边形有6条对称轴，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】分别求出各选项的对称轴的数量，再比较大小即可。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.2a与5b不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
∵ ，
∴点P在 内.
故A正确，B、C、D错误，
故答案为：A.
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出OP=4＜半径5，得出点P在 内，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5.
∵数据个数为奇数，最中间的数是3，
∴这组数据的中位数是3.
故答案为：C．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义求解即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为25（1-x），
第二次降价后的价格为25（1-x）×（1-x）=25×（1-x）2，
∴列的方程为25（1-x）2=16，
故答案为：B．
【分析】利用含x的表达式表示出第二次降价后的价格可得方程25（1-x）2=16。
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设小车上升的高度是xm.
∵sinα ，
∴ ，
解得：x=5.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义sinα==可求解.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AB=AC=8，AD是角平分线，
∴BD=CD，
∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE==4.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质得出BD=CD，根据三角形中线的定义得出AE=CE，从而得出DE是△ABC的中位线，得出DE=，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠BCA=90°，
∵∠C=50°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=40°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=40°+40°=80°，
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和及切线的性质求出∠ABC=90°-50°=40°，再利用圆周角的性质可得∠AOD=2∠ABC=80°。
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，
令y=0，得到x=-3，即A（-3，0），OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中， ，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C（-5，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），
∴ ，
解得 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=- x+2．
故答案为：C．
【分析】过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，先利用“AAS”证明△CAM≌△ABO可得AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，求出点C的坐标，再结合点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可。
11．【答案】x＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项得：x＜2-1，
合并得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【分析】利用不等式的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
13．【答案】3π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积＝π×1×3＝3π，
故填：3π.
【分析】利用圆锥的侧面积的公式求解即可。
14．【答案】6
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在矩形 中， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为6．
【分析】先利用平行线的性质和三角形的内角和得到，再利用锐角三角函数列出比例式求出AF即可。
15．【答案】55
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝ ＝ ＝17，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，
∴BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BD＝BC＝15，
∴△ACF与△BDF的周长之和
＝AC+CF+AF+DF+BD+BF
＝AC+CD+AB+BD
＝8+15+17+15
＝55，
故答案为：55．
【分析】根据旋转的性质得到BD=BC=15，从而得到△BCD是等边三角形，得到CD＝BD＝BC＝15，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB=17，于是得到结论。
16．【答案】①②③
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】①解法一：如图1，在 上取一点 ，使 ，连接 、 ，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
；
解法二：如图2，连接 ，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故①符合题意；
②如图3，连接 ，由①知： ， ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，即 ，
，
；
故②符合题意；
③如图4，连接 交 于 ，由②知： ，
四边形 是正方形，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
故③符合题意；
④如图4中，在 和 中，
，
，
，
，
故④不符合题意；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
【分析】①解法一：先利用“SAS”证明，得到BG=PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；解法二：利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；
②作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；
③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；
④先利用“AAS”证明，则，可作判断。
17．【答案】 ，
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：
2﹣y=1，
y=1．
则原方程组的解为： ．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C，
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DMA=∠DNC=90°，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（AAS），
∴AM=CN．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用“AAS”证明△DAM≌△DCN，再利用全等三角形的性质可得AM=CN。
19．【答案】（1）解：A＝（a﹣ ）÷
＝
＝
＝ ．
（2）解：∵点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝ 的图象的交点，
∴将点P（a，b）分别代入得， ，
∴ ，
∴A＝ ＝2．
【知识点】分式的混合运算；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算化简可得答案；
（2）将点P的坐标代入y＝x﹣2和可得，化解可得，然后将其代入计算即可。
20．【答案】（1）解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200（人），
C项目人数为200-（20+70+20+50）=40（人），
补全条形图如下：
（2）解：列表如下：
　 A B C D E
A 　 （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） 　 （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） 　 （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） 　 （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） 　
共有20种等可能的结果数，其中选到B，C两个项目的结果数为2，
∴他同时选到B，C这两个项目的概率是 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用“D”的人数除以对应的百分比可得总人数，再利用总人数求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．【答案】（1）解：
（2）解：∵点 在反比例函数 的图象上， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
不等式 ，移项得： ，
设 ，
①当 时，则 ， ，
联立
解得 ，
所以正比例函数 与反比例函数 的交点横坐标为 或 ，
由图像可知 时， 的解集为： 或 ；
②当 时，则 ， ，
由图像可知 时，不等式 的解集为： ．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(1)∵ ，
∴反比例函数在每一个象限内 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）利用反比例函数的性质求解即可；
（2）先求出k的值，然后分两种情况：①当 时，则 ， ，②当 时，则 ， ，再结合函数图象利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
22．【答案】（1）解：设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，
依题意得： =40，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进足球每个的进价是50元．
（2）解：第一批购进足球的数量为10000÷50=200（个），
第二批购进足球的数量为200-40=160（个），
共盈利（200×70-10000）+（160×80-10000）=4000+2800=6800（元）．
答：一共盈利6800元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，根据题意列出方程求解即可；
（2）利用“利润=售价-进价”计算即可。
23．【答案】（1）解：如图，
（2）①证明：连接AD，
∵AB为 的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥BE；
②解：∵ ，
∴ ，
由（1）知 是 的中位线，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴OD=OF+DF=2CE，
∵AC=2OD=4CE，
∵∠BEC=∠ADC=90°，∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作出AB的中垂线确定出圆心O，再以O为圆心，OA为半径画圆，即可作出图形；
（2）①连接AD，判断出BD=CD，进而得出OD//AC，再判断出OD⊥BE，即可得出结论；
②先证明△BEC∽△ADC，可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
24．【答案】（1）解：当 时，
＝ ，
∴顶点为 坐标为 ；
（2）解： ，
∴顶点坐标为 ，
即顶点 满足 ， ，
∴顶点所在直线 的解析式为： ，
令 得 ，令 得 ，
∴ ， ，
∴ 的面积 ；
（3）解： 得：
或 ，
∴ ， ，
∴ ，
根据中点坐标公式，得以 为直径的圆的圆心坐标为 ，
以 为直径的圆与坐标轴相切，分两种情况：
①以 为直径的圆与 轴相切，
则 ，
即 ，
解得 或 ，
②以 为直径的圆与 轴相切，
则 ，
解得 或 ，
综上所述，以 为直径的圆与坐标轴相切， 或 或 或 ．
【知识点】切线的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将m=1代入解析式，配成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）用m的代数式表示出顶点横、纵坐标，消去m得到直线l解析式，求出A、B的坐标，即可求出△AOB的面积；
（3）求出P、Q坐标和以PQ为直径的圆的圆心和直径，根据以PQ为直径的圆与坐标轴相切列方程，即可得到m的值。
25．【答案】（1）解：∵A的坐标为（5，0），
∴OA=5，
∴ ，
∴△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；
（2）解：如图所示，当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∴OB=OP=3，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠PFO=∠PDB=∠OEB=90°，
∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°，
∴∠OPF=∠BOE，
在△OPF和△BOE中，
，
∴△OPF≌△BOE（AAS），
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；
如图所示，当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥BE交EB延长线于F，交y轴于D
同理可以求出 ， ，
同理可以证明△PFB≌△BEO（AAS），
∴ ， ，
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；
∴综上所述，存在点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；
（3）解：如图所示，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，
由（2）可知H的坐标为（ ， ），
∴ ．
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）当∠POB=90°，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，首先利用等面积法求出BE的长，再利用“AAS”证明△OPF≌△BOE，得到，，即可得出点P的坐标；当∠PBO=90°，同理可求；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用“SAS”证明△HOC≌△OBD，得到OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长。
1 / 1广东省广州市增城区2022年九年级中考一模数学试题
一、单选题
1．（2022·增城模拟）实数 的绝对值是（　　）
A． B．5 C．0 D．±5
【答案】B
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：实数﹣5的绝对值是：5．
故答案为：B．
【分析】根据绝对值的性质可得答案。
2．（2022·增城模拟）下列正多边形中，对称轴最多的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形有三条对称轴，故本选项不符合题意；
B、正方形有4条对称轴，故本选项不符合题意；
C、正五边形有5条对称轴，故本选项不符合题意；
D、正六边形有6条对称轴，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】分别求出各选项的对称轴的数量，再比较大小即可。
3．（2022·增城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.2a与5b不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
4．（2021九上·灌云月考）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点 与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
∵ ，
∴点P在 内.
故A正确，B、C、D错误，
故答案为：A.
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出OP=4＜半径5，得出点P在 内，即可得出答案.
5．（2022·增城模拟）一组数据2，4，5，3，2的中位数是（　　）
A．5 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5.
∵数据个数为奇数，最中间的数是3，
∴这组数据的中位数是3.
故答案为：C．
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义求解即可。
6．（2022·增城模拟）一种药品原价每盒25元经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都相同为 ，则 满足方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为25（1-x），
第二次降价后的价格为25（1-x）×（1-x）=25×（1-x）2，
∴列的方程为25（1-x）2=16，
故答案为：B．
【分析】利用含x的表达式表示出第二次降价后的价格可得方程25（1-x）2=16。
7．（2020·如皋模拟）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα ，则小车上升的高度是（　　）
A．5m B．6m C．6.5m D．12m
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设小车上升的高度是xm.
∵sinα ，
∴ ，
解得：x=5.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义sinα==可求解.
8．（2021八下·利辛期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AB=AC=8，AD是角平分线，
∴BD=CD，
∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE==4.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质得出BD=CD，根据三角形中线的定义得出AE=CE，从而得出DE是△ABC的中位线，得出DE=，即可得出答案.
9．（2022·增城模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C=50°，则∠AOD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠BCA=90°，
∵∠C=50°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=40°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=40°+40°=80°，
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和及切线的性质求出∠ABC=90°-50°=40°，再利用圆周角的性质可得∠AOD=2∠ABC=80°。
10．（2022·增城模拟）如图，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角ΔABC，∠BAC=90°，则直线BC的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，
令y=0，得到x=-3，即A（-3，0），OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中， ，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C（-5，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），
∴ ，
解得 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=- x+2．
故答案为：C．
【分析】过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，先利用“AAS”证明△CAM≌△ABO可得AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，求出点C的坐标，再结合点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可。
二、填空题
11．（2022·增城模拟）不等式 的解集是　 　．
【答案】x＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项得：x＜2-1，
合并得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【分析】利用不等式的性质求解即可。
12．（2018八上·自贡期末）分解因式： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
13．（2022·增城模拟）一个圆锥的母线长为3，底面的半径为1，则该圆锥的侧面积为　 　．（结果保留π）
【答案】3π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积＝π×1×3＝3π，
故填：3π.
【分析】利用圆锥的侧面积的公式求解即可。
14．（2021·天河模拟）如图，点E是矩形 边上一点， 于点F，若 ，则 的长为　 　．
【答案】6
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在矩形 中， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为6．
【分析】先利用平行线的性质和三角形的内角和得到，再利用锐角三角函数列出比例式求出AF即可。
15．（2022·增城模拟）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转60°，得到 ，连接 交 于点 ，则 与 的周长之和为　 　．
【答案】55
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝ ＝ ＝17，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，
∴BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BD＝BC＝15，
∴△ACF与△BDF的周长之和
＝AC+CF+AF+DF+BD+BF
＝AC+CD+AB+BD
＝8+15+17+15
＝55，
故答案为：55．
【分析】根据旋转的性质得到BD=BC=15，从而得到△BCD是等边三角形，得到CD＝BD＝BC＝15，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB=17，于是得到结论。
16．（2022·增城模拟）如图，点 是正方形 的对角线 延长线上的一点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，则下列结论中，正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①②③
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】①解法一：如图1，在 上取一点 ，使 ，连接 、 ，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
；
解法二：如图2，连接 ，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故①符合题意；
②如图3，连接 ，由①知： ， ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，即 ，
，
；
故②符合题意；
③如图4，连接 交 于 ，由②知： ，
四边形 是正方形，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
故③符合题意；
④如图4中，在 和 中，
，
，
，
，
故④不符合题意；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
【分析】①解法一：先利用“SAS”证明，得到BG=PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；解法二：利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；
②作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；
③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；
④先利用“AAS”证明，则，可作判断。
三、解答题
17．（2020七下·厦门期末）解方程组：
【答案】 ，
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：
2﹣y=1，
y=1．
则原方程组的解为： ．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.
18．（2022·增城模拟）如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C，
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DMA=∠DNC=90°，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（AAS），
∴AM=CN．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用“AAS”证明△DAM≌△DCN，再利用全等三角形的性质可得AM=CN。
19．（2022·增城模拟）已知A＝（a﹣ ）÷ ．
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝ 的图象的交点，求A的值．
【答案】（1）解：A＝（a﹣ ）÷
＝
＝
＝ ．
（2）解：∵点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝ 的图象的交点，
∴将点P（a，b）分别代入得， ，
∴ ，
∴A＝ ＝2．
【知识点】分式的混合运算；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算化简可得答案；
（2）将点P的坐标代入y＝x﹣2和可得，化解可得，然后将其代入计算即可。
20．（2022·增城模拟）2022年2月4日，北京冬奥会正式拉开帷幕，小明同学非常喜欢冰球、短道速滑、自由式滑雪、冰壶、花样滑冰这五个项目，他也想知道大家对这五个项目的喜爱程度，于是他对所在小区的居民做了一次随机调查统计，让每个人在这五个项目中选一项最喜欢的，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（其中A冰球、B短道速滑、C自由式滑雪、D冰壶、E花样滑冰）
（1）请补全条形统计图；
（2）由于小明同学能够观看比赛的时间有限，所以他只能从这五个项目中随机选两个项目观看，用列举法求小明选到项目B，C的概率．
【答案】（1）解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200（人），
C项目人数为200-（20+70+20+50）=40（人），
补全条形图如下：
（2）解：列表如下：
　 A B C D E
A 　 （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） 　 （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） 　 （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） 　 （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） 　
共有20种等可能的结果数，其中选到B，C两个项目的结果数为2，
∴他同时选到B，C这两个项目的概率是 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用“D”的人数除以对应的百分比可得总人数，再利用总人数求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．（2022·增城模拟）如图，已知反比例函数 （ 为常数）．
（1）点 为该反比例函数图象上的两点，直接写出 和 的大小关系；
（2）设点 是图象上的一点，过点 作 轴于点 ． 为坐标原点，若 ， ．求 的值并直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）解：
（2）解：∵点 在反比例函数 的图象上， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
不等式 ，移项得： ，
设 ，
①当 时，则 ， ，
联立
解得 ，
所以正比例函数 与反比例函数 的交点横坐标为 或 ，
由图像可知 时， 的解集为： 或 ；
②当 时，则 ， ，
由图像可知 时，不等式 的解集为： ．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(1)∵ ，
∴反比例函数在每一个象限内 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）利用反比例函数的性质求解即可；
（2）先求出k的值，然后分两种情况：①当 时，则 ， ，②当 时，则 ， ，再结合函数图象利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
22．（2022·增城模拟）为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来小涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．
（1）求第一批足球每个的进价是多少元？
（2）若商店将第一批足球以售价70元，第二批足球以售价80元全部售出，则其盈利多少元？
【答案】（1）解：设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，
依题意得： =40，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进足球每个的进价是50元．
（2）解：第一批购进足球的数量为10000÷50=200（个），
第二批购进足球的数量为200-40=160（个），
共盈利（200×70-10000）+（160×80-10000）=4000+2800=6800（元）．
答：一共盈利6800元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设第一批购进足球的单价为x元/个，则第二批购进足球的单价为（1+25%）x元/个，根据题意列出方程求解即可；
（2）利用“利润=售价-进价”计算即可。
23．（2022·增城模拟）如图，在 中， ．
（1）尺规作图：以 为直径作 交 于点 ，交 于点 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，
①连接 ，求证： ；
②设 相交于点 ，若 ，求 的值．
【答案】（1）解：如图，
（2）①证明：连接AD，
∵AB为 的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴OD⊥BE；
②解：∵ ，
∴ ，
由（1）知 是 的中位线，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴OD=OF+DF=2CE，
∵AC=2OD=4CE，
∵∠BEC=∠ADC=90°，∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作出AB的中垂线确定出圆心O，再以O为圆心，OA为半径画圆，即可作出图形；
（2）①连接AD，判断出BD=CD，进而得出OD//AC，再判断出OD⊥BE，即可得出结论；
②先证明△BEC∽△ADC，可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
24．（2022·增城模拟）已知抛物线 的顶点为 ．
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）经过探究发现，随着 的变化，顶点 在某直线 上运动，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，求 的面积；
（3）若抛物线与直线 的另一交点为 ，以 为直径的圆与坐标轴相切，求 的值．
【答案】（1）解：当 时，
＝ ，
∴顶点为 坐标为 ；
（2）解： ，
∴顶点坐标为 ，
即顶点 满足 ， ，
∴顶点所在直线 的解析式为： ，
令 得 ，令 得 ，
∴ ， ，
∴ 的面积 ；
（3）解： 得：
或 ，
∴ ， ，
∴ ，
根据中点坐标公式，得以 为直径的圆的圆心坐标为 ，
以 为直径的圆与坐标轴相切，分两种情况：
①以 为直径的圆与 轴相切，
则 ，
即 ，
解得 或 ，
②以 为直径的圆与 轴相切，
则 ，
解得 或 ，
综上所述，以 为直径的圆与坐标轴相切， 或 或 或 ．
【知识点】切线的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将m=1代入解析式，配成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）用m的代数式表示出顶点横、纵坐标，消去m得到直线l解析式，求出A、B的坐标，即可求出△AOB的面积；
（3）求出P、Q坐标和以PQ为直径的圆的圆心和直径，根据以PQ为直径的圆与坐标轴相切列方程，即可得到m的值。
25．（2022·增城模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3．
（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC =
BD．求AC + OD的最小值．
【答案】（1）解：∵A的坐标为（5，0），
∴OA=5，
∴ ，
∴△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；
（2）解：如图所示，当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∴OB=OP=3，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠PFO=∠PDB=∠OEB=90°，
∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°，
∴∠OPF=∠BOE，
在△OPF和△BOE中，
，
∴△OPF≌△BOE（AAS），
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；
如图所示，当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥BE交EB延长线于F，交y轴于D
同理可以求出 ， ，
同理可以证明△PFB≌△BEO（AAS），
∴ ， ，
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；
∴综上所述，存在点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；
（3）解：如图所示，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，
由（2）可知H的坐标为（ ， ），
∴ ．
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）当∠POB=90°，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，首先利用等面积法求出BE的长，再利用“AAS”证明△OPF≌△BOE，得到，，即可得出点P的坐标；当∠PBO=90°，同理可求；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用“SAS”证明△HOC≌△OBD，得到OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长。
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